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1、特征值和特征向量集美大学 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望1.特征值与特征向量定义特征值与特征向量定义2.相关概念相关概念4.特征值与特征向量求法特征值与特征向量求法3.两个有用公式两个有用公式(特征方程根与系数的关系特征方程根与系数的关系)5.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质4.1 矩阵的特征值矩阵的特征值 和特征向量和特征向量11/13/20222集美大学理学院1.特征值与特征向量定义特征值与特征向量定义 定义定义4.1若存在常数若存
2、在常数及及非零向量非零向量例例：设：设即即11/13/20223集美大学理学院2、相关概念、相关概念(定义定义4.2)称称因为因为 即即n n元齐次线性方程组元齐次线性方程组 有非零解，有非零解，等价于等价于11/13/20224集美大学理学院设设A为为n阶矩阵，则阶矩阵，则0是是A的特征值，的特征值，是是A的属于的属于0的特征向量的的特征向量的充要条件是充要条件是0为特征方程为特征方程det(E-A)=0的根，的根，是齐次线性方是齐次线性方程组程组(E-A)X=0的非零解。的非零解。推论推论1、2（P159）若若1，2是是A属于属于0的特征向量，则的特征向量，则c11+c22也是也是A属于属
3、于0的特征向量。的特征向量。定理定理4.111/13/20225集美大学理学院3.两个有用公式两个有用公式(特征方程根与系数的关系特征方程根与系数的关系)可求得非零解可求得非零解对每个对每个解方程解方程此即对应于此即对应于的特征向量的特征向量.解特征方程解特征方程,即可得特征值即可得特征值4.求法求法即为即为的的迹迹.这里这里记为记为tr(A)tr(A)11/13/20226集美大学理学院例例 1求矩阵求矩阵的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解得特征值得特征值当当时时,解方程解方程由由11/13/20227集美大学理学院得基础解系得基础解系全部特征向量为全部特征向量为当当时时,解方程解方
4、程由由得基础解系得基础解系全部特征向量为全部特征向量为11/13/20228集美大学理学院例例 2求矩阵求矩阵的特征值与特征向量的特征值与特征向量.解解解解得特征值得特征值当当时时,解方程解方程得基础解系得基础解系全部特征向量为全部特征向量为11/13/20229集美大学理学院当当时时,解方程解方程得基础解系得基础解系全部特征向量为全部特征向量为注意在例注意在例1与例与例2中中,特征方程的特征方程的重根所对应的线性无关特征向量的个数重根所对应的线性无关特征向量的个数.11/13/202210集美大学理学院例例3如果矩阵如果矩阵则称则称是幂等矩阵是幂等矩阵.试证试证幂等矩阵的特征值只能是幂等矩阵
5、的特征值只能是 0或或 1.证明证明 设设两边左乘矩阵两边左乘矩阵,得得由此可得由此可得因为因为所以有所以有得得由证明过程可得结论由证明过程可得结论,若若是是的特征值的特征值,则则是是的特征值的特征值.进而进而是是的特征值的特征值11/13/202211集美大学理学院练习：练习：11/13/202212集美大学理学院5.特征值与特征向量的性质特征值与特征向量的性质定理定理4.2 n4.2 n阶矩阵阶矩阵A A与它的转置矩阵与它的转置矩阵A AT T有相同的特征值。有相同的特征值。证：证：要使要使A A和和A AT T有相同的特征值，只要有相同的特征值，只要|E-E-A AT T|=|=|E-E
6、-A|A|成立。成立。事实上，事实上，|E-E-A AT T|=|(|=|(E-E-A)A)T T|=|=|E-E-A|A|定理定理4.3 n4.3 n阶矩阵阶矩阵A A可逆的充要条件是它的任一特征可逆的充要条件是它的任一特征 值不等于值不等于0 0。证证 必要性：必要性：A可逆，则可逆，则|A|0,所以所以|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|0,0,即即0 0不是不是A A的特征值。的特征值。充分性充分性(反证法反证法)：设设A A不可逆，即不可逆，即|A|=0,|A|=0,从而从而 11/13/202213集美大学理学院|0E-A|=|-A|=(-1)n|A|=0,=0,即即0 0是是
7、A A的特征值，矛盾。的特征值，矛盾。定理定理4.44.4 不同特征值对应的特征向量是线性无关的不同特征值对应的特征向量是线性无关的.定理定理4.54.5 1,2,m是是A的的m个不同的特征值，个不同的特征值，A的属的属于于i的线性无关的特征向量为的线性无关的特征向量为i1,i2,isi(i=1,2,.,m)，则向量组则向量组11,12,1s1,21,22,2s2,m1,m2,msm,线性无关。线性无关。即即1,2,m是是A的的m个不同的特征值，个不同的特征值，1,2,m分别是分别是A的属于的属于1,2,m的特征向量，的特征向量，则则1,2,m线性无关。线性无关。11/13/202214集美大
8、学理学院不同特征向量可属于同一个特征值不同特征向量可属于同一个特征值.一个特征向量不能对应于不同特征值一个特征向量不能对应于不同特征值.不同特征值对应的特征向量是线性无关的不同特征值对应的特征向量是线性无关的.11/13/202215集美大学理学院练习练习11/13/202216集美大学理学院4.2 相似矩阵与矩阵相似矩阵与矩阵 可对角化的条件可对角化的条件1.相似矩阵概念相似矩阵概念2.相似矩阵基本性质相似矩阵基本性质3.方阵的对角化含义方阵的对角化含义4.矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件11/13/202217集美大学理学院1.相似矩阵概念相似矩阵概念这时这时 也是也是 的相似矩阵的相
9、似矩阵:相似相似等价等价.定义定义4.3 设设A、B都是都是n阶方阵阶方阵,若有可逆矩阵若有可逆矩阵P,使使 P-1AP=B则称则称B是是A的的相似矩阵相似矩阵,或说或说A与与B相似相似.记作记作 A B 称称P为把为把A变成变成B的相似变换矩阵的相似变换矩阵.11/13/202218集美大学理学院2.相似矩阵基本性质相似矩阵基本性质基本性质基本性质(1)相似矩阵有相同的行列式相似矩阵有相同的行列式.(2)相似矩阵有相同的迹相似矩阵有相同的迹.(3)相似矩阵有相同的秩相似矩阵有相同的秩.(4)相似矩阵有相同的特征多项式相似矩阵有相同的特征多项式.(5)相似矩阵有相同的特征值相似矩阵有相同的特征
10、值.11/13/202219集美大学理学院证明证明(1)设矩阵设矩阵A与与B相似相似,即有即有P-1 AP=B(2)显然显然.(3)(4)由由(3)即得即得.(5)由由(4)及迹的定义即得及迹的定义即得.11/13/202220集美大学理学院例例1已知已知与与相似相似,求求x,y.解解因为相似矩阵有相同的特征值因为相似矩阵有相同的特征值,故故A与与B有相同的特征值有相同的特征值 2,y,-1.根据特征方程根与系数的关系根据特征方程根与系数的关系,有有而而故故x=0,y=1.11/13/202221集美大学理学院课堂练习课堂练习11/13/202222集美大学理学院3.方阵的对角化含义方阵的对角
11、化含义所谓方阵所谓方阵可以对角化可以对角化,是指是指相似相似.即存在可逆矩阵即存在可逆矩阵使使 成立成立.4.矩阵可对角化的条件矩阵可对角化的条件定理定理(充要条件充要条件)阶方阵阶方阵可对角化可对角化有有个线性无关的特征向量个线性无关的特征向量.11/13/202223集美大学理学院证明证明设设得到得到即即是是的对应于特征值的对应于特征值的特征向量的特征向量.因因可逆可逆,故故线性无关线性无关.11/13/202224集美大学理学院设设线性无关线性无关.记记则则因因线性无关线性无关,故故可逆可逆,即即可对角化可对角化.推论推论(充分条件充分条件)若若A的的n个特征值互不相等个特征值互不相等,
12、则则A与对角阵相似与对角阵相似(可对角化可对角化).逆不成立逆不成立,即与对角阵相似的矩阵即与对角阵相似的矩阵,特特征征值不一定互不相等值不一定互不相等.11/13/202225集美大学理学院如果如果A有有k对应的线性无关的特征向量的个数对应的线性无关的特征向量的个数(几何重数几何重数)相等相等,则则 A一定可对角化一定可对角化.关的特征向量的个数少于关的特征向量的个数少于k则则A一定不能对角化一定不能对角化.如果如果A有一个有一个k 重特征值重特征值,并且所对应的线性无并且所对应的线性无重特征值重特征值,只要重数只要重数(代数重数代数重数)和所和所定理定理(证明略证明略)11/13/2022
13、26集美大学理学院例例2有三个不同的特征值有三个不同的特征值对应的特征向量分别为对应的特征向量分别为已知已知求求(1)(2)解解又又所以所以11/13/202227集美大学理学院(2)即即记记显然可逆显然可逆,则有则有而而故故11/13/202228集美大学理学院课堂练习课堂练习11/13/202229集美大学理学院 1.1.实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵特征值的性质2.实对称矩阵实对称矩阵对角化方法4.3 实对称矩阵的实对称矩阵的 特征值和特征向量特征值和特征向量11/13/202230集美大学理学院1.实对称矩阵特征值的性质实对称矩阵特征值的性质(1)实对称矩阵的特征值都是实数实对称矩阵
14、的特征值都是实数.(2)实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交实对称矩阵对应于不同特征值的特征向量必正交.(3)实对称矩阵的重特征值的重数实对称矩阵的重特征值的重数(代数重数代数重数)与对与对应的线性无关的特征向量的个数应的线性无关的特征向量的个数(几何重数几何重数)相相等等.结论结论11/13/202231集美大学理学院任一实对称矩阵任一实对称矩阵一定可以对角化一定可以对角化.与之相似的对与之相似的对角阵的对角元素就是角阵的对角元素就是的全部特征值的全部特征值,而正交阵而正交阵是由其是由其对应的单位特征向量对应的单位特征向量所组成的所组成的.2.实对称矩阵的实对称矩阵的对角化设设为为阶实
15、对称矩阵阶实对称矩阵,则必存在正交矩阵则必存在正交矩阵使使其中其中是以是以的的个特征值为对角元的对角阵个特征值为对角元的对角阵.主要结论主要结论11/13/202232集美大学理学院例例1求一个正交阵求一个正交阵解解(1)求特征值求特征值:特征值为特征值为11/13/202233集美大学理学院(2)求特征向量求特征向量:对于对于解解得线性无关的特征向量为得线性无关的特征向量为对于对于解解得线性无关的特征向量为得线性无关的特征向量为(3)特征向量正交化、单位化：特征向量正交化、单位化：用施密特正交化方法用施密特正交化方法11/13/202234集美大学理学院正交化正交化取取单位化单位化取取(4)写出所求正交矩阵写出所求正交矩阵:11/13/202235集美大学理学院令令则则 P 是正交阵是正交阵.并且并且要特别注意本题的解题方法和步要特别注意本题的解题方法和步骤骤.在下面的用正交变换化二次型在下面的用正交变换化二次型为标准形中还要用到类似的方法为标准形中还要用到类似的方法.11/13/202236集美大学理学院课堂练习课堂练习11/13/202237集美大学理学院