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1、1第六节第六节 极限存在准则极限存在准则 两个重要极限两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限一、极限存在准则一、极限存在准则夹逼准则夹逼准则；单调有界准则；单调有界准则第1页/共24页2一、极限的存在准则一、极限的存在准则1.夹逼准则夹逼准则准则准则：准则准则：单调有界数列必有极限：单调有界数列必有极限第2页/共24页3二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限二、两个重要极限设单位圆设单位圆O，圆心角圆心角作单位圆的切线作单位圆的切线第3页/共24页4注意：注意：注意：注意：（令（令 ）2)作用：作用：第4页/共24页5解：解：解：解：1.1.=1=1例例3.求求例例4.例例5.
2、解：解：第5页/共24页6例例6.解：解：思考思考：第6页/共24页7我们从三方面来我们从三方面来我们从三方面来我们从三方面来认识这个极限：认识这个极限：认识这个极限：认识这个极限：1)1)函数：函数：函数：函数：第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数第二项与指数互为倒数.2)2)极限过程是：极限过程是：极限过程是：极限过程是：指数指数指数指数3)3)极限值极限值极限值极限值=e e(e=e=2.718281828459045)2.718281828459045)括号内第一项是括号内第一项是括号内第一项是括号内第一项是1 1，中间是中间是中间是中间是“+”+”号，号，号，
3、号，如如如如:第7页/共24页8例例7.解解:第8页/共24页9补例补例.解解:经验：含幂指函数 型 极限 常用第二个重要极限解解:第9页/共24页10思考与练习思考与练习第10页/共24页11 第一章 都是无穷小都是无穷小,第七节引例引例.但但 无穷小的比较可见无穷小趋于可见无穷小趋于 0 的速度是多样的的速度是多样的.极限不同,反映了趋向于零的“快慢”程度不同.第11页/共24页121.定义定义:注：注：注：注：判断无穷小的阶判断无穷小的阶判断无穷小的阶判断无穷小的阶,实际上就是求极限实际上就是求极限实际上就是求极限实际上就是求极限.第12页/共24页13注意：注意：1.无穷小的比较是无穷
4、小的比较是无穷小无穷小与与无穷小无穷小比较的；比较的；2.零是阶最高的零是阶最高的,一般是比较非零无穷小的一般是比较非零无穷小的;3.无穷小的阶的高低是相对的无穷小的阶的高低是相对的;并依赖于极限过程的并依赖于极限过程的;4.无穷小的比较是无穷小的比较是 型极限的另外一种型极限的另外一种说法；说法；5.有两个重要的符号有两个重要的符号例如例如第13页/共24页14证证:例例1.则第14页/共24页15证证:即有等价关系即有等价关系:1)上述证明过程也给出了关系上述证明过程也给出了关系:例2.证明:2)常用等价无穷小常用等价无穷小:说明:第15页/共24页16证证:必要性必要性充分性充分性2.等
5、价无穷小的性质等价无穷小的性质第16页/共24页17例如例如,（自反性）（自反性）（对称性）（对称性）（传递性）（传递性）P60 T5第17页/共24页18定理定理2 (等价无穷小代换定理等价无穷小代换定理)证：证：说明：说明：即定理条件满足时即定理条件满足时,可以只代换无穷小的可以只代换无穷小的分子分子或或分母分母.即定理条件满足时即定理条件满足时,可以代换可以代换积积中因式的无穷小中因式的无穷小.第18页/共24页19 3.由此知由此知:若未定式的若未定式的分子或分母分子或分母为若干个因子的为若干个因子的乘积乘积,这是求极限的又一种好方法这是求极限的又一种好方法,注意适用条件注意适用条件.
6、则可对其中的任意一个或几个则可对其中的任意一个或几个无穷小因子无穷小因子作作等价无穷小代换代换,而不会改变原式的极限而不会改变原式的极限.例例3.求求解解:第19页/共24页20只可对函数的只可对函数的只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积因子乘积因子乘积因子作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换,对于对于对于对于代数代数和和和和中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别中各无穷小不能分别等价等价代换代换代换代换.切记切记切记切记:补例补例4.解解:错错解解:第20页/共24页21内容小结内容小结1.两个重要极限：两个重要极限：代表相同的表达式代表相同的表达
7、式2.无穷小的比较：无穷小的比较：设设 ,对同一自变量的变化过程为无穷小对同一自变量的变化过程为无穷小,且且 是是 的的高阶高阶无穷小无穷小 是是 的的低阶低阶无穷小无穷小 是是 的的同阶同阶无穷小无穷小 是是 的的等价等价无穷小无穷小 是是 的的 k 阶阶无穷小无穷小第21页/共24页223.等价无穷小代换定理：等价无穷小代换定理：4.常用的等价无穷小：常用的等价无穷小：5.注意事项：注意事项：1)并不是所有的无穷小都可进行比较.不可比.2)2)只可对函数的只可对函数的只可对函数的只可对函数的乘积因子乘积因子乘积因子乘积因子作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换作等价无穷小代换,对于对于对于对于代数和代数和中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换中各无穷小不能随意等价代换.第22页/共24页23新增求极限的方法：8.重要极限法重要极限法9.等价无穷小代换法等价无穷小代换法注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围注意各种求极限方法的理论依据、使用条件与范围.作业作业:P56 1(4)(5);2(2)(3)P59 4(2)(3)预习预习:P60-P70P59 题题3写在书上写在书上第23页/共24页24感谢您的欣赏！第24页/共24页