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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定积分与微积分基本定理一. 教学内容：定积分与微积分基本定理二. 教学目的：1. 明白定积分的定义和定积分的几何意义；2. 会用定积分求一些平面图形的面积,变速直线运动的路程,变力所做的功；三. 重点、难点：定积分的定义和定积分的几何意义；微积分基本定理；学问分析学问点 1：定积分的定义1. 定积分的定义是由实际问题抽象概括出来的它的解决过程充分表达了变量“ 由直到曲”、“ 由近似到精确” 、“ 由有限到无限” 的极限的思想方法,定积分是由实际问题中提出的,对定积分概念说明如下：（1）把闭区间 a,6用 n1 个分点（包括两个
2、端点 x 0 a, x n b ）分为任意 n 个小区间,并非要求肯定分成 n 等份,只是在有的问题中,为明白题便利,才用 n 等分的方法去布列分点x i x i 1（2）在每个小区间 x 上,点 的取法是任意的,它可以取在小区间的中点,即 i2,也可以取在小区间的两个端点,即 i ix或 i x i 1,仍可以取在小区间的其他任何位置（i1,2, ,n）（3）从几何意义上讲,f i x （i1,2, , n）表示以 ix为底边,以 f i 为高的第 i 个小矩n 1f i x i形的面积,而不是第 i 个小曲边梯形的面积,和式 i 0 表示 n 个小矩形的面积的和,而不是真正n 1f i x
3、 i的曲边梯形的面积,不过,和式 i 0 可以近似地表示曲边梯形的面积,一般说来,分法越细,近似程度也就越高n 1（4）总和i 0f ixi取极限时的极限过程为“ix0 ”（ n）,当分割无限变细, 即 nn 1时,不肯定能保证和式i0f ixi的极限值就是曲边梯形的面积,只有在分点无限增多的同时,保证每个小区间的长度也无限地缩小,才是真正的曲边梯形的面积（5）定积分是一个比较复杂的极限过程的极限值,定义bf xdxlim xn 1f ixi实际上给出了a0 i 0定积分b af xdx的一个运算方法,在实际问题中,由于它太繁琐,故很少使用2. 定积分是一个数值（极限值）,它的值仅仅取决于被积
4、函数与积分的上、下限,而与积分变量用什么名师归纳总结 字母表示无关, 即bf xdxbf udubf tdt（称为积分形式的不变性）,另外定积分b af xdx第 1 页,共 8 页aaa与积分区间a, b息息相关,不同的积分区间,定积分的积分上、下限不同,所得的值也不同,例如1 0x21dx 与3 0x21dx 的值就不同；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载x3. b af xdx、b a| f x | dx、|bf xdx | 的几何意义上有不同的含意,绝不能等同看待,由于被积函a数f x在闭区间 a, b上可正可负,也就是它的图象
5、可以在x 轴上方,也可以在x 轴下方,仍可以在轴的上下两侧,所以b af xdx表示由x 轴、函数f x的曲线及直线xa,xb 之间各部分面积的代数和（如下图（ 1）；而被积函数| f x |是非负的,所以b a| f x |dx表示在区间 a, b上全部以 | f x |为曲边的正曲边梯形的面（如图（2）；而|bf xdx | 就是b af xdx的肯定值,三者的值一般是不相同的a学问点 2：定积分的基本性质假设函数在所争论的区间上都是可积的；性质 1：常数因子可能提到积分号前,即b kf a（ ）dxkb f a（ ）dx,（ k 为常数）这是由于bkf（ ）dxn（i）xlim x0i1
6、kfanf（i）xklim x0i1kb f a（ ）dx性质 2：代数和积分等于积分的代数和,即bf（ ）g（ ）dxb f x dx ab g（ ）adxa由于b af（ ）g（ ）dxnlim x0i1f（ii）g（i）xi）xn）xilim x0ng（lim x0i1f（i1bf（ ）dxb g（ ）adxa这个性质可以推广到任意有限多个函数的代数和的情形；性质 3：（定积分的可加性）假如积分区间a,b被点 c 分成两个小区间a, c与 c,b,就bf（ ）dxcf（ ）dxb f c（ ）dxaa学问点 3：微积分基本定理名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页
7、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载微积分基本公式使我们得到了求定积分的一般方法（简洁方法）,不需要依据定义求和式的极限,只 要求出被积函数的任一原函数,再运算原函数在积分区间上的转变量即可关键是要找到被积函数的一个原函数微积分基本定理假如/ F xfx ,且 fx 在 a,b上可积,就b afxdxFbFa ,其中 F（x）叫做 f（x）bf xdxFxbFbFa的一个原函数；即aa【典型例题 】例 1. 求由直线x0, x1,y0 和直线 yxx1 围成的图形面积解析：（1）分割将曲边梯形分割成n 个小曲边梯形,用分点1,2 ,nn1nn把区间 0,1等分成
8、 n 个小区间： ,1,1,2, in1,i, nn1,n,S1, S2, nnnnn简写作in1,i（i1,2, ,n）；n每个小区间的长度为 xiin11；nn过各分点作x 轴的垂线,把曲边梯形分成n 个小曲边梯形,它们的面积分别记作,Si, ,Sn；（2）近似代替用小矩形面积近似代替小曲边梯形面积：在小区间in1,i上任取一点i （ i1,2, , n）,为了运算便利,取i 为小区间的左端点,为邻边的小矩形面积近n用以点i 坐标f（i）（in1）（in11）为其一边,以小区间长度 x1n似代替第i 个小曲边梯形面积,可以近似地表示为Si （i）x（in1）（in11）1（i1,2, ,n
9、）；n（3）作和由于每一个小矩形的面积都可以作为相应的小曲边梯形面积的近似值,所以n 个小矩形面积的和就是曲边梯形面积S 的近似值,即Sin1Siin1f（i）xin1（in1）（in11）1n（4）求极限名师归纳总结 当 n当公点数目愈多,即x 愈小时,从上图可以看出,和式的值就愈接近曲边梯形的面积S；因此,第 3 页,共 8 页,即x0 时,和式的极限,就是所求的曲边梯形的面积；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载n由于Sn limi1f（i）x1）1lim ninin1（in11nlim n1（11）（11 n）6n1 6（负号表
10、示图形在x 轴下方）1所以由直线x0,x1,y 0 和 y x（x-1）围成的图形的面积是6 ；点评： 求曲边梯形的面积分四个步骤,每一步都很繁琐,特殊是作和这一步是关键一环,由于涉及许多学问,对和号“” 的懂得和运用很生疏,如何进行“” 的运算；在其中谁是变量谁是常量必须清晰,直到算得没有“” 号为止,这一步的运算很简洁出错,因此肯定要细致、仔细；例 2. 运算定积分名师归纳总结 （1）1x dx 2；（2）1（02x1）dx；（ 3）2（2x1）dx；32122第 4 页,共 8 页01x解析：（1）由于1x3是 x2 的一个原函数,由微积分基本公式有312 x dx1x3113 1103
11、1；003333（2）1（2x1）dx12xdx1 dx 0x21x120000或1（2x1）dx112x1 2x1 12x1 211020404（3）2（2x1）dx1x22xdx21dx11xx221 nx211（41）（1 21 1）31 2例 3. 运算由y2x和yx2所围成图形的面积- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y2x解析： 如图,为了确定图形的范畴,先求出这两条曲线的交点的横坐标,解方程组y2 x ,得出交点的横坐标为x 0 或 x 1 因此所求图形的面积S1xdx1x dx 2（2x31x3）1211200330333
12、【小结】求面积的解题步骤：（1）画出图形；（2）确定图形范畴,通过解方程组求出交点横坐标,定出积分上、下限；（3）确定被积函数,留意分清被积函数的上、下位置；（4）写出平面图形面积的定积分表达式,（5）运用微积分基本公式运算定积分,求出平面图形的面积例 4. 一辆汽车的速度时间曲线如下列图,求此汽车在这解析：由速度时间曲线易知,v（ ）3t,90当t ,10时,30,当t10,40时,15t当t40,60时,由变速直线运动的路程公式可得10 40 60S 3 tdt 30 dt（15 t 90）dt0 10 402 3 t 2 100 30 t 4010（4 3 t 290 t）40 6013
13、50（m）答：此汽车在这 1min 行驶的路程是 1350m；1 min 行驶的路程；名师归纳总结 点评：（1）由定积分的几何意义知,b v a（ ）dt表示由曲线vv（ ） ,直线 ta,tb 及 v0 围成第 5 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载图形的面积,故有以下解法：由定积分的定义简洁知道,此汽车在这1min 行驶的路程s 等于梯形 OABC 的面积,即sS 梯形OABC（3060）301350（m）2（2）变速直线运动的路程物体做变速直线运动经过的路程s,等于其速度函数vv（ ）（ （ ）0）在时间区间 a,
14、b上的定积分,即sb v a（ ）dt；【模拟试题 】一. 挑选题；1. 以下式子正确选项（）A. b f x dx af b f a CB. b f a x dxf b f a C. b df x af x CD. b f x dx af x 2. 以下值等于1 的积分是（）A. 1 xdx 0B. 1 0x1 dxC.1 1 dx 0D. 11dx023. 已知自由落体的速率v gt,就落体从t0 到 tt0所走的路程为（A. 1gt22 B. gt 0C. 1gt2D. 1gt23020604. 假如 1kg 力能拉长弹簧1cm,为了将弹簧拉长6cm,所耗费的功为（A. 0.18 B.
15、0.26 C. 0.12 D. 0.28 5. x sin 0xcos x dx的值为（）A. 2 B. C. 2 D. 2 6. 2111dx（）1xx2x3A. 1 27B. 1 na7C. 1 25D. 1 2178288二. 填空题7. 12x21 3dx；08. 如1 02xk dx2,就 k；9. 由抛物线 y2x 和直线 x 1 所围成图形的面积为；10. 如a2x dx 2,b2x dx 3,c2 sin0xdx,就 a、 b、c 大小关系是00三. 解答题；名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳
16、总结 11. 求由曲线y学习必备欢迎下载第 7 页,共 8 页x 2与直线 x+y2 围成的面积；2 与直线 yx, y2x 所围成的图形的面积；12. 求曲线 yx- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【试题答案】一. 挑选题；1. B 2. C 3. C 4. A 5. C 6. A 二. 填空题；7. 2298. 1 9. 410. cab353三. 解答题；y x 211. 解析：如图,先求出抛物线与直线的交点,解方程组 x y 2 ,x 1 1,x 2 2,得 y 1 1,y 2 4 .即两个交点为（1,1）,（ 2,4）；直线为 y2x,就所求面积 S 为：S 21 2 x x 2dx 2 x x2 2x3 312 92；12. 解析：如图, yx 2 与 yx 交点为（ 0,0）,（1,1）；y x所求面积 S：S12xx dxx2 12xx2dxx2x3201 0xdx22x2dxx2112031762 与 y2x 交点为（ 0, 0）,（2,4）；名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页