《2022年高中奥林匹克物理竞赛解题方法之五极限法 .docx》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2022年高中奥林匹克物理竞赛解题方法之五极限法 .docx（14页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 1：如图 5 1 所示,一个质量为 m 的小球位于一质量可忽视的直立弹簧上方 h 高度处,该小球从静止开头落向弹簧,设弹簧的劲度系数为 k,就物块可能获得的最大动能为；解析：球跟弹簧接触后,先做变加速运动,后做变减速运动,据此推理,小球所受合力为零的位置速度、动能最大；所以速最大时有 mg=kx 1 2由机械能守恒有 mg h x E k kx 22 2联立式解得 E k m g h 1 m g2 k例 2：如图 5 2 所示,倾角为 的斜面上方有一点 O,在 O 点放一至斜面的光滑直轨道,要求一质点从 O 点沿直
2、轨道到达斜面 P 点的时间最短；求该直轨道与竖直方向的夹角；解析：质点沿 OP 做匀加速直线运动,运动的时间 t 应当与 角有关,求时间 t 对于 角的函数的极值即可；由牛顿运动定律可知,质点沿光滑轨道下滑的加速度为 a g cos该质点沿轨道由静止滑到斜面所用的时间为 t,就 1 at 2 OP 所以 t 2 OP2 g cos由图可知,在OPC 中有 OP OCsin 90 sin 90 所以 OP OC coscos 将式代入式得 t 2 OC cos 4 OC cosg cos cos cos cos 2 g明显,当 cos 2 ,1 即 时,上式有最小值 .所以当 时,质点沿直轨道滑
3、到斜面所用的时间2 2最短；此题也可以用作图法求解；例 3：从底角为的斜面顶端,以初速度0水平抛出一小球,不计空气阻力,如斜面足够长,如图5 3 所示,就小球抛出y 轴正方向,后,离开斜面的最大距离H 为多少？解析：当物体的速度方向与斜面平行时,物体离斜面最远；以水平向右为x 轴正方向,竖直向下为就由：vyv0tangt,解得运动时间为tv 0tang该点的坐标为xv0tv2 0tany1gt2v2tan20g2g2由几何关系得：H/cosyxtan解得小球离开斜面的最大距离为Hv2tansin；02g这道题如以沿斜面方向和垂直于斜面方向建立坐标轴,求解就更加简便；_精品资料_ 例 4：如图5
4、 4 所示,一水枪需将水射到离喷口的水平距离为3.0m 第 1 页,共 10 页- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载A （ d、 h）的最小初速的墙外,从喷口算起,墙高为4.0m ；如不计空气阻力,取g10m/s2,求所需的最小初速及对应的发射仰角；解析：水流做斜上抛运动,以喷口O 为原点建立如下列图的直角坐标,此题的任务就是水流能通过点度和发射仰角；x v 0 cos t依据平抛运动的规律,水流的运动方程为y v 0 sin t 1 gt 22把 A 点坐标（ d、 h）代入以上两式,消去 t,得：2 2 2 2v 0 gd /
5、 2cos h d tan gd / d sin 2 h cos2 12 2 2 d hgd / d h d 2 h 2 sin 2d 2 h 2 cos2 h令 h / d tan , 就 d / d 2 h 2 cos , h / d 2 h 2 sin , 上式可变为v 0 2gd 2/ d 2h 2sin 2 h , 明显 , 当 sin 2 ,1 即 2 90亦即发射角 45 45 1arctan h45 arctan 471 . 6 时 , v 0 最小 ,2 2 d 3且最小初速 0v = g d 2h 2h 3 10 m / s 9 5. m / s .例 5：如图 5 5 所
6、示,一质量为 m 的人,从长为 l 、质量为 M 的铁板的一端匀加速跑向另一端,并在另一端突然停止；铁板和水平面间摩擦因数为,人和铁板间摩擦因数为,且 ；这样,人能使铁板朝其跑动方向移动的最大距离 L 是多少？解析：人突然停止奔跑后,其原有动量转化为与铁板一起向前冲的动量,此后,地面对载人铁板的阻力是地面对铁板的摩擦力 f,其加速度a1MfmMvmgg；Mm由于铁板移动的距离Lv2,故越大, L 越大； v 是人与铁板一起开头地运动的速度,因此人应以不会引起铁2a 1板运动的最大加速度奔跑；人 在 铁 板 上 奔 跑 但 铁 板 没 有 移 动 时 , 人 如 达 到 最 大 加 速 度 ,
7、就 地 面 与 铁 板 之 间 的 摩 擦 力 达 到 最 大 静 摩 擦Mm g,依据系统的牛顿其次定律得：mmlr ；试证明：从Fma2M0F M m所以 a 2 g m m设 v 、 v 分别是人奔跑终止及人和铁板一起运动时的速度由于mvMm v且v22a2l,v22a1L并将a、a2代入式解得铁板移动的最大距离LM例 6：设地球的质量为M ,人造卫星的质量为m,地球的半径为R0,人造卫星围绕地球做圆周运动的半径为地面上将卫星发射至运行轨道,发射速度_精品资料_ - - - - - - -第 2 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载6
8、m）,设大气层对卫星的阻力vR 0g2R 0,并用该式求出这个发射速度的最小值和最大值；（取 R0=6.4 10r忽视不计,地面的重力加速度为g）v发,卫星发射时具解析：由能量守恒定律,卫星在地球的引力场中运动时总机械能为一常量；设卫星从地面发射的速度为有的机械能为E112 mv 发GMm. 2R 0进入轨道后卫星的机械能为E212 mv 轨GMm2r由 E1=E 2,并代入v轨GM,解得发射速度为v发GM2R 0rR 0r又由于在地面上万有引力等于重力,即：GMmmg所以GMR 0g2 R 0R 0把式代入式即得：v发R 0g2R0r（ 1）假如 r=R 0,即当卫星贴近地球表面做匀速圆周运
9、动时,所需发射速度最小为v mingR 07 . 910 3m/s（ 2）假如 r,所需发射速度最大（称为其次宇宙速度或脱离速度）为vmax2 R 0g11 . 23 10m/s例 7：如图5 6 所示,半径为R 的匀质半球体,其重心在球心O 点正下方C 点处, OC=3R/8 , 半球重为G,半球放在水平面上,在半球的平面上放一重为G/8 的物体,它与半球平在间的动摩擦因数0 2., 求无滑动时物体离球心O 点最大距离是多少？解析：物体离O 点放得越远,依据力矩的平稳,半球体转过的角度越大,但物体在球体斜面上保持相对静止时,有限度；设 物 体 距 球 心 为 x 时 恰 好 无 滑 动 ,
10、对 整 体 以 半 球 体 和 地 面 接 触 点 为 轴 , 根 据 平 衡 条 件 有 ：G 3 Rs i n Gx c o s 得 x 3R t an8 8可见, x 随 增大而增大；临界情形对应物体所受摩擦力为最大静摩擦力,就：t an m fm0 . 2 , 所以 , x 3 R 0 . 6 R . N例 8：有一质量为 m=50kg 的直杆,直立在水平地面上,杆与地面间静摩擦因数 0 3.,杆的上端固定在地面上的绳索拉住,绳与杆的夹角 30,如图 5 7 所示；（ 1）如以水平力 F 作用在杆上,作用点到地面的距离 h 1 2 L / 5 L 为杆长） ,要使杆不滑倒,力 F 最大
11、不能越过多少？_精品资料_ （ 2）如将作用点移到h24L/5处时,情形又如何？h 有关,第 3 页,共 10 页解析：杆不滑倒应从两方面考虑,杆与地面间的静摩擦力达到极限的前提下,力的大小仍与- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载fN争论力与h 的关系是关键；杆的受力如图5 7甲所示,由平稳条件得FTsi nf0NTc osm g0FLhf L另由上式可知,F 增大时, f 相应也增大,故当f 增大到最大静摩擦力时,杆刚要滑倒,此时满意：解得：FmasLmgLtanhv（相对于地B 点时,小狗htan/由上式又可知,当Lhtan/
12、h,即当h 00 .66L时对 F 就没有限制了；（ 1）当h 12Lh0,将有关数据代入Fm ax的表达式得Fmax385N5（ 2）当h24Lh0,无论 F 为何值,都不行能使杆滑倒,这种现象即称为自锁；5例 9：放在光滑水平面上的木板质量为M ,如图5 8 所示,板上有质量为m 的小狗以与木板成角的初速度面）由A 点跳到B 点,已知AB 间距离为s；求初速度的最小值；解析：小狗跳起后,做斜上抛运动,水平位移向右,由于水平方向动量守恒,木板向左运动；小狗落到板上的和木板对位置移的大小之和,是小狗对木板的水平位移；由于水平方向动量守恒,有mv 0cosMv即vmv0sin5M小狗在空中做斜抛
13、运动的时间为t2v 0sing又sv 0costvt将、代入式得v0MMgs2m sin当sin2,1 即4时,v 0有最小值,v m inMgs；Mm例 10：一小物块以速度v010m/s沿光滑地面滑行,然后沿光滑曲面上升到顶部水平的高台上,由高台上飞出,如图 9 所示,当高台的高度h 多大时,小物块飞行的水平距离s 最大？这个距离是多少？（g 取 10m/s2）解析：依题意,小物块经受两个过程；在脱离曲面顶部之前,小物块受重力和支持力,由于支持力不做功,物块的机械能守_精品资料_ 恒,物块从高台上飞出后,做平抛运动,其水平距离s 是高度2h 的函数；2第 4 页,共 10 页设小物块刚脱离
14、曲面顶部的速度为v,依据机械能守恒定律,1mv21mv2m g h022小物块做平抛运动的水平距离s 和高度h 分别为：h1 gt 2svt以上三式联立解得：sv22gh2h2v22h2 v 0004g4gg- - - - - - -_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2 2v 0 v 0当 h 2 5. m 时,飞行距离最大,为 s max 5 m；4 g 2 g例 11：军训中,战士距墙 s,以速度 v 起跳,如图 5 10 所示,再用脚蹬墙面一次,使身体变为竖直向上的运动以连续上升,墙面与鞋底之间的静摩擦因数为；求能使人体重心有最大总上升的起跳角；
15、解析：人体重心最大总上升分为两部分,一部分是人做斜上抛运动上升的高度,另一部分是人蹬墙所能上升的高度；如图 5 10甲,人做斜抛运动vxv0vcos,v yv0singt重心上升为H1s 0tan1 2gs20cos脚蹬墙面,利用最大静摩擦力的冲量可使人向上的动量增加,即mv ymvyftNttN tt,而N ttmvx,m 的小物块vyvx,所以人蹬墙后,其重心在竖直方向向上的速度为vyvyvyvyvx,连续上升H2v2 y,人的重心总上升2gH=H 1+H 2=2 v 0cossin2s0,当tan11时,重心上升最大；2g例 12：如图 5 11 所示,一质量为M 的平顶小车,以速度v沿
16、水平的光滑轨道做匀速直线运动；现将一质量为无初速地放置在车顶前缘；已知物块和车顶之间的滑动摩擦因数为；（ 1）如要求物块不会从车顶后缘掉下,就该车顶最少要多长？（ 2）如车顶长度符合（1）问中的要求,整个过程中摩擦力共做多少功？解析：当两物体具有共同速度时,相对位移最大,这个相对位移的大小即为车顶的最小长度；设车长至少为 l,就依据动量守恒Mv 0 M m v1 2 1 2依据功能关系 mg l Mv 0 M m v2 22Mv 0解得 l,摩擦力共做功2 M m g2Mmv 0W mg l2 M m 例 13：一质量 m=200kg ,高 2.00m 的薄底大金属桶倒扣在宽广的水池底部,如图
17、 5 12 所示；桶的内横截面积 S=0.500m2,桶壁加桶底的体积为 V 0=2.50 102m 3；桶内封有高度为 l=0.200m 的空气；池深 H 0=20.0m ,大气压强 p 0=10.00m 水柱高,水的密度 1 . 000 10 3kg / m 3,重力加速度取 g=10.00m/s 2；如用图中所示吊绳将桶上提,使桶底到达水面处,求绳子拉力对桶所需何等的最小功为多少焦耳？（结果要保留三位有效数字）；不计水的阻力,设水温很低,不计其饱和蒸汽压的影响；并设水温上下匀称且保持不变；解析：当桶沉到池底时,桶自身重力大于浮力；在绳子的作用下桶被缓慢提高过程中,桶内气体体积逐步增加,排
18、开水的体积也逐步增加,桶受到的浮力也逐步增加,绳子的拉力逐步减小,当桶受到的浮力等于重力时,即绳子拉力恰好减为零时,桶将处于不稳固平稳的状态,由于如有一扰动使桶略有上升,就浮力大于重力,无需绳的拉力,桶就会自动浮_精品资料_ - - - - - - -第 5 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载起,而不需再拉绳；因此绳对桶的拉力所需做的最小功等于将桶从池底缓慢地提高到浮力等于重力的位置时绳子拉桶所做的功；设浮力等于重力的不稳固平稳位置到池底的距离为 H,桶内气体的厚度为 l,如图 5 12甲所示；由于总的浮力等于桶的重力 mg,因而有 l
19、 S V 0 g mg有 l =0.350m 在桶由池底上上升度 H 到达不稳固平稳位置的过程中,桶内气体做等温变化,由玻意耳定律得 p 0 H 0 H l 0 l l S p 0 H 0 l 0 l lS 由、两式可得 H=12.240m 由式可知 H （ H 0 l ）,所以桶由池底到达不稳固平稳位置时,整个桶仍浸在水中；由上分析可知,绳子的拉力在整个过程中是一个变力；对于变力做功,可以通过分析水和桶组成的系统的能量变化的关系来求解：先求出桶内池底缓慢地提高了H 高度后的总机械能量E E 由三部分组成：（ 1）桶的重力势能增量E1mgH（ 2）由于桶本身体积在不同高度处排开水的势能不同所产
20、生的机械能的转变量 E2,可认为在H 高度时桶本身体积所排开的水是去填充桶在池底时桶所占有的空间,这时水的重力势能削减了；所以E2V0gH（ 3）由于桶内气体在不同高度处所排开水的势能不同所产生的机械能的转变 E3,由于桶内气体体积膨胀,因而桶在H 高度时桶本身空气所排开的水可分为两部分：一部分可看为填充桶在池底时空气所占空间,体积为 lS 的水,这部分水增加的重力势能为E31 l Sg H 另一部分体积为 l l S 的水上升到水池表面,这部分水上升的平均高度为 H 0 H l 0 l l l / 2 ,增加的重力势能为 E 32 l l Sg H 0 H l 0 l l l / 2 由整个
21、系统的功能关系得,绳子拉力所需做的最小功为 W T = E 将、式代入式得 WT Sg l l H l 0 l 2l 2 / 2 将有关数据代入式运算,并取三位有效数字,可得 WT=1.37 10 4J 例 14：如图 5 13 所示,劲度系数为 k 的水平轻质弹簧,左端固定,右端系一质量为 m 的物体,物体可在有摩擦的水平桌面上滑动,弹簧为原长时位于 O 点,现把物体拉到距 O 为 A 0 的 P 点按住,放手后弹簧把物体拉动,设物体在其次次经过 O 点前,在 O 点左方停住,求：（ 1）物体与桌面间的动摩擦因数 的大小应在什么范畴内？（ 2）物体停住点离 O 点的距离的最大值,并回答这是不
22、是物体在运动过程中所能达到的左方最远值？为什么？（认为动摩擦因数与静摩擦因数相等）解析：要想物体在其次次经过O 点前,在O 点左方停住,就需克服摩擦力做功消耗掉全部弹性势能,同时仍需合外力为零即满意平稳条件；（ 1）物体在距离 O 点为 l 处停住不动的条件是：a物体的速度为零,弹性势能的减小等于物体克服滑动摩擦力所做的功；b弹簧弹力最大静摩擦力对物体运动做如下分析：_精品资料_ - - - - - - -第 6 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载kA0物体向左运动并正好停在O 点的条件是：1kA2mgA 002得：21kA0mg如21k
23、A 0,就物体将滑过O 点,设它到O 点左方B 处（设OB=L 1）时速度为零,就有：mg12 kA 012 kL 1mgA 0L122如物体能停住,就kL 1mg,故得1kA03 mg假如能满意,但1kA0,就物体不会停在B 处而要向右运动；值越小,就往右滑动的距离越远；3 mg设物体正好停在O 处,就有：12 kL 1mgL 12得：41kA 0；要求物体停在O 点左方,就相应地要求41kA 0；mgmg综合以上分析结果,物体停在O 点左方而不是其次次经过O 点时,的取值范畴为41kA021mgmg（ 2）当在31kA 021kA0范畴内时, 物体向左滑动直至停止而不返回,由式可求出最远停
24、住点（设mgmg为 B1 点）到O 点的距离为LA02mgA 02 mgkA0A 0.kk3mg3当1kA 0时,物体在B 1点（OB1A 0）的速度大于零,因此物体将连续3 mg3向左运动,但它不行能停在B 1 点的左方；由于与B1 点相对应的=1kA0,3 mgL 1=A 0/3 ,假如停留在B 1点的左方,就物体在B 1点的弹力大于kA0,而摩擦力umgkA 0,小于弹力大于摩33擦力,所以物体不行能停住而肯定返回,最终停留在O 与 B 1 之间；所以无论值如何,物体停住与O 点的最大距离为A 0,但这不是物体在运3动过程中所能达到的左方最远值；例 15：使一原先不带电的导体小球与一带电
25、量为 Q 的导体大球接触,分开之后, 小球获得电量 q；今让小球与大球反复接触,在每次分开后,都给大球补充电荷,使其带电量复原到原先的值 Q；求小球可能获得的最大电量；解析：两球接触后电荷的安排比例是由两球的半径打算的,这个比例是恒定的；_精品资料_ - - - - - - -第 7 页,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 优秀学习资料Q欢迎下载依据两球带电比例恒定,第一次接触,电荷量之比为qq最终接触电荷之比为Q,有QqqQqmQqqmqmQq此题也可以用递推法求解；例 16：一系列相同的电阻 R,如图 5 14 所示连接,求 AB 间的等效电阻 R AB ；解
26、析：无穷网络,增加或减小网络的格数,其等效电阻不变,所以 R AB 跟从 CD 往右看的电阻是相等的；因此,有 R AB 2 R R AB R 解得 R AB 3 1 RR AB R例 17：如图 5 15 所示,一个 U 形导体框架,宽度 L=1m ,其所在平面与水平面的夹角 30,其电阻可以忽视不计,设匀强磁场为 U 形框架的平面垂直,磁感应强度 B=1T ,质量 0.2kg 的导体棒电阻 R=0.1 ,跨放在 U 形框上,并且能无摩擦地滑动；求：（ 1）导体棒ab 下滑的最大速度vm；（2）在最大速度vm时, ab 上释放出来的电功率；解析：导体棒做变加速下滑,当合力为零时速度最大,以后
27、保持匀速运动（ 1）棒 ab 匀速下滑时,有mgsinPBIl,而IBlv0解得最大速度vmmgsin2R01. m/sRB2l（ 2）速度最大时,ab 释放的电功率mgsinvm1.W 针对训练1如图 5 16 所示,原长 L 0 为 100 厘米的轻质弹簧放置在一光滑的直槽内,弹簧的一端固定在槽的O 端,另一端连接一小球,这一装置可以从水平位置开头绕 O 点慢慢地转到竖直位置；设弹簧的形变总是在其弹性限度内；试在下述（a）、（ b）两种情形下,分别求出这种装置从原先的水平位置开头缓缓地绕 O 点转到竖直位置时小球离开原水平面的高度 h0；（ a）在转动过程中,发觉小球距原水平面的高度变化显
28、现极大值,且极大值 hm 为 40 厘米,（ b）在转动的过程中,发觉小球离原水平面的高度不断增大；2如图5 17 所示,一滑雪运动员自H 为 50 米高处滑至O 点,由于运动员的技巧（阻力不计）,运v0的小动员在O 点保持速率v 不变,并以仰角起跳,落至B 点,令OB 为 L ,试问为 30 时, L 的最大值是多大？当L 取极值时,角为多大？3如图5 18 所示,质量为M 的长滑块静止放在光滑水平面上,左侧固定一劲度系数为K 且足够长的水平轻质弹簧,右侧用一不行伸长的细轻绳连接于竖直墙上,细线所能承担的最大拉力为T；使一质量为m,初速度为物体,在滑块上无摩擦地向左运动,而后压缩弹簧；（ 1
29、）求出细线被拉断的条件；（ 2）滑块在细线拉断后被加速的过程中,所能获得的最大的左向加速度为多大？（ 3）物体最终离开滑块时相对于地面速度恰为零的条件是什么？4质量 m=2.0kg 的小铁块静止于水平导轨 AB 的 A 端,导轨及支架 ABCD 外形及尺寸如图 5 19 所示,它只能绕通过支架D 点的垂直于纸面的水平轴转动,其重心在图中的 O 点,质量 M=4.0kg ,现用一细线沿轨拉铁块,拉力 F=12N ,铁块和导轨之间的摩擦系数 0 . 50,重力加速度 g=10m/s2,从铁块运动时起,导轨（及支架）能保持静止的最长时间 t 是多少？_精品资料_ - - - - - - -第 8 页
30、,共 10 页_归纳总结汇总_ - - - - - - - - - 5如图5 20 所示,在水平桌面上放一质量为优秀学习资料欢迎下载ABC ； AB 与 AC 间的夹角为, B 点到桌面M 、截面为直角三角形的物体的高度为 h；在斜面 AB 上的底部 A 处放一质量为 m 的小物体；开头时两者皆静止；现给小物体一沿斜面 AB 方向的初速度 v,假如小物体与斜面间以及 ABC 与水平桌面间的摩擦都不考虑,就 v 0 至少要大于何值才能使小物体经 B 点滑出？6如图 5 21 所示,长为 L 的光滑平台固定在地面上,平台中心放有一小物体 A 和 B ,两者彼此接触；物体 A 的上表面是半径为 R（
31、 R l2,磁场的磁感强度为 B,方向与线框平面垂直,如图 5 30 所示,令线框的 dc 边从离磁场区域上边界 PP 的距离为 h 处自由下落,已知在线框的 dc 边进入磁场以后,ab 边到达边界 PP 之前的某一时刻线框的速度已达到这一阶段的最大值；问从线框开头下落到 dc 边刚刚到达磁场区域下边界QQ 的过程中,磁场作用于线框的安培力做的总功为多少？_精品资料_ 答案 ：1 a37.5cm b50cmh100cm 2Lmax200m130K第 10 页,共 10 页3v0T,a1mmKMv2T2v0T0mKMMmM4 1.41s 52Mm gh6（ 1）gh（ 2）hR（ 3）3LMmL234gh7 D 8B 、 C 951 R51 R10mvB2mv11FR212FBmgR13 dedeB2L2L21mgR13（ 1）BImgRsin（ 2）加速度mgsin2 LB2L2mCB214（ 1）m5gR（ 2）BLgR（ 3）gR（ 4）2R2RqL415Wm3g2R2mgl2h2B4l4- - - - - - -