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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 高中数学必修 45 总结第一部分 三角函数及其恒等变换1 与角 终边相同角的集合为 k 360 , k Z,象限角,轴线角的集合可借用此表示；*2 已知 是第几象限角, 求 n N 所在象限的方法： 先把各象限均等为 n 等份,再从 x 轴的正半轴的上方起,n依次将各区域标上一,二,三,四,就 原先是第几象限对应的标号即为 终边所落在的区域；n3 半径为 r 的扇形的圆心角（为弧度制）所对弧的长为 l ,周长为 C ,面积为 S ,就有以下公式：l r C 2 r l S 1 lr 1 r 22 2 y4 三角函数在各象限的符号：一全正,二正弦
2、,三正切,四余弦；5 三角函数线：sin MP cos OM tan AT P T6 同角三角函数的基本关系：2 2 sin O M A xsin cos 1 tancos7 三角函数的诱导公式：公式一：sin2k2sincosk2costank2tan公式二：sinsincoscostantancostan公式三：sinsincostan公式四：sinsincoscostantan公式五：sincoscos2sin公式六：sin2coscos2sin公式一到四：函数名称不变,正负看象限；公式五到六：奇变偶不变,正负看象限；补充公式：tan2sin1tan2y1k,kZytanxtantan2
3、8 三角函数的图象与性质xcosx性 质函 数y图象定义域RRx xk2,k名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 值域1,12上2k1,1R上是增函,周期性22奇函数奇偶性奇函数偶函数,2 k上 是 增 函2 k2,2kk2,k2单调性数；kZ,kZ是增函数；kZ数；kZ2k,2 k上 是 减 函32 k2,2 k数；kZ2对称中心k,0上是减函数；kZ对称性对称中心k20,对称中心k,02对称轴xk2对称轴xk无对称轴；kZkZ9 三角函数不等式的解法（1）三角函数线法； （2）函数图象法；例：如求 sin x 2的
4、解集,就画出直线 y 2,就该直线上方 y 值所对应的 x 的值就是该不等式的解集；2 210函数 y A sin x b A 0 , 0 的图象与性质：（1）图象的变化过程：函数 y sin x 的图象向左平移 个单位 y sin x,图象上各点的横坐标变缩短为原先的1倍 y sin x,图象上各点的纵坐标变为原先的 A 倍 y A sin x,图象向上平移 b 个单位 y A sin x b；（2）y A sin x b 的周期 T 为2,同理得 2T（3）如 y A sin x b 的最大值为 y m ax,最小值为 y min,就 A 1y max y min,b 1y max y m
5、in；2 2（4）利用以上结论,再依据图象中任意一点以及 的范畴,可求得 y A sin x b 的解析式；11两角和与差的正弦,余弦,正切公式和二倍角公式：（1）sin sin cos sin cos cos cos cos sin sin（2）sin 2 2 sin cos2 2 2 2cos 2 cos sin 2 cos 1 1 2 sin（3）tan tan tantan 2 2 tan21 tan tan 1 tan名师归纳总结 第 2 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 12拓展公式（不要求记忆）coscos21costan
6、21cos（1）半角公式：sin21221cos（2）积化和差公式：sincos1sin2sin2cossin1sinsin2sin222 12 1coscoscoscossinsincoscos22（3）和差化积公式：cossinsin2sincossinsin2sincoscos2cos2cos2coscos22sin（4）弦化切公式：sin2tan2cos12 tan2tan3Z3tantan3k,bkZ1tan2212 tan2（5）三倍角公式sin33sin4sin3cos34cos33cos13tan213几个有用的三角函数结论（1）如tanb,就arctanb,就有以下结论：aa
7、tan2asinbcosa2b2sinarctanba（2）当k4时,且kZ,就1tan1（3）函数yAsinxb的对称轴为xk2k,对称中心为其次部分：平面对量与解三角形1 向量的基本概念：三要素,零向量,单位向量,平行向量,相等向量,共线向量；（1）零向量与任一向量平行0 a ；（2）如 a 与 b 共线,就 a b ；（3）如 a 与 b 相等,就 a b 且ab2 平面对量的线性运算：名师归纳总结 （1）向量的加法运算：三角形法就（左图）a,平行四边形法就（右图）；第 3 页,共 12 页（2）三角形不等式：ababb（3）向量的加法满意交换律,结合律；- - - - - - -精选学
8、习资料 - - - - - - - - - （4）向量的减法运算：减去一个向量等于加上这个向量的相反向量；（5）向量的运算公式：ABBCAC（合并公式） ,ACABBC（分解公式） ,ABBA0这些在做题中应用相当广泛；（6）向量的数乘运算：aa,0 时,a 的方向与 a 相同；0时,a 的方向与 a 相反；0（7）时,a0；向量的数乘运算符合交换律,结合律,安排律；ba；用这个结论可以证明两向量共线定理：如a 与 b 共线,a0就有唯独的实数,使得向量共线；3 平面对量的基本定理：假如1e 、e 是同一平面内的两个不共线向量,那么对于这一平面内的任意向量a ,有且只有一对实数1,2,使a1e
9、 12e 2；（不共线的向量1e ,e 作为这一平面内全部向量的一组基底）4 平面对量的坐标运算：（1）平面对量的坐标：将向量的始点平移到坐标原点上就向量的终点对应的坐标即为该向量的坐标；即一个向量的坐标等于终点的坐标减去始点的坐标；（2）平面对量的坐标运算：如ax1, y 1,bx2, y2,就：uuuruuur（3）abx 1x2,y 1y2abx 1x2,y 1y2ax 1, x 2平面对量共线的坐标表示：如ax 1, y1,bx2, y2, a 与 b 共线,就有以下关系：（4）x 1y2x 2y 10用这个结论可以证明两向量共线；两点Ax 1, y1,Bx2, y2之间的距离公式,中
10、点C 的坐标公式为：（5）ABx 1x 22y 1y22Cx 12x 2,y 12y 2分点坐标公式： 设点是线段12上的一点,1、2的坐标分别是x y 1,x 2,y 2,当12时,点的坐标是x 1x 2,y 1y 2115 平面对量的数量积：名师归纳总结 （1）ababcos（为 a 与 b 的夹角）,零向量与任一向量乘积为0；第 4 页,共 12 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）ababa 与 b 同向；ab0为锐角；ab0为直角；ab0为钝角；ababa 与 b 异向；（3）abab0ababx 1, y12,b22x2, y2,为
11、a 与 b 的夹角,就有以下关系：（4）平面对量数量积的坐标表示：如aabx 1x2y1y2cosabx1x1xy 1y2y22x22yab16 正弦定理与余弦定理：7.（1）正弦定理：如在三角形ABC中,角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ,其外接圆半径为R,就：（2）abc2 R a b csin A sin B sin CABC 中,角 A, B , C 的对边分别为a , b , c ,就：sinAsinBsinC余弦定理：如在三角形a2b2c22 bccosAb2a2c22accosBc2a2b22abcosC解三角形的推论：（1）三角形的面积公式：如在三角形AB
12、C 中,角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ,就：（2）S1absinC1bcsinA1ac sin B2ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为a , b , c ,就：22判定角的大小范畴：如在三角形a2b2c2C为锐角；a2b2c2C为直角；a2b2c2C为钝角；（3）判定三角形解的情形：1 已知一边与两个角； （一个解）2 已知三边；（如两边之和大于第三边就有一个解,否就无解）3 已知两边及其夹角； （一个解）名师归纳总结 - - - - - - -4 已知两边及一边的对角； （一个解,两个解或者无解）已知三角形 ABC 两边 a , b, a 的对角为 A
13、；（ 1）如 A 为直角或者钝角,ab,就有一个解,否就无解；（ 2）如 A 为锐角,absinA,就有两解；B 可取锐角或者钝角；（ 3）如 A 为锐角,absinA,就有一解；B 可取直角；（ 4）如 A 为锐角,absinA,就无解；（4）在三角形内成立的特别关系：如在三角形ABC 中,角 A, B , C 的对边分别为a , b , c ,就：sinABsinCcosABcosC0sinA2BcosCcosA2BsinC22tanAtanBtanCtanAtanBtanC（5）中线长公式：如在三角形ABC 中,角 A , B , C 的对边分别为a , b , c , a 边上的中线长
14、为m ,b 边上的中线长为m , c 边上的中线长为m 就：第 5 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 第三部分ma2 b22c2a2mb2a22 c2b2mc2a22b2c2222数列1 等差数列：（1）等差数列的递推公式：an 1a nd；2 bac；（2）等差数列的通项公式：a na 1n1d；（3）如 a , b , c 成等差数列,就b 为 a 与 c 的等差中项,就2 等差数列的前n 项和：na 12an,Snna 1nn1d；等差数列前 n 项和的公式：S n23 等差数列的推论：名师归纳总结 （1）anan1d（可用此证明等差数列）；就可用待定系数
15、法求（2）2a nan1an1；（3）a 1ana2an1a3an22a 中（结论 2 的推广）；（4）如an,bn为等差数列,那么panqbn也为等差数列；（5）amanmnd（通项公式的推广） ；（6）求公差的公式：danan1,daman；mn（7）如mnpq,那么amanapaq；（8）等差数列的通项公式也可表示为anpnq,它是一个一次函数,已知任意两项,通项公式；其中,a1pq,dp；,它是一个二次函数,（9）（依据结论3 进行推导）（10）等差数列前n 项和的公式为Snna 1nn1d,也可表示为SnAn2Bn2其中,a1AB,d2A；反之,如SnAn2Bn,就an为等差数列；如
16、SnAn2BnC,就an从第 2 项起为等差数列；第 6 页,共 12 页（11）已知S ,求a 的方法：a 1S 1,anS nSn1n2（12）如an为等差数列,就Sn也为等差数列；n- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （13）如an,b n为等差数列,其前nn 项和分别为A ,B ,那么anA 2n1a n；,其中,S奇nan,b nB 2n1（14）S ,S2mS m,S 3mS2m,mZ也为等差数列；,且S 奇（15）如项数为2nnN*,就S2n2n1an,S 偶S 奇ndS 偶a n1（16）如项数为2n1nN*,就S 212n1an,且S
17、奇S 偶an,S 奇nS 偶n1S 偶n1an；4 等比数列：（1）等比数列的递推公式：an1qanb2ac（2）等比数列的通项公式：ana 1qn1（3）如 a , b , c 成等比数列,就b 为 a 与 c 的等比中项,就5 等比数列的前n 项和：a 11qn,S na 1anq等比数列前 n 项和的公式：S n1q1q6 等比数列的推论：名师归纳总结 （1）an1d（可用此来证明等比数列）Aqa11；反之,如数列前n 项an（2）an2an1an1（3）a 1a na2an1a3a n2a 中2（结论 2 的推广）；（4）如an,bn为等比数列,那么anb n也为等比数列；（5）ama
18、 nqmn（通项公式的推广） ；（6）求公比的公式：qan1,qmna m；ana n（7）如mnpq,那么amanapaq；（8）等比数列前n 项和的公式经过变形,可写为S nAqnA的形式,其中q和满意S nAqnA,就该数列为等比数列；n1b a；第 7 页,共 12 页（9）如在 a , b 之间插入 n 个数,使之成为等比数列,就这个等比数列的公比- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （10）S ,S2mS m,S 3mS2m,mZ也为等比数列；qn,如项数为2n1nN*,就T 奇qn；（11）如项数为2nnN*,就S 偶q2 nnN*,就T 偶
19、S 奇（12）设等比数列前n 项积为T ,如项数为T 奇T 偶7 数列技巧方法归纳：（1）叠加法,累乘法；一般方法： 将数列的递推公式或者数列前 n 项和的递推公式从 1 n 全部列出, 将所列出全部的式子全部相加（或相乘）得到数列的通项公式或者数列前 n 项和的公式；（2）倒序相加法一般方法：将数列的前n 项和的排列成次序和倒序两种形式,两式相加,经过适当变形,得到前n 项和的公式；（3）错位相减法一般方法：前 n 项和两边乘以（或除以）肯定倍数有递增（或递减）趋势的量,作为一式,来减去原式,经过适当变形,得到前 n 项和的公式；（4）裂项相消法；分式裂项公式：n1a11n1an1a1n1a
20、1nannan（ n 和 a 既可以为常数,也可以为字母或代数式）一般方法：将数列的前 n 项和有分式的项进行裂项,提取公因式,全部相加可消去其中大多项,经过适当变形,得到前 n 项和的公式；（5）构造数列法；一般方法：假如题目中已给出特定的形式,就直接换元,变为等差数列或者等比数列,求出所求通项公式以后,再换回来得解；如题目中无特定的形式,就采纳两边同时相加（减）或者两边同时相乘（除）的方法,换元变为等差数列或者等比数列,求解；（6）由递推公式求通项公式：an 1panqp,q为常数型：递推公式两边加一个常数k ,使之满意两边项的系数比相等,两边相除,构造等比数列求解；其中kpq1,通项公式
21、为ana1kpn1k8 解答数列大题的一般步骤：（1）如已知S ,S n1,a ,an1的关系,利用公式：a1S 1,a nS nSn1n2,转化为a ,an1等量的递推关系；（2）利用递推关系进行适当的变形（构造数列,两边相加,相乘等方法）比数列来求得通项公式；,将数列转化为熟识的等差数列或等（3）利用通项公式进行分析,利用叠加法,累乘法,倒序相加法,错位相减法,裂项相消法等方法进行变形,整理,得出该数列的求和公式；（4）在整个过程中要留意必需使脚码的数值有意义；第四部分 不等式 1 不等式的性质：名师归纳总结 （1）假如ab0,那么ab；假如ab0,那么ab；假如ab0,那么ab；第 8
22、页,共 12 页（2）假如c；ab,bc,那么a（3）假如ab,那么acbc；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （4）假如ab,c0,那么acbc；假如ab,c0,那么acbc；（5）假如ab,cd,那么acbd；（不等式的相加原理）（6）假如ab0,cd0,那么acbd；（不等式的相乘原理）（7）假如ab0,那么anbn；n1（8）假如ab0,那么nanb；n12不等式性质的应用：（1）证明某不等式成立；（2）不等式性质的推论：如ab0,c0,就bbc,aac；b0,那么ab；aacbbc（3）已知几个字母的范畴,求它们和,差,积,商的范畴；（利用性
23、质3,4,5,6）（4）做差法比较数或代数式的大小：利用性质1：假如ab0,那么ab；假如a假如ab0,那么ab；a1,1,那么ab；假如a1,那么ab；假如（5）做商法比较正数或者正值代数式的大小：假如abbb那么ab；其中a0 且b0；3一元二次不等式的解法：（1）二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系：先将一元二次不等式的二次项系数变为正,然后看图写解集,如下表：判别式b24ac000二次函数yax2bxca0的图象ax2一元二次方程0x 1xxbb24acx1xx2b没有实数根2abxc0a2 a2x2bb24acxR的根2ab一元二次不等式ax0x 2x 1
24、或xbxc0a2a的解集一元二次不等式ax2bxc0a0xx 1xx 2的解集（2）如 0,一元二次方程 ax 2 bx c 0 a 0 的根为 1x ,x ,如所对应一元二次不等式二次项系数 a与不等式整体的系数同号,就解集取两边；如所对应一元二次不等式二次项系数 a 与不等式整体的系数异号,就解集取中间； （同号取两边,异号取中间）（3）一元二次不等式中的分类争论思想：1如二次项系数为字母,就需考虑二次项系数为 0 的情形；2如一元二次不等式中含有字母,解出的两根需要考虑大小问题,分类争论,再取解集；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 12 页精选学习资料 - - -
25、- - - - - - （4）一元二次不等式中的解的情形：1 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0a0恒 成 立 的 条 件 是a0且0 ； 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0a0恒成立的条件为a0且0 ；（即解集为 R ）0 ； 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0a0解 集 为的 条 件 是a0且2 一 元 二 次 不 等 式ax2bxc0a0解集为的条件为是a0且0 ；4 一元二次方程的有关技巧：（1）速解特别一元二次方程的根的技巧：1一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0 中,如 a b c 0,就 1x 1,x2 c；a2一元二次方程 ax 2bx c 0 a 0
26、中,如 b a c,就 1x 1,x2 c；a（2）十字相乘法解一元二次方程：一般方法：将一元二次方程的三个系数均化为无分母的形式（既不是分数也不是小数）,且 a 的为正整数,得到 ax 2bx c 0 a 0,将 a 分解成 2 个正整数的乘积 a 1,a 2,将 c 分解成 2 个非分数的乘积 c 1,c 2,进行交叉相乘,假如 a 1 c 2 a 2 c 1 b,那么分解胜利,原方程可转化为 a 1 x c 1 a 2 x c 2 0 的形式,化为两个一元一次方程,进而求得方程的根；（3）一元二次方程根情形的争论：1两根x ,x 同时为正c0b0 且c0；a ba c2两根；x ,x 同
27、时为负0 且0aa3两根x ,x 异号a5 特别不等式的解法：（1）分式不等式的解法：一般方法：先将全部项移到不等式左边,通分,假如分式的值大于0,就分子与分母同号,求解；假如分式的值小于0,就分子与分母异号,求解；留意分母不能为0；（2）一元高次不等式的解法：一般方法：解出其中的全部根x ,x ,x ,从小到大排序,画在数轴上,从右上开头像穿针线那样画一条穿过全部根的线,如有同时有偶数个相同的根,就反弹回去,如同时有奇数个相同的根,就正常穿过；如求的是大于 0 的解集, 就看数轴上方线上对应的 x,即为原不等式的解集；如求的是小于 0 的解集,就看数轴下方线上对应的 x,即为原不等式的解集；
28、 （理论来源： 三次函数以上高次函数的图象可得,这里不做争论；）6 解析几何的简洁学问：（1）直线的倾斜角与斜率1一条直线与x 正半轴方向所夹的角为该直线的倾斜角,如该直线与x 轴平行或重合,就,x2,y0 ；2直线斜率k 的公式：如倾斜角为,就ktan；如直线上任意两点坐标为x1,y12,就ky2y1；假如该直线垂直于x 轴,就该直线的斜率不存在；x2x 1（2）直线的方程的形式：名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1一般式：AxByC0A ,B不同时为02斜截式：ykxbk为斜率,b为直线在y 轴上的截距3点斜
29、式：yy0kxx0k 为斜率,x 0, y0为该直线上的任意一点4两点式：yy 1xx 1x 1,y 1,x2y2为该直线上任意两点y2y 1x2x 15截距式：x ay1a ,b 分别为直线在x 轴上的截距与直线在y 轴上的截距b（3）点x,y到直线AxByC0的距离为AxBy2c；A 2B（4）圆的标准方程为xa2yb2r2a,b为圆心坐标,r为半径；7 二元一次不等式（组）与平面区域：（1）确定二元一次不等式AxByC0 或AxByA ,C0A,B 不同时为0平面区域的方法： 先在平面直角坐标系中画出所对应的直线AxByC0B不同时为0,将平面区域分成两大块,挑选测试点,带入原不等式,假
30、如成立,就解集为该点所在的区域；假如不成立,就在另一边的区域；（2）确定二元一次不等式 Ax By C 0 或 Ax By C 0 A , B 不同时为 0 平面区域的方法：如 B 的符号与不等式整体的符号同号,就满意原不等式的平面区域位于直线的上方；如 B 的符号与不等式整体的符号异号,就满意原不等式的平面区域位于直线的下方；（同号取上方,异号取下方）（3）确定二元一次不等式组的平面区域：把各个二元一次不等式的平面区域画出来,取公共部分,即为原二元一次不等式组的平面区域；8 线性规划问题：（1）求目标函数 z ax by（a ,b 不同时为 0）的最值：一般方法：先画出满意题意的二元一次不等
31、式组的平面区域,先把目标函数化为 y a x z的形式；b b如 z 0,求 z 的最大值,由于斜率肯定,就将 y a x z在满意线性约束条件的前提下平移,找到b b b直线与 y 轴截距最大的点,及截距,可算出 z 的最大值；最小值同理；如 z 0,就截距的最大值求出b的 z 为 z 的最小值；截距的最小值为出的 z 为 z 的最大值；（ 2）如使目标函数 z ax by（a ,b 不同时为 0）取得最值的最优解有很多个,就目标函数对应的直线a zy x 必与线性约束条件下平面区域的某一边界重合；b b（3）与斜率综合的求最值问题；名师归纳总结 - - - - - - -给出一组 x ,
32、y 所满意的条件,求形如ya的最值问题,可转化为平面区域内找一点,求经过该点与xb点a,b的直线的斜率的最值,就以a,b为定点,且直线上的一些点在平面区域内,进行旋转,最斜时,经过对应点与a,b的直线的斜率最大,反之最小；第 11 页,共 12 页精选学习资料 - - - - - - - - - （4）与两点之间距离公式综合的求最值问题；给出一组 x , y 所满意的条件,求形如xa2yb2的最值问题,可转化成在平面区域内找一点,求该点与a,b距离平方的最大值；9 基本不等式与重要不等式：（1）基本不等式由abb20可推得：abbaba0 且b0,且当ab时,原不等式取等号；2（2）重要不等式由a20可推得：a2b22ab,且当ab时,原不等式取等号；（3）其它常用的不等式：aba2b2；a2b2a,a22b20 且010 极值定理：（1）如xyps（和为定值） ,就当xyy时,积 xy取得最大值：2s2；4（2）如xy（积为定值） ,就当x时,和xy取得最小值p；11 常见不等式的极值问题：（1）axbx0 且a0 且b0的最小值为：2ab；x（2）xaxx0且ax的最大值为：a2；412 分母换元法形如求ax2bxcmxnb0,a,b,c,m ,n 为常数的最值问题,可令tmxn,就变为at2btc