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1、第六、七节第六、七节 两个重要极限两个重要极限与无穷小量的比较与无穷小量的比较内容提要内容提要 1.两个重要极限；两个重要极限；2.无穷小量的比较。无穷小量的比较。教学要求教学要求 1.熟练掌握用两个重要极限求极限；熟练掌握用两个重要极限求极限；2.熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一熟练掌握无穷小的比较、等价无穷小量的性质及一些常见的等价无穷小。些常见的等价无穷小。一、两个重要极限一、两个重要极限 (x 取弧度单位取弧度单位)如图所示如图所示 ,作单位圆作单位圆则圆心角则圆心角AOB=x，显然有显然有AODAOBSSSD DD D AOB扇形扇形 即即xxxtansin 分别除以分别
2、除以 xsin 对于对于情形情形,有有证证:x再取倒数再取倒数,得得1sincos xxx(1)由于用由于用x-代替代替x时时xcos和和xxsin都不变号都不变号不等不等 式式(1)仍成立仍成立 ,恒恒 有不等式有不等式 1sincos xxx 成立。成立。3由于由于1coslim0=xx,且且11lim0=x ,由夹逼准则由夹逼准则可知可知,1sinlim0=xxx .证毕证毕从而当从而当时时 ,2.对于对于的情形的情形,所以当所以当时时 ,对对（偶函数），（偶函数），注意：注意：解解例例2 求求xxx3sinlim0解解 xxx3sinlim0解解例例4 求求)0,(sinsinlim0
3、 babxaxx解解解解 当当 n时时,因此因此例例5 5,有有例例6 解解练习练习解解解解解解解解 证明略证明略(可用两个准则证明可用两个准则证明)。例例 1 解解解法一解法一令令tx=-则当则当 x时时 有有 t 所以所以例例2 求求 解法二解法二解解 令令tx=1 当当0 x时时 有有 t 所以所以例例3（3）倒数关系）倒数关系注意：注意：解解解解解解练习练习二、无穷小的比较二、无穷小的比较由无穷小的性质可知由无穷小的性质可知,两个无穷小的和、差、积两个无穷小的和、差、积仍为无穷小仍为无穷小,但两个无穷小的商会出现不同的情况但两个无穷小的商会出现不同的情况。如当如当0 x时时 ,函数函数
4、x2 ,xsin都是无穷小。都是无穷小。但是但是0=21=而而0sinx与与02x的的“快快”、“慢慢”差不多。差不多。(3)2sinxx比比02x“快些快些”,事实上事实上反之反之“慢些慢些”02x比比由此可见由此可见 ,无穷小虽然都是以无穷小虽然都是以 0 为为 极限的变量极限的变量,但它们趋向但它们趋向 0 的速度不一样的速度不一样,趋向趋向 0的的“快快”、“慢慢”程度程度,我们引我们引 入无穷小的入无穷小的“阶阶”的概念。的概念。下面仅给出下面仅给出0 xx 时的无穷小比较的定义时的无穷小比较的定义,对于对于+0 xx ,-0 xx ,x ,+x-x等情况的无穷小比较的定义可类似。等
5、情况的无穷小比较的定义可类似。为了为了反映无穷小反映无穷小定义定义 设设0)(lim0=xxxa a 0)(lim0=xxxb b0)()(lim0=xxxxa ab b（1）如果）如果 ,则称则称)(xb b是比是比)(xa a高阶高阶的无穷小的无穷小 ,记为记为)()(xoxa ab b=（2）如果）如果=)()(lim0 xxxxa ab b ,则称则称)(xb b是比是比)(xa a低阶低阶的无穷小。的无穷小。)1,0(（3）如果）如果)()(lim0=Cxxxxa ab b 则称则称)(xb b与与)(xa a是是同阶同阶无穷小。无穷小。（4）如果）如果1)()(lim0=xxxxa
6、 ab b 则称则称)(xb b与与)(xa a为为等价等价无穷小无穷小 ,记为记为)()(xxa ab b例如例如 03lim30=xxxQ )0(x)3(3=xox1sinlim0=xxxQ )0(xsinxx1-x与与12-x同阶无穷小同阶无穷小)1(x)0(x可以证明可以证明 :当当0 x时时 ,有下列等价无穷小：有下列等价无穷小：xxsinxxtanxex1-xx)1ln(+22xcos1x-利用等价无穷小可以简化某些极限的运算利用等价无穷小可以简化某些极限的运算,有下面定理：有下面定理：定理定理 1 定理定理 2 2 设当设当0 xx 时时,)()(xxa aa a ,)()(xx
7、b bb b 且且)()(lim0 xxxxa ab b 存在存在(或或 ),)()(lim0 xxxxa ab b =则则)()(lim0 xxxxa ab b证明证明 因因)()(lim0 xxxxa ab b)()(lim0 xxxxa ab b =(证毕证毕)()(xxa aa a)()(xxa ab b )()(xxb bb b lim0 xx=)()(lim0 xxxxa aa a)()(lim0 xxxxa ab b )()(lim0 xxxxb bb b=23lim0=xxx例例1 1 求求2tan3sinlim0 xxx0=0lim30=xxlim30-=xxxx这种解法是错
8、误的！这种解法是错误的！解解正确的解法如下正确的解法如下.正确的解法如下正确的解法如下.cos21lim0=xxcos2lim320.=xxxxxcos)cos1(sinlim30-=xxxxxsintanlim30-xxxx解解注意：注意：无穷小量替换分子或分母，也可替换分无穷小量替换分子或分母，也可替换分用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用用无穷小的等价替换简化极限运算时，可用“-”“-”号连接的各号连接的各 部分不能分别作替换。部分不能分别作替换。等价等价分母分母子或子或的因子，而对分子或分母中的因子，而对分子或分母中“+”“+”，小结小结一、两个重要极限一、两个重要极限重要极限一重要极限一:重要极限二重要极限二 ：（3）倒数关系）倒数关系二、无穷小的比较二、无穷小的比较