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1、第三节第三节第三节第三节刚体定轴转刚体定轴转刚体定轴转刚体定轴转动的描述动的描述动的描述动的描述11 刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的刚体的基本运动可以分为平动和转动，刚体的各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。各种复杂运动都可以看成是这两种运动的合成。刚体的平动是指刚体在运刚体的平动是指刚体在运动过程中其中任意两点的连动过程中其中任意两点的连线始终保持原来的方向（或线始终保持原来的方向（或者说，在运动的各个时刻始者说，在运动的各个时刻始终保持彼此平行）。终保持彼此平行）。特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位特点：其中各点在任意相同的时间内具有相同的位移和运动轨迹，也具有相
2、同的速度和加速度。因而移和运动轨迹，也具有相同的速度和加速度。因而刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。刚体上任一点的运动都可代表整个刚体的运动。平动的刚体可看作质点。平动的刚体可看作质点。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。刚体的转动比较复杂，我们只研究定轴转动。一、刚体运动的基本形式一、刚体运动的基本形式2 刚体的定轴转动是指刚体的定轴转动是指刚体上各点都绕同一直线刚体上各点都绕同一直线作圆周运动，而直线本身作圆周运动，而直线本身在空间的位置保持不动的在空间的位置保持不动的一种转动。一种转动。刚体定轴转动的特点：刚体定轴转动的特点：1.刚体上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周刚体
3、上各个质点都在作圆周运动，但各质点圆周运动的半径不一定相等。运动的半径不一定相等。2.各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴各质点圆周运动的平面垂直于转轴线，圆心在轴线上，这个平面我们称为转动平面。线上，这个平面我们称为转动平面。3.各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。各质点的位矢在相同的时间内转过的角度是相同的。这条直线称为这条直线称为转轴转轴。3 描写刚体转动位置的物理量。描写刚体转动位置的物理量。在转动平面内，过在转动平面内，过O点作一极轴，设极轴的正方点作一极轴，设极轴的正方向是水平向右。向是水平向右。过过P作垂直于转轴的横截作垂直于转轴的横截面（转动平面），转动平面面（
4、转动平面），转动平面与转轴的交点为与转轴的交点为O。二、定轴转动刚体的角量描述二、定轴转动刚体的角量描述1.1.角坐标角坐标 根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚根据定轴转动刚体的特点，我们用角量来描述刚体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从体的定轴转动较为方便，而且只要描写转动平面内从圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。圆心到某一质点矢径的转动情况就足够了。角称为角称为角坐标（或角位置）角坐标（或角位置）。连接连接OP，则则OP与极轴之间的夹角为与极轴之间的夹角为。4规定：规定：从从ox轴逆时针到达轴逆时针到达P点点的矢径，角坐标为正的矢径，角坐标为正值。值。在定轴转动过程中
5、，角坐在定轴转动过程中，角坐标是时间的函数：标是时间的函数：=（t），），叫做叫做转动方程转动方程。单位：单位：弧度，弧度，rad角坐标为标量。但可有正负。角坐标为标量。但可有正负。2.2.角位移角位移描写刚体位置变化的物理量。描写刚体位置变化的物理量。t+tt+t时刻，质点到达时刻，质点到达P P/，角坐标为角坐标为 /。t t时刻时刻，质点在质点在P P点，角坐标为点，角坐标为，角坐标的增量为角坐标的增量为：称为刚体的称为刚体的角位移角位移xyP R5单位：单位：弧度，弧度，rad 角位移的大小表示了刚体在角位移的大小表示了刚体在tt时间内角位置变时间内角位置变化的多少。化的多少。3.3.
6、角速度角速度描写刚体转动快慢和方向的物理量。描写刚体转动快慢和方向的物理量。1.平均角速度平均角速度 刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。刚体的角位移与发生这段角位移所用时间之比。单位：单位：弧度弧度/秒，秒，rad/s,转转/分，分，rev/minxyRP 6 角速度是矢量，但对于刚体定轴转角速度是矢量，但对于刚体定轴转动角速度的方向只有两个，在表示角速动角速度的方向只有两个，在表示角速度时只用角速度的正负数值就可表示角度时只用角速度的正负数值就可表示角速度的方向，不必用矢量表示。速度的方向，不必用矢量表示。方向：方向：满足右手定则，沿刚体转满足右手定则，沿刚体转动方向右旋大拇指指向。
7、动方向右旋大拇指指向。2.角速度角速度.用平均角速度代替变化的角速度；用平均角速度代替变化的角速度；.令令取极限；取极限；平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。平均角速度也只是刚体转动快慢的粗略描述。角速度为角坐标对时间的一次导数。角速度为角坐标对时间的一次导数。角速度角速度7描写角速度变化快慢和方向的物理量。描写角速度变化快慢和方向的物理量。1.平均角加速平均角加速度度 刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。刚体的角速度变化与发生变化所用的时间之比。2.角加速角加速度度对变速转动，如何确定角加速度？对变速转动，如何确定角加速度？.用平均角加速度代替变化的角加速度；用平均角加速度代替变化
8、的角加速度；.令令取极限；取极限；4.4.角加速度角加速度角加速度为角速度对角加速度为角速度对时间时间 t 的一次导数，的一次导数，或为角坐标对时间或为角坐标对时间 t 的二次导数。的二次导数。t t到到t+tt+t时刻，刚体角速度的增量为：时刻，刚体角速度的增量为：8单位：单位：弧度弧度/秒秒2，rad/s2,方向：方向：角速度变化的方向。角速度变化的方向。角加速度是矢量，但对于刚体定角加速度是矢量，但对于刚体定轴转动角加速度的方向只有两个，在轴转动角加速度的方向只有两个，在表示角加速度时只用角加速度的正负表示角加速度时只用角加速度的正负数值就可表示角加速度的方向，不必数值就可表示角加速度的
9、方向，不必用矢量表示。用矢量表示。对于刚体的定轴转动问题，我们可用角对于刚体的定轴转动问题，我们可用角坐标、角位移、角速度和角加速度来描述。坐标、角位移、角速度和角加速度来描述。说明：说明：角坐标、角位移、角速度和角角坐标、角位移、角速度和角加速度等角量是用来描述定轴转动刚体加速度等角量是用来描述定轴转动刚体的整体运动，也可用来描述质点的曲线的整体运动，也可用来描述质点的曲线运动；运动；位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述位矢、位移、速度、加速度等线量是用来描述质点的运动。质点的运动。9由由有：有：两边积分两边积分2.匀变速转动公式匀变速转动公式（1）由由有：有：两边积分两边积分5.5.匀
10、变速转动的计算公式匀变速转动的计算公式1.特点：特点：1.角加速度为一常量角加速度为一常量2.定轴转动。定轴转动。3.初始条件：初始条件：（2）10与匀变速直线运动计算公式有对应关系：与匀变速直线运动计算公式有对应关系：（2）由（由（1）、（）、（2）式消）式消 t得：得：（3）（1）11 对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速对于刚体转动而言，可用角位移、角速度、角加速度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动度来描写，但对于刚体上的某一点来讲是作曲线运动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的，可用位移、速度、加速度来描写。那么描写平动的线量、与描写转动的角量之间有什么关
11、系呢？的线量、与描写转动的角量之间有什么关系呢？刚体转过刚体转过刚体上的一点路程刚体上的一点路程（1）三、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度三、定轴转动刚体上任一点的速度和加速度1.1.位移与角位移之间的关系位移与角位移之间的关系12（2）质点运动时的速度方向是沿着运动轨道的切线并质点运动时的速度方向是沿着运动轨道的切线并指向前进的方向，可表示为：指向前进的方向，可表示为：将将取极限取极限式两边同除式两边同除2.2.速度与角速度的关系速度与角速度的关系3.3.加速度与角加速度的关系加速度与角加速度的关系 为沿速度方向的单位矢量。是一个大小为沿速度方向的单位矢量。是一个大小不变（恒为不变（恒为1
12、）但方向不断变化的矢量。）但方向不断变化的矢量。根据加速度的定义，有：根据加速度的定义，有：1.切向加速度与法向加速度切向加速度与法向加速度（1）13 在在 t很小并趋于零时，有：很小并趋于零时，有：代表着质点运动速度大小的变化。代表着质点运动速度大小的变化。xyP t+tt+t时刻，速度单位矢量为时刻，速度单位矢量为t t时刻时刻，速度单位矢量为：速度单位矢量为：增量为增量为：在在 t趋于零时，趋于零时，的方向跟的方向跟垂直并指向圆心，垂直并指向圆心，即指向圆周轨道的法向即指向圆周轨道的法向的方向。的方向。r14可改写为：可改写为：将：将：代入上式，得：代入上式，得：可以将作圆周运动的加速度
13、沿圆周可以将作圆周运动的加速度沿圆周轨道的切向和法向分解为两个分量。轨道的切向和法向分解为两个分量。切向加速度：切向加速度：法向加速度：法向加速度：15大小大小切向加速度与法向加速度的意义：切向加速度与法向加速度的意义：切向加速度：切向加速度：表示速度大小变化的快慢。表示速度大小变化的快慢。速度方向的变化快慢。速度方向的变化快慢。法向加速度：法向加速度：2.圆周运动时加速度与角量的关圆周运动时加速度与角量的关系系164.4.角量与线量的关系角量与线量的关系 以上我们用线量和角量来描述质点的运动，采用以上我们用线量和角量来描述质点的运动，采用的直角坐标和角坐标系。在质点作平面运动并且已的直角坐标
14、和角坐标系。在质点作平面运动并且已知运动轨道的情况下，用自然坐标系来描述质点的知运动轨道的情况下，用自然坐标系来描述质点的运动将更方便。运动将更方便。17四、自然坐标系四、自然坐标系1.1.自然坐标系自然坐标系质点质点P沿已知的平面轨道运动。沿已知的平面轨道运动。将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选将此轨道曲线作为一维坐标的轴线，在其上任意选一点一点O作为坐标原点，并任意规定一个正方向。作为坐标原点，并任意规定一个正方向。质点在轨道上的位置可以用从原点质点在轨道上的位置可以用从原点O算起的弧算起的弧s来来表示，表示，s称为称为弧坐标弧坐标。运动方程：运动方程：自然坐标系是建立在物体运动
15、的轨迹上的。自然坐标系是建立在物体运动的轨迹上的。切向坐标切向坐标 沿运动轨迹的切线并指向弧坐标的正方向；沿运动轨迹的切线并指向弧坐标的正方向；法向坐标法向坐标 n 沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。沿运动轨迹的法线方向并指向曲线凹侧。在质点上建立两个的坐标轴：在质点上建立两个的坐标轴：切向坐标切向坐标和和法向坐标法向坐标。182.2.切向加速度和法向加速度切向加速度和法向加速度强调：强调：自然坐标系是建立在运动自然坐标系是建立在运动质点上的，它随质点一起运动在质点上的，它随质点一起运动在轨道曲线上。轨道上各点的自然轨道曲线上。轨道上各点的自然坐标系的二个坐标轴的方位是不坐标系的二个坐标轴的
16、方位是不断变化的。断变化的。根据速度的定义，根据速度的定义，而而说明：说明：ds是是dt时间内弧坐标的增量（不是路程的增量），也时间内弧坐标的增量（不是路程的增量），也就是就是dt时间内位移在切向的投影。其绝对值就是位移的大小。时间内位移在切向的投影。其绝对值就是位移的大小。是速度在切向的投影。是速度在切向的投影。注意与速度公式注意与速度公式 的区别。的区别。19 根据加速度的定义，根据加速度的定义，根据前面的讨论，加速度可表示为：根据前面的讨论，加速度可表示为：其中：其中：由于速度由于速度大小大小变化产生的加速度；变化产生的加速度；由于速度由于速度方向方向变化产生的加速度。变化产生的加速度。
17、r 为运动轨迹的曲率半径为运动轨迹的曲率半径。大小大小20例例1：质点作半径为质点作半径为R的圆周运动，其速率满足的圆周运动，其速率满足 k为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大为常数，求：切向加速度、法向加速度和加速度的大小。小。解：解：切向加速度切向加速度法向加速度法向加速度加速度加速度对于平面曲线运动对于平面曲线运动21求求t=1st=1s时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。时的法向加速度、切向加速度和轨道曲率半径。解：解：例例2 2、已已知质点在水平面内运动，运动方程为：知质点在水平面内运动，运动方程为：t=1st=1s22(2)与切向加速度垂直与切向加速度垂直ana g
18、yxov0解：解：与速度同向与速度同向(1)例例3 3、由楼窗口以水平初速度由楼窗口以水平初速度v v0 0射出一射出一发子弹，取枪口为原点，沿发子弹，取枪口为原点，沿v v0 0为为x x轴，轴，竖直向下为竖直向下为y y轴，并取发射时轴，并取发射时t=t=0.0.试求：试求：(1)(1)子弹在任一时刻子弹在任一时刻t t的位置坐标及轨的位置坐标及轨道方程；道方程；(2)(2)子弹在子弹在t t时刻的速度，切时刻的速度，切向加速度和法向加速度。向加速度和法向加速度。23 例例4 4、质点、质点M M在水平面内运动轨在水平面内运动轨道如图所示：道如图所示：OAOA段为直线段为直线,ABAB、BCBC段分别为不同半径的两个段分别为不同半径的两个1/41/4圆周。圆周。设设t t=0=0时时M M在在O O点，已知运动方程为点，已知运动方程为S=30t+5t2(SI),求求t t=2=2秒时刻，质点秒时刻，质点M M的切向加速度和法向加速度。的切向加速度和法向加速度。解：解：t=2s S=80m 可知此时可知此时M在大圆上。在大圆上。3015质点的瞬时速率质点的瞬时速率 v=30+10t(m/s)t=2s v=50m/s24