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1、关于矩阵的特征值和关于矩阵的特征值和特征向量特征向量第一页，讲稿共二十二页哦2022/10/1625.1.1 特征值和特征向量的基本概念特征值和特征向量的基本概念定义定义 设设A为数域为数域F上的上的n阶矩阵阶矩阵,如果存在数如果存在数l l F和和非零非零的的n维列向量维列向量X,使得使得AX=l lX就称就称l l是矩阵是矩阵A的的特征值特征值,X是是A的属于的属于(或对应于或对应于)特特征值征值l l的的特征向量特征向量.注意注意:特征向量特征向量X 0;特征值问题是对方阵而言特征值问题是对方阵而言 的的,本章的矩阵如不加说明本章的矩阵如不加说明,都是方阵都是方阵.第二页，讲稿共二十二页
2、哦2022/10/163AX=l lX 根据定义根据定义,n阶矩阵阶矩阵A的特征值的特征值,就是齐次线就是齐次线性方程组性方程组 (l lI-A)X=0 有非零解的有非零解的l l值值.即满足方程即满足方程 det(l lI-A)=0 即即 的的l l都是矩阵都是矩阵A的特征值的特征值.因此因此,特征值是特征值是l l的多项式的多项式det(l lI-A)的根的根.第三页，讲稿共二十二页哦2022/10/164 AXAX=l lX,det(det(l l l lI-A)=0)=0(5.2)(5.2)定义定义定义定义 设设设设n n阶矩阵阶矩阵A A=(=(a aij ij),),则则则则称为矩
3、阵称为矩阵A的的特征多项式特征多项式,l lI-A称为称为A的的特征矩阵特征矩阵,(5.2)式称为式称为A的的特征方程特征方程.第四页，讲稿共二十二页哦2022/10/165 显然显然显然显然,n n阶矩阵阶矩阵A A的特征多项式是的特征多项式是的特征多项式是的特征多项式是l l l l的的的的n n次多项式次多项式次多项式次多项式.特征特征特征特征多项式的多项式的多项式的多项式的k k重根也称为重根也称为重根也称为重根也称为k k重特征值重特征值重特征值重特征值.当当当当n 5 5时时时时,特征多项式没有特征多项式没有特征多项式没有特征多项式没有一般的求根公式一般的求根公式一般的求根公式一般
4、的求根公式,即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式即使是三阶矩阵的特征多项式,一般也一般也一般也一般也难以求根难以求根难以求根难以求根,所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征所以求矩阵的特征值一般是三阶行列式求特征值值值值,一般用一般用一般用一般用0,1,0,1,-1,2,1,2,-2进行尝试先得到一个根进行尝试先得到一个根,则剩下的则剩下的两个根可用解一元二次方程的办法解两个根可用解一元二次方程的办法解.第五页，讲稿共二十二页哦2022/10/166例例解解验证：是否为A
5、的特征向量第六页，讲稿共二十二页哦2022/10/167注注1注注2注注3如果 是A对应于特征值 的特征向量，则 也是A对应于特征值 的特征向量。第七页，讲稿共二十二页哦2022/10/168注注5矩阵A的任一特征向量所对应的特征值是唯一的注注4如果 是A对应于特征值 的线性无关特征向量，则 也是A对应于特征值 的特征向量。第八页，讲稿共二十二页哦2022/10/169例例 求下列矩阵的特征值和特征向量求下列矩阵的特征值和特征向量解解A的特征多项式为的特征多项式为A的特征值为的特征值为即即对应的特征向量可取为第九页，讲稿共二十二页哦2022/10/1610对应的特征向量可取为对应的特征向量可取
6、为A属于属于 的全部特征向量的全部特征向量：A属于属于 的全部特征向量的全部特征向量：第十页，讲稿共二十二页哦2022/10/1611例例 求矩阵求矩阵求矩阵求矩阵 的特征值和特征向量的特征值和特征向量.解解 矩阵矩阵A的特征多项式为的特征多项式为A的特征值为的特征值为l l1=2,l l2，3=1(二重特征值二重特征值).第十一页，讲稿共二十二页哦2022/10/1612当当当当l l l l1 1=2时时,由由(l l1 1I-A A)X X=0,=0,即即即即得其基础解系为得其基础解系为X1=(0,0,1)T,因此因此k1X1(k1 0为常数为常数)是是A的对应于的对应于l l1=2的特
7、征向量的特征向量.第十二页，讲稿共二十二页哦2022/10/1613当当l l l l2 2=1时时,由由(l l l l2 2I I-A A)X X=0,即即得其基础解系为得其基础解系为X2=(1,2,-1)T,因此因此k2X2(k2 0为常数为常数)是是A的对应于的对应于l l2=1的特征向量的特征向量.第十三页，讲稿共二十二页哦2022/10/1614例例 求矩阵的特征值和特征向量求矩阵的特征值和特征向量解解A的特征多项式为的特征多项式为A的特征值为的特征值为第十四页，讲稿共二十二页哦2022/10/1615得基础解系得基础解系得基础解系第十五页，讲稿共二十二页哦2022/10/1616
8、例例 主对角元为主对角元为主对角元为主对角元为a a1111,a a22,.,.,a annnn的对角阵的对角阵A A或上或上(下下)三角阵三角阵B B的的特征多项式是特征多项式是|l l l lI I-A A|=|=|l lI I-B B|=(l l-a a1111)()(l l l l-a a22).().(l l l l-a annnn),故故A,B B的的的的n n个特征值就是个特征值就是个特征值就是个特征值就是n n个主对角元个主对角元个主对角元个主对角元.第十六页，讲稿共二十二页哦2022/10/1617 2 2、n n阶矩阵阶矩阵A A=(=(a aij ij)的的的的n n个特
9、征值为个特征值为个特征值为个特征值为l l l l1,l l l l2,.,l l l ln n.则则则则5.1.2 特征值和特征向量的性质特征值和特征向量的性质 1、设设n阶矩阵阶矩阵A可逆的充要条件是它的每一个特可逆的充要条件是它的每一个特 征值均不为征值均不为0.第十七页，讲稿共二十二页哦2022/10/1618 矩阵的特征值和特征向量还有以下性质矩阵的特征值和特征向量还有以下性质矩阵的特征值和特征向量还有以下性质矩阵的特征值和特征向量还有以下性质:3、若若若若l l l l是矩阵是矩阵是矩阵是矩阵A A的特征值的特征值的特征值的特征值,X X是是是是A属于属于属于属于l l l l的特
10、征向量的特征向量的特征向量的特征向量,则则则则(i)(i)kl l l l+a a是是kA+aIkA+aI的特征值的特征值(k,ak,a是任意常数是任意常数是任意常数是任意常数),),(ii)(ii)l l l lm是是是是A Amm的特征值的特征值的特征值的特征值(mm是正整数是正整数是正整数是正整数););(iii)(iii)当当当当A A可逆时可逆时,l l-1 1是是是是A A-1 1的特征值的特征值的特征值的特征值;(iv)(iv)当当当当A A可逆时可逆时,detA/l l l l是是A A*的特征值的特征值的特征值的特征值.且且且且X X仍是矩阵仍是矩阵kA+aIkA+aI,A
11、Amm,A A-1 1,A*的分别对应于特征值的分别对应于特征值的分别对应于特征值的分别对应于特征值kl+al+al+al+a,l lm,1/,1/l,l,l,l,detA/l l的特征向量的特征向量.第十八页，讲稿共二十二页哦2022/10/1619证证 已知已知AXAX=l lX X (i)(i)k kl l是kAkA的特征值的特征值(k k是任意常数是任意常数),),这是因为这是因为(kAkA)X X=k k(AXAX)=)=k kl lX X,即即kl l是是kA的特征值,X X是是kAkA的属于特征值的属于特征值k kl l的特征向量的特征向量.(ii)(ii)A A(AXAX)=)
12、=A(l lX X)=)=l l(AXAX)=)=l(l lX X),),即 A A2X X=l l2 2X X 再继续上述步骤m m-2 2次次,就得就得A Am mX X=l lm mX X.(iii)(iii)当当A可逆时可逆时,l 0,0,由由AXAX=lX X可得可得A A-1 1(AXAX)=)=A-1 1(l lX X)=)=l lA A-1 1X 因此因此 A A-1 1X X=l l-1 1X X故故l l-1 1是是A-1的特征值的特征值,且且X X也是也是A-1 1对应于对应于l l-1的特征向量的特征向量第十九页，讲稿共二十二页哦2022/10/16204 4、矩阵矩阵
13、矩阵矩阵A和和和和AT的特征值相同的特征值相同.证证 因为因为(l lI I-A A)T T=(=(l lI I)T T-A AT T=l lI I-A AT 所以所以 det(det(l lI-A A)=det(l lI I-AT T)因此因此 A A和AT T有完全相同的特征值有完全相同的特征值.第二十页，讲稿共二十二页哦2022/10/1621定理定理 设设 阶方阵阶方阵A 有互不相同的特征值有互不相同的特征值 ，(iI A)x=0的基础解系为的基础解系为 则则 ；线性线性 无关无关 推论推论 6、设设A为为n阶方阵，阶方阵，,若若为为A的特的特 征值，则征值，则 是是f(A)的特征值的特征值 7、设设为为A的的k重特征值重特征值,A关于关于的线性无关的特征的线性无关的特征 向量的最大个数为向量的最大个数为s，则，则1 1 s k(矩阵矩阵A A对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）对应于单特征值的线性无关的特征向量有且只有一个）第二十一页，讲稿共二十二页哦感感谢谢大大家家观观看看第二十二页，讲稿共二十二页哦