《2022年数学定积分知识总结 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年数学定积分知识总结 .docx（9页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 概念:定积分源自于求曲边梯形的面积,它的运算形式为 :bf xdxanlimf k 0 k 1xk ,结果是一可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_个数值,其值的大小取决于两个因素（被积函数与积分限） 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 几何意义 :是曲线yf x介于a,b之间与 x轴所围的面积的代数和 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 经济意义 :如经济总量f x 是某经济量关于 x 的变化率（边际问题） ,就bf xd
2、x 是 x 在区间aa,b 中的该可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 性质:本章共列了定积分的八条性质,其中以下几条在运算定积分中常常用到.ba（1） f xdxf xdx ;a bb bb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） （2）f xgx dxf xdxgxdx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aaa可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） （3）bbkf xdxkfaa xdx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bcb可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（4） （4）f xdxf xdxf
3、xdx ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_aac可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5） （5）a（fx）dxa0f x为奇函数时a.2（fx）dxf x为偶函数时0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 公式: 如f x 在a,b 上连续,F x 是f x 的一个原函数 ,就可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bf xdxF baF a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 换
4、元法 :如f x 在a,b 连续,xt 在c, d 上有连续的导数t ,且 t 单调,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_bxtd可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 分部积分法 : 如u x与vx 在f xdxf t t dt aca, b 上有连续的导数 ,就有可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. aa204x2 dx a2 11buxdv xa .u xbv xabvxdux .a可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 定积分1 ex dxx212=ee.可编辑资料 - - -
5、欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 如广义积分kdx20 1x1 , 其中 k 为常数,就 k 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4. 定积分1x3 sin21xdx 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x25. xdx1 1 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x6.0tsin t 3dt xsin x3.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_7.
6、 广义积分1 dxx21 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_b8. df x dx dx a 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_9. 设f x在a,b 上连续,就bbf xdxf t dtaa 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_10. 如函数f x 在 a, b上连续,h x可导,就h x df t dt_ f h xh x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_dx a可编辑资料 - -
7、 - 欢迎下载精品_精品资料_11. 当 x_0时, F xxte t2 dt0有极值.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12. 设f xxtet dt,就0f0 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13. 如e kxdx02 ,就 k 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14.1e xlnx) 2 dx2_1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_
8、15.13 x2 0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x edx1二x1. arctanxdxB0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_AC11x211B1 Dx arctan x 11 ln12x2 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x21x 22. 以下积分可直接使用牛顿莱不尼兹公式的有A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A5x32 dx B0 1x1xdx11x2C430 x2xdx5 2eD1e1dx x ln x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 设f x 为连续
9、函数,就xf t dt 为 Ca可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Af t 的一个原函数Bf t 的全部原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Cf x 的一个原函数Df x 的全部原函数可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x4. f0t dt1 f x1 ,且22f 01 ,就f x A可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_Axe 2B1 ex C2e2 x D1 e2 x2可编辑资料 - - - 欢
10、迎下载精品_精品资料_DB2C 0D发散115. 2 dx1 x(A) -2三、1. 求以下各函数的导数 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（1） F xx11 1t 2 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： F xdxdx 1 11dt t 21.1x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） F x0 t 2 xcostdt求 F可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： F xd0 t 2 costdt dxxx2tetd x t 2 costdt dx0dx t2 costdt
11、dx0x2 cos x.F 2 cos2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（3） F xx 1t2 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： F xdx 2dxxtet1t 2 dtdx 2dx0tet1t2 dt0tetx 1t2dt dx 2dx0tet1t2 dtdxdx0 1tett2 dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x2ex 2d x2 xex2x3ex 2xex可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x2 2dx1x21 x
12、2 21x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 求以下各极限 :x sin 2 tdt（1） lim0x0x3x2x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： limsin0tdtlimsin0tdt limsin 2 xx2lim1 倒数其次步用等价无穷上代换 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x3x etx0e t2dt x3 x03x2x0 3 x23可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（2） lim0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x2xttxttxxxxxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料
13、_ee解： lim 02dteelim02dtlim ee2lim ee2lim ee0.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x0x2x0x2 x02 xx02xx02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3. 求以下各定积分 :可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（1） x1) dx1 x2x |1 （ 2） 13xx2dx3x 11 x3 |1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0200ln 330可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_13 x 1（3） 2 cos 2 xdx1 si
14、n 2x |2 （4） e=13 x13 x1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_020202dxee dx00e 3 e |02可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（5）2 x dx12xdx12xdx0（ 6）cosx dx0cos xdx0cos xdx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a（7）02axdxaa201ax 2xdx ax334ax 21 x2 |a（8）1 x20 1x2 dx111201xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资
15、料_0214（9）dt0 1t当 x=2 时,t= 3 . 于是可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22解：令 t=x , 就 dt=2xdx, 当 t=0 时, x=0; 当 t=42x1dx3sec t1tant sectdt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_21x1sect可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0时, x=2. 于是3 tan2 tdt13 sec2 t11dttan tt |3 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_41dt01t2 2x dx0 1x22101dx1x（13
16、）2e2 x 1dx02 2x12e01d2 x112 x 1 2e|20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 xln1x |2 .0（14）cos3xdx1cos3xd3x1 sin3x |可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a（10）x20a2x2 dx（15）0cos2xdx301cos x dx321 x0sin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 x=asint,就 dx=acostdt,当 x=0 时,t=0;00202可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（16）e2 2lnxdx =e 2 2e 2 lndxx dx可编
17、辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_当 x=a 时,t= 2 . 于是1e2 12 dxx0e2ln xd ln xx2 ln2x |e0x1 ln2x 2 |e .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a x2a2 0x2 dx2 a 2 sin2 t0a2a2 sin2 ta costdt0x0020可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a42 sin2 0t cos2tdt42 sin t cost 2 dta0（17）12xxedx01x 21e20dx2x 21|e0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1231133可编辑资料 - - - 欢迎
18、下载精品_精品资料_2a42 1 sin 2t2 dt0a4240sin 2t2dta42 140cos4t dt 2（18） x011x dx13011x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_24a1cos4t dta 4 t1 sin 4t | 2a.11x3 dx311x3 2 d 1x3 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_480840163094 1303|.0x3 2 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1（ 11）0 1x dx x1ex1（19） dx1dexarctanex |1 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：
19、令 x=t2,就dx=2tdt,当x=0时,t=0;当x=10 1e2x0 1ex 20可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_时,t=1. 于是121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_（20）2 arc sin x dxarcsin x2 d arcsin x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2121可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x1t1t 221x2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0dx022 tdt2 02 dt1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_|1x1
20、t1t1111 arcsin x 3 2312可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2101t 2dt2tarctan t |0214 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2（12）1x21 dxx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解：令 x=sect,就 dx=tantsectdt,当 x=1 时,t=0;四、解答题可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1. 求F xxtt04dt 在区间1,5 上的最大值与最小值 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解: Fxx x4 , 令 Fx
21、0 , 得 x=0, x=4. 由此可得在 ,0 4, 上 Fx 单调增加 , 在可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.30,4单调削减 .由此可知 , 在-1,5中,Fx 在 x=0 处取极大值 , 极大值为 F0=0; 在 x=4 处取微小值 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_微小值为 F4=4t t04dt4t 204t dt 1 t32t 2 |432可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_又 F-1=4tt04dt1 t 2034t dt 1 t32t 2 | 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_F5=5t t04 dt52t4tdt0 1 t 32t 2 |525可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30.33故在-1,5上的最大值为 F0=0, 最小值为 F4=32可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2. 设xf t dtx2 10x ,求f 0,f 0 ;可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30.3解: 两边求导得f x x21x2x1xx23x22x, f x6x2 , 故 f00, f02.可编辑资料 - - - 欢迎下载