《2022年高三数学一轮复习知识点归纳与总结定积分与微积分的基本定理.docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高三数学一轮复习知识点归纳与总结定积分与微积分的基本定理.docx（30页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备第十四节定积分与微积分基本定理 备考方向要明白考 什 么怎 么 考可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1.明白定积分的实际背景,了 解定积分的基本思想,明白定 积分的概念2.明白微积分基本定理的含义.1.考查形式多为选择题或填空题2.考查简洁定积分的求解如20XX 年江西 T11 等3.考查曲边梯形面积的求解如 20XX 年湖北 T3 ,山东 T15,上海 T13 等4.与几何概型相结合考查如20XX 年福建 T6 等.归纳 学问整合 可编辑资料 - - - 欢迎下载精
2、品_精品资料_1 定积分1定积分的相关概念在 bafxd x 中, a,b 分别叫做积分下限与积分上限,区间a, b叫做积分区间,fx叫做被积函数, x 叫做积分变量,fxdx 叫做被积式2定积分的几何意义a fxdx 的几何意义是由直线x a, x当函数fx在区间 a, b 上恒为正时,定积分bba b, y 0 和曲线 yfx所围成的曲边梯形的面积左图中阴影部分一般情形下,定积分 bafxdx 的几何意义是介于x 轴、曲线fx以及直线x a,x b之间的曲边梯形面积的代数和右上图中阴影所示,其中在 x 轴上方的面积等于该区间上的 积分值,在x 轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数3定积分
3、的基本性质 b bakfx dx kafxdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a1 b fx f2xd x bf(x) dx b f xd x.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_a 1a2aac bfxd x c fxdx bf xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 1 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 -
4、 - - 欢迎下载精品_精品资料_b探究 1.如积分变量为t,就 af xdxb与 aftd t 是否相等？可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_提示： 相等2一个函数的导数是唯独的,反过来导函数的原函数唯独吗？提示： 一个函数的导数是唯独的,而导函数的原函数就有无穷多个,这些原函数之间都相差一个常数,在利用微积分基本定理求定积分时,只要找到被积函数的一个原函数即可,并且一般使用不含常数的原函数,这样有利于运算a3定积分 b fx gxd xfxgx的几何意义是什么？提示： 由直线 xa, x b 和曲线 y fx, y gx所围成的曲边梯形的面积2 微积分基本定理afxdx FbF
5、 a,这假如 fx是区间 a,b上的连续函数,并且F x fx,那么 ba个结论叫做微积分基本定理,又叫做牛顿 莱布尼兹公式为了便利,常把F b F a记成 Fx |b,即 bf xdx Fx|b Fb Faaa自测 牛刀小试 411. 2x dx 等于 A 2ln 2B 2ln 2C ln 2D ln 2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 D4122xdx ln x|4 ln 4 ln 2 ln 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_t2,质点作直线运动,22教材习题改编一质点运动时速度和时间的关系为Vt t就此物体在时间1,2 内的位移为 1714A.
6、 6B. 31311C. 6D. 6解析： 选 AS 2 2 t 2dt1 3 1 2 2t2 17可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1t3t2t16 .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 教材习题改编直线x 0, x 2, y 0 与曲线y x2 所围成的曲边梯形的面积为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 2x2dx13 |28.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_30答案： 83x03可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_14 教材改编题 021x dx .可编辑资料
7、- - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 2 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备解析： 由定积分的几何意义可知, 122 y2 1 在第一象限内部01 x dx 表示单位圆x分的面积,所以0.11x2 dx 14答案： 14155由曲线y x,直线 y x 2所围成的封闭图形的面积为 11可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_
8、精品资料_解析： 作出图象如下列图解方程组可得交点为A2, 2 , B 2, 2 ,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以阴影部分的面积,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_12 x5221x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 2 52ln x 15 2ln 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2x2x182答案： 15 2ln 2 8利用微积分基本定理求定积分例 1利用微积分基本定理求以下定积分：可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_212 2x 1dx. 2 可编辑资
9、料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1 x230sin x cos xdx.22x 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xx 1dx. 41 ex dx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_052sin2x2dx.x319可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自主解答 1 2x2 2x 1dx 2x2dx 22xdx 21dx|2 x2 |2 x |2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 0sin x 1 cos xdx 11131113可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0s
10、in xdx0cos xdx cos x | sin x | 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3 200 22 xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xx 1dx0x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 2 2 21 3 |2 12 |2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x dx0xdx3x02x0可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_31114 2 0 22 0 .323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 3 页,共 15 页 - - - -
11、- - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4 2e2 x 1dx 2e2xdx 21dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1x11x 1 2x |2 ln x |2 1 4 1 2 ln 2 ln 12e112e2e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 4 12 ln 2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2ee222 x21 1可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2
12、50sindx 202cos x dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_22 11dx0 220 cos xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1210xsin x22 12 042 24.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_求定积分的一般步骤运算一些简洁的定积分,解题的步骤是：1把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差.2把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分.3分别用求导公式找到一个相应的原函数.4利用牛顿
13、莱布尼兹公式求出各个定积分的值.5运算原始定积分的值01求以下定积分： 1 2|x 1|dx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0221 sin 2xdx.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解： 1|x 1|1 x,x0, 1 x 1,x1 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_故20|x 1|dx10 1 xdx21x 1dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x20 x 2|1x x212|2可
14、编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_11 1.22可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0221 sin 2xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_002 |sin x cos x|dx4cos x sin xdx24sin x cos xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 4 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料wo
15、rd 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 sin x cos x 4 cos x sin x24可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 1 12 222.利用定积分的几何意义求定积分可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0例 2 1x22xdx .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1自主解答 0 x2 2xdx 表示 y x2 2x与 x 0,x 1 及 y 0 所围成的图形的可编辑资料 - - - 欢迎下载精品
16、_精品资料_面积由 y x2 2x得x 12 y2 1y0 ,又 0 x 1, y x2 2x与 x0, x 1 及 y 0 所围成的图形为1个圆,其面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 1 x2 2xdx .444.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0在本例中,转变积分上限,求 2 x2 2xdx 的值0解： 2 x2 2xdx 表示圆 x1 2y2 1 在第一象限内部分的面积,即半圆的面积,所以.02 x2 2xdx 2利用几何意义求定积分的方法1 当被积函数较为复杂,定积分很难直接求出时,可考虑用定积分的几何意义求定积分2利用定积分的几何意义,可通过图形
17、中面积的大小关系来比较定积分值的大小022022 福建模拟 已知函数f x x cos t sin tdtx0 ,就 f x的最大值为 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 由于 fxx0 2sin4 t dt可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2cos t|02cos4 x 2cos44可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ sin x cos x 12sin x4 12 1,当且仅当 sin x 4 1 时,等号成立可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - -
18、 - - - - -第 5 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备答案：2 1利用定积分求平面图形的面积例 32022 山东高考 由曲线 yx,直线 y x 2 及 y 轴所围成的图形的面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A. 1033C.16B 4 D 6可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_自主解答 由 yx及 y x 2 可得, x 4,即两曲线交于点4,2 由定积分的几何意义可知,由yx及 y x
19、2 及 y 轴所围成的封闭图形面积为可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 4x x2dx 23 1x2 2x|4 16.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_203x203答案 C如将“ y x 2”改为“ y x 2”,将“ y 轴”改为“ x 轴”,如何求解？ 解：如下列图, 由 yx及 y x 2 可得 x 1.由定积分的几何意0义可知,由 yx,y x 2 及 x 轴所围成的封闭图形的面积为 2f xdx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1 23222 |1 2x x|2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0xdx7. 61 x2dx
20、3x021可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_利用定积分求曲边梯形面积的步骤1画出曲线的草图2借助图形,确定被积函数,求出交点坐标,确定积分的上、下限3将“曲边梯形”的面积表示成如干个定积分的和或差4运算定积分,写出答案3 2022 郑州模拟 如图,曲线yx2 和直线 x0, x 1, y 1所围成的4可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_图形 阴影部分 的面积为 2A. 3B.13可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 6 页,共 15 页 - - -
21、- - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.12D.14可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析： 选 D由14y ,2. x1或2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_y x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x1舍 ,所以阴影部分面积2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1
22、2S0124 xdx1211 x4 dx2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 1x 1 312 1x3 1x1 1.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_43x034142可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_定积分在物理中的应用,问列车2例 4列车以 72 km/h 的速度行驶,当制动时列车获得加速度a 0.4 m/s应在进站前多长时间,以及离车站多远处开头制动？自主解答 a 0.4 m/s2, v0 72 km/h 20 m/s.设 t s 后的速度为v ,就 v 20 0.4t.令 v 0,即 20 0.4
23、 t 0 得 t 50 s设列车由开头制动到停止所走过的路程为s, 就 s 50vdt 5020 0.4tdt000 20t 0.2t2 |50 2050 0.2 502 500m ,即列车应在进站前50 s 和进站前500 m 处开头制动1 变速直线运动问题假如做变速直线运动的物体的速度v 关于时间t 的函数是 v v tv t 0 ,那么物体从时刻 t a 到 t b 所经过的路程为bavtd t.假如做变速直线运动的物体的速度v 关于时间tav tdt.的函数是v vtv t 0,那么物体从时刻t a 到 tb 所经过的路程为 b2 变力做功问题aFxdx.物体在变力Fx的作用下,沿与力
24、F x相同方向从x a 到 x b 所做的功为 b可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 7 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_4一物体在力Fx100 x 23x 4x2单位： N 的作用下沿与力Fx相同的方向运动可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_了 4 米,力 F x做功为 A 44 JB 46
25、J 4C48 JD 50 J可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0 10dx解析： 选 B力 F x做功为 223x 4dx可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_ 10x |2302 4x42可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_x 2 2026 46.1 个定理 微积分基本定理由微积分基本定理可知求定积分的关键是求导函数的原函数,由此可知, 求导与积分是互为逆运算3 条性质 定积分的性质1常数可提到积分号外.2和差的积分等于积分的和差.3积分可分段进行3 个留意 定积分的运算应留意的问题1如积分式子中有几个不同的
26、参数,就必需分清谁是积分变量.2定积分式子中隐含的条件是积分上限不小于积分下限. 3面积非负,而定积分的结果可以为负.易误警示 利用定积分求平面图形的面积的易错点可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_典例 2022 上海高考 已知函数y fx的图象是折线段ABC,其中 A0,0,B1, 5 ,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C1,0函数 yxfx0 x 1的图象与x 轴围成的图形的面积为 解析 由题意可得210x, 0 x 1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_fx110 10x, 2x1,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 -
27、 - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 8 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_所以 yxf x10x2, 0 x 1,2可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_210x 10x2,10.如曲线yx与直线x a, y 0 所围成封闭图形的面积为a2,就 a .可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0解析： 由题
28、意 axdx a2.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_323可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0x又 22x,即x 233|a a2,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_3即a.22 a2.所以 a 439可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_学习资料 名师精选 - - - - - - - - - -第 9 页,共 15 页 - - - - - - - - - -可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_资料word 精心总结归纳 - - - - - - - - - - - -名师举荐细心整理学习必备答案： 49一、选择题 本大题共6 小
29、题,每道题5 分,共 30 分e1 ln x1. 1xdx 可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_A ln x 1ln22xB.2 1e可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.321 ln xln2 xD.12e3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_1解析： 选 C exdxln x212.可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_2 2022 湖北高考 已知二次函数yf x的图象如下列图,就它与x 轴所围图形的面积为24A. 5B.33可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_C.2D.2212x3可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_解析：选 B由题中图象易知fx x1 4 1,就所求面积为20 x 1dx2 3 x可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0.303设函数f x ax2 ba 0,如 3fxd x3f x0,就 x0 等于 A 1B.2C 3D 2解析： 选 C 3fxdx 3ax2 bdx 1ax3 bx 3 9a 3b,00300就 9a 3b 3ax2 b,可编辑资料 - - - 欢迎下载精品_精品资料_0即 x2 3,x0 4设 fx3 3.x2,x 0 , 1 ,