刚体定轴转动.ppt

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1、刚体定轴转动1现在学习的是第1页，共39页5.1 刚体的运动5.2 刚体的定轴转动定律5.3 转动惯量的计算 5.4 转动定律应用举例5.5 定轴转动中的功能关系5.6 刚体定轴转动的角动量守恒定律5.7 旋进本章目录2现在学习的是第2页，共39页CA B F由于弹性，力在连续体内传播需要一定时间：5.1 刚体的运动一. 刚体（rigid body）的概念t t +t 才感受到力固体中弹性波的速度k v（k劲度）若 v ，则 k ，此时物体有无限的刚性，它受作用力不会变形，因而可以瞬时传递力。我们把这种不能变形的物体称为刚体。3现在学习的是第3页，共39页 显然，刚体是个理想化的模型，而且考虑

2、到刚体的特点，规律的表示还可较一刚体是特殊的质点系，其上各质点间的相对位置保持不变。质点系的规律都可用于刚体，般的质点系有所简化。通常v固体 103m/s，所以只要我们讨论的运动过程的速度比此慢得多，就可把固体视为刚体。实际的意义。但是它有4现在学习的是第4页，共39页的直线在运动各个时刻的位置都彼此平行。二 . 刚体的运动形式1.平动（translation）： 刚体做平动时，可用质心或其上任何一平动是刚体的基本运动形式之一。 2.转动（rotation）： 转动也是刚体的基本运动形式之一，它又可分为定轴转动和定点转动。连接刚体内任意两点点的运动来代表整体的运动。5现在学习的是第5页，共39

3、页 定轴转动：且各圆心都在同一条固定的直线（转轴）上。 定点转动：整个刚体绕过该定点的某一瞬时轴线转动。 3.平面运动：刚体上各点的运动都平行于某一4.一般运动：刚体不受任何限制的的任意运动。它可分解为以下两种刚体的基本运动： 随基点O（可任选）的平动 绕通过基点O的瞬时轴的定点转动运动中各质元均做圆周运动，运动中刚体上只有一点固定不动，固定平面的运动。6现在学习的是第6页，共39页OOOO转动与基点的选取无关。两种分解，基点选取不同，例如：平动可以不同， 动力学中，常选质心为基点。三 . 刚体转动的描述（运动学问题）1.定点转动（rotation about a fixed point）（1

4、）角量的描述 为反映瞬时轴的方向及刚体转动的快慢转动却相同，或。 和转向，引入角速度矢量7现在学习的是第7页，共39页tdd 与转向成右螺旋关系。tdd （不一定沿着瞬时轴） 基点OP瞬时轴刚体 dv 的方向沿瞬时轴，为反映 的变化情况，引入角加速度矢量 。 转向 8现在学习的是第8页，共39页（2）线量和角量的关系vrrP 基点O瞬时轴刚体rr vtrrttadddddd vv r旋转加速度 向轴加速度 2.定轴转动（rotation about a fixed axis）转轴固定，。 和 和 退化为代数量9现在学习的是第9页，共39页 O刚体vPrr定轴参考方向z , rv2 ran rt

5、rtat vdddd )(221)(0202200 ttt .const 若若10现在学习的是第10页，共39页5.2 刚体的定轴转动定律 把刚体看作无限多质元构成的质点系。)(dd点点对对外外 OtLM )(2iiirm)(dd轴轴对对外外 ztLMzz iiiiiizzrmLLv iiizrmJ2令转动惯量（对z轴）（rotational inertia）vi刚体 O,ri定轴zmiriFi11现在学习的是第11页，共39页vi刚体 O,ri定轴zFiimiri zzJL则tJtLMzzzdddd 外外 zzJM 外外即转动定律其中 iiiizrFM sin外外定轴情况下，可不写下标 z

6、，记作： JM 与牛顿第二定律相比，有：M 相应F ，J 相应 m ， 相应 a 。12现在学习的是第12页，共39页5.3 转动惯量的计算 2iirmJ质质点点系系 mmrJd2连连续续体体dmrm转轴 J 由质量对轴的分布决定。演示 质量分布改变对转动惯量的影响(KL013)一. 常用的几种转动惯量表示式 RmO细圆环：2mRJO 13现在学习的是第13页，共39页RmC均匀圆盘：221mRJC CAm2l2l均匀细杆：2121mlJC 231mlJA 二. 计算转动惯量的几条规律1.对同一轴J具有可叠加性 iJJ14现在学习的是第14页，共39页 2.平行轴定理JCdmJC平行2mdJJ

7、C minJJC 3.对薄平板刚体的正交轴定理 ri mi x z yi y xiO 2iizrmJ 22iiiiymxmyxzJJJ 即（证明见书P260P262）如图15现在学习的是第15页，共39页例求对薄圆盘的一条直径的转动惯量，已知圆盘。 221mRJz yx z 圆盘 R C m 解：221mRJJJzyx 241mRJJyx 思考下图中的 Jz 如何求？zlDmCaazm16现在学习的是第16页，共39页5.4 转动定律应用举例定轴 ORthmv0= 0 绳（不可伸长）已知：R = 0.2m，m =1kg，v0= 0， h =1.5m，滑动，下落时间 t =3s。求：轮对 O 轴

8、 J =？ 解： 动力学关系：对轮： JRTT = TmgmaRGTN对m：maTmg 运动学关系：Ra (3)221ath (4)(1)(2)绳轮间无相对17现在学习的是第17页，共39页(1)(4)联立解得：22)12(mRhgtJ 分析结果： 量纲对； h、m 一定，J t， 若J = 0，得 ，221gth 代入数据：2mkg14. 1 正确。合理；222 . 01)15 . 1238 . 9( J此为一种用实验测转动惯量的方法。18现在学习的是第18页，共39页5.5 定轴转动中的功能关系一. 力矩的功 力矩的空间积累效应：)d(cosd rFW d)cos( rF dM 力矩的功：

9、 21 dMW dzx轴rF 19现在学习的是第19页，共39页二. 定轴转动动能定理 21d MW 21ddd tJ 21d J21222121 JJ 221 JEk 令转动动能：）（可可证证： 222121iimJv 刚体定轴转动动能定理：12kkEEW ）（kE （飞轮储能）20现在学习的是第20页，共39页三. 刚体的重力势能 iipghmEmhmmgii Cmgh 四. 应用举例 对于包括刚体的系统，功能原理和机械能ChChiEp= 0mi守恒定律仍成立。21现在学习的是第21页，共39页例已知：如图示，4/ lAO 。轴OCABl , ml /4求： 杆下摆到 角时，解：（杆+地球

10、）系统，0sin4212 lmgJO (1)222487)4(121mllmmlJO (2)(1)、(2)解得：lg7sin62 只有重力作功，E守恒。? 角速度? N轴对杆作用力均匀直杆质量为m，长为l，初始水平静止。轴光滑，22现在学习的是第22页，共39页 应用质心运动CamgmN CllmaNmgl sin ： (3)CttmaNmgt cos ： (4)24 laCl sin76g (5)OlCtJmglla cos444 7cos3 g (6)BCOAl , mNlNtNmgaCtaCllt 定理求轴力：23现在学习的是第23页，共39页 由(3)(4)(5)(6)解得：,sin7

11、13 mgNl cos74mgNt tlemgemgN cos74sin71316sin15372 mgN)ctg134(tg|tg11 ltNNCOABl , mNlNtNlt24现在学习的是第24页，共39页5.6 刚体定轴转动的角动量定理 和角动量守恒定律讨论力矩对时间的积累效应。质点系：对点：，外外 tLMdd 1221dLLtMtt 外外对轴：zttzzLLtM1221d 外外刚体： zzJL 1221d zzttzJJtM 外外刚体定轴转动的角动量定理25现在学习的是第25页，共39页.const0 zzJM ，则，则外外 正、负不变正、负不变大小不变大小不变刚体定轴转动的角动量守

12、恒定律：对刚体系， M外z = 0 时， ，.const iizJ 此时角动量可在系统内部各刚体间传递，而却保持刚体系对转轴的总角动量不变。茹科夫斯基转椅(KL016)陀螺仪（KL029）转台车轮 (KL017)演示 角动量守恒：26现在学习的是第26页，共39页克服直升飞机机身反转的措施：装置尾浆推动大气产生克服机身反转的力矩装置反向转动的双旋翼产生反向角动量而相互抵消 TV 角动量守恒定律 (注3)27现在学习的是第27页，共39页滑冰运动员的旋转猫的下落（A）猫的下落（B）28现在学习的是第28页，共39页m (黏土块) yxhPOM光滑轴均质圆盘（ 水 平）R例 如图示，求：碰撞后的瞬

13、刻盘？ 0 P 转到 x 轴时盘 ? ，解：m下落：221vmmgh gh2 v(1) mPhv对（m +盘），碰撞中重力对O 轴力矩可忽略，0cos JRm v(2) 已知：h，R，M=2m， =60系统角动量守恒：29现在学习的是第29页，共39页222221mRmRMRJ (3) 对（m + M +地球）系统，mmgOMR , 令P、x 重合时 EP = 0，则：2202121sin JJmgR (5)由(3)(4)(5)得：由(1)(2)(3)得： cos220Rgh (4) sincos222RgRgh RgmRmgRJM222 )34(2.21RhgR )60( 只有重力作功，E守

14、恒。（m +盘）角动量30现在学习的是第30页，共39页旋进： 5.7 旋进 （进动，precession）如玩具陀螺的运动：轴转动的现象。高速旋转的物体，其自转轴绕另一个31现在学习的是第31页，共39页 p2 p1m2m1 r2m1 r1 L2 L1 L Oz点的 不平行于 。L 若质量对转轴分布对称，轴轴 L zzJkLL （对对轴轴）（对对点点） 下面我们就讨论这种质量对转轴分布对称对转轴不对称，的刚体的旋进问题。刚体自转的角动量不一定都与自转轴平行。例如，图示的情形：质量则：则对轴上O32现在学习的是第32页，共39页MdLmgOLtLMdd 。 MtMLdd LM LL d从而产生

15、旋进运动。L玩具陀螺的旋进：只改变方向而不改变大小，33现在学习的是第33页，共39页 sinsinJMLM JM ，时时当当90 sinLdLOLd 旋进角速度：tdd tMLLddsind ， 1 演示 车轮旋进（KL023)TV 旋进防止炮弹翻转（注2）34现在学习的是第34页，共39页 回转效应产生附加力矩： 轮船转弯时，涡轮机轴承要承受附加力。左转dLMM dt =dL附加力附加力轴承 附加力可能造成轴承的损坏，附加力矩也可能造成翻船事故。M左转弯的力矩 三轮车拐弯时易翻车（内侧车轮上翘）。L35现在学习的是第35页，共39页 地球转轴的旋进，岁差 随着地球自转轴的旋进，北天极方向不

16、断改变。北极星3000年前 小熊座 现在 小熊座 12000年后 天琴座 （织女）T = 25800年C1C2F1F2太阳赤道平面黄道平面7223o 地球北天极地轴L地球自转角动量（F1F2 ）M地球自转轴旋进36现在学习的是第36页，共39页地轴旋进旋进周期25800年秋分点春分点西分点每年在黄道上西移50.2太阳年（回归年）：太阳由春分秋分春分恒星年（时间长）：地球绕太阳一周的时间岁差（precession）岁差 = 恒星年 太阳年 = 20分23秒北半球南半球黄道面赤道面太阳东37现在学习的是第37页，共39页我国古代已发现了岁差：每50年差1度（约72/年） 前汉（公元前206 23）刘歆发现岁差。晋朝（公元265 316）虞喜最先确定了岁差：将岁差引入历法：391年有144个闰月。祖冲之（公元429 500）编大明历最先（精确值为 50.2/年）38现在学习的是第38页，共39页当旋进发生后，总角速度 。 总总只有刚体高速自转时，才有 ，总总 JL 这时也才有 和以上 的表示式。 当考虑到 对 的贡献时，总总 自转轴在旋进中还会出现微小的上下的周期性摆动，运动叫章动（nutation）。这种第五章结束牛顿力学全部结束39现在学习的是第39页，共39页