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1、机动 目录 上页 下页 返回 结束 数学科学学院数学科学学院 陈建华陈建华矩矩 阵阵 论论机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.1 特征值和特征向量特征值和特征向量一、方阵的特征值和特征向量一、方阵的特征值和特征向量二、线性变换的特征值和特征向量二、线性变换的特征值和特征向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 1、定义、定义AX=X一、方阵的特征值和特征向量一、方阵的特征值和特征向量机动 目录 上页 下页 返回 结束 AX=X 非零非零向量向量 特征向量特征向量对应对应 特征值特征值 n阶方阵阶方阵 对应于特征值对应于特征值 的特征向量不唯一。的特征向量不唯一。注：注：2、求法、求法AX=X
2、(EA)X=0|EA|=0 特征方程特征方程|EA|=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann 特征多项式特征多项式 EA 特征矩阵特征矩阵 特征值特征值 特征向量特征向量 机动 目录 上页 下页 返回 结束 机动 目录 上页 下页 返回 结束 (1)为为A的特征值的特征值|EA|=0.(2)X为为A的对应于的对应于 的的特征向量特征向量 (EA)X=0,X为非零向量为非零向量.求特征值和特征向量的步骤：求特征值和特征向量的步骤：(1)写出写出A的特征方程的特征方程|E A|0;(2)求出求出A的的n个特征值个特征值 1,2 n;(3)对每一特征值对每一特征值 i
3、，求解对应的方程组，求解对应的方程组(iE A)X 0 方程组的非零解就是方程组的非零解就是 i的所有特征向量的所有特征向量.定理定理1例例1机动 目录 上页 下页 返回 结束 解解:A的特征多项式为的特征多项式为 求矩阵求矩阵的特征值和特征向量的特征值和特征向量.所以所以A的特征值为的特征值为 1=2,2=3=1.对于对于 1=2,解方程组解方程组(2EA)X=0,机动 目录 上页 下页 返回 结束 p1=(0,0,1)T.对应于对应于 1=2的特征向量为的特征向量为k1p1(0 k1 R).得基础解系得基础解系对于对于 2=3=1,解方程组解方程组 (EA)X=0,得基础解系得基础解系p2
4、=(1,2,1)T.对应于对应于 2=3=1的特征向量为的特征向量为k2p2(0 k2 R).于是，于是，于是，于是，机动 目录 上页 下页 返回 结束 3、性质、性质（3）a+k 是是aE+kA 的特征值（的特征值（a,k为常数）。为常数）。且且 X 仍为仍为 A2,A-1,aE+kA 的分别对应于特征值的分别对应于特征值 2,-1,a+k 的特征向量的特征向量。设设 是方阵是方阵A的的特征值，特征值，X为为A 的对应于的对应于性质性质1 的特征向量，则的特征向量，则机动 目录 上页 下页 返回 结束 特征值为特征值为 1=2,2=3=1.1+2+3=4 1 2 3=2=a11+a22+a3
5、3=|A|.观察例观察例1 1机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设A=(aij)n n的特征值为的特征值为 1,n,则则 (1)1+n=a11+ann，(2)1 2 n=|A|,其中其中a11+ann 称为称为A 的迹，记作的迹，记作tr(A).性质性质2证明：证明：f()=a11 a12 a1n a21 a22 a2n an1 an2 ann =(-1)()(-n).f()=n-(a11+ann)n-1+(-1)n|A|f()=n-(1+n)n-1+(-1)n(1 n)比较上述两式比较上述两式 n-1n-1项的系数和常数项，可得结论。项的系数和常数项，可得结论。机动 目录 上页 下页 返
6、回 结束 A 可逆可逆当且仅当当且仅当 1,n全不为零全不为零.的确是方阵的一个的确是方阵的一个 特征特征.推论推论由此可知由此可知,特征值可以刻画方阵的可逆性特征值可以刻画方阵的可逆性,（3）AT 特征值为特征值为 1,n；（4）AH 特征值为特征值为机动 目录 上页 下页 返回 结束 设设 是方阵是方阵A的的特征值，特征值，X为为A 的对应于的对应于性质性质3 的特征向量，的特征向量，则则 对应的特征向量。对应的特征向量。P3,定理1.2例例2 2已知三阶方阵已知三阶方阵A有特征值有特征值1，2，3，求，求|E+2A|.例例3 3设设 是方阵是方阵A的的特征值，特征值，X为为A 的对应于的
7、对应于 的特征向量，证明：的特征向量，证明：机动 目录 上页 下页 返回 结束 性质性质4设设 i是方阵是方阵A的的特征值，它特征值，它的代数重数是的代数重数是ni几何维数是几何维数是si，则，则其中：其中：Si 是是A的属于的属于 i的线性无关的特征向量的个数的线性无关的特征向量的个数,机动 目录 上页 下页 返回 结束 如果如果 分别是分别是 A 的属于互不相同的特征值的属于互不相同的特征值的特征向量，则的特征向量，则 线性无关线性无关.证：对证：对k作数学归纳法作数学归纳法.性质性质5推论推论特征值特征值 的线性无关的特征向量，的线性无关的特征向量，则向量则向量 线性无关线性无关.是是
8、A 的不同特征值，而的不同特征值，而 是属于是属于机动 目录 上页 下页 返回 结束 例例4 4对于对于n阶方阵阶方阵A,B,证明：证明：思考题对于对于n阶方阵阶方阵A,B,等式等式 AB-BA=E 是否成立是否成立？二、线性变换的特征值和特征向量二、线性变换的特征值和特征向量设是数域设是数域P上线性空间上线性空间V的一个线性变换，的一个线性变换，则称则称为为 的一个的一个特征值特征值，称为的属于特征值，称为的属于特征值二、线性变换的特征值与特征向量二、线性变换的特征值与特征向量 1.1.1.1.定义定义定义定义若对于若对于P中的一个数存在一个中的一个数存在一个V的非零向量的非零向量使得使得的
9、的特征向量特征向量.18 几何意义：特征向量经线性变换后方向保持几何意义：特征向量经线性变换后方向保持由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，由此知，特征向量不是被特征值所唯一确定的，注注相同相同 或相反或相反时时 若若 是是 的属于特征值的特征向量，则的属于特征值的特征向量，则也是也是 的属于的特征向量的属于的特征向量.但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即但是特征值却是被特征向量所唯一确定的，即若且，则若且，则19设设 是是V的一组基，的一组基，线性变换在这组基下的矩阵为线性变换在这组基下的矩阵为A.下的坐标记为下的坐标记为 2.2.2.2.特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法
10、特征值与特征向量的求法特征值与特征向量的求法 分析：分析：分析：分析：设是的特征值，它的一个特征向量在基设是的特征值，它的一个特征向量在基则则 在基下的坐标为在基下的坐标为20而而 的坐标是的坐标是于是于是又又从而从而 又又即即 是线性方程组是线性方程组 的解，的解，有非零解有非零解.所以它的系数行列式所以它的系数行列式 21以上分析说明：以上分析说明：若是的特征值，则若是的特征值，则反之，若满足反之，若满足则齐次线性方程组有非零解则齐次线性方程组有非零解.若是一个非零解，若是一个非零解，特征向量特征向量.则向量就是的属于的一个则向量就是的属于的一个22设设 是一个文字，矩阵称为是一个文字，矩
11、阵称为称为称为A的的特征多项式特征多项式.3.3.3.3.特征多项式特征多项式特征多项式特征多项式A的的特征矩阵特征矩阵，它的行列式，它的行列式（是数域（是数域P上的一个上的一个n次多项式）次多项式）23 矩阵矩阵A的特征多项式的根有时也称的特征多项式的根有时也称为为A的特征值的特征值,注注：若矩阵若矩阵A是线性变换关于是线性变换关于V的一组基的矩阵的一组基的矩阵，而是的一个特征值，则是特征多项式而是的一个特征值，则是特征多项式的根，即的根，即的一个特征值的一个特征值.反之，若是反之，若是A的特征多项式的根，则就是的特征多项式的根，则就是（所以，特征值也称（所以，特征值也称特征根特征根.）而相
12、应的线性方程组而相应的线性方程组 的非零解也就的非零解也就称为称为A的属于这个特征值的特征向量的属于这个特征值的特征向量.24 i)在在V中任取一组基中任取一组基 写出写出 在这组基下在这组基下就是的全部特征值就是的全部特征值.ii)求求A的特征多项式的特征多项式 在在P上的全部根它们上的全部根它们4.4.4.4.求特征值与特征向量的一般步骤求特征值与特征向量的一般步骤求特征值与特征向量的一般步骤求特征值与特征向量的一般步骤的矩阵的矩阵A.iii)把所求得的特征值逐个代入方程组把所求得的特征值逐个代入方程组的全部线性无关的特征向量在基的全部线性无关的特征向量在基 下的坐标下的坐标.)并求出它的
13、一组基础解系并求出它的一组基础解系.(它们就是属于这个特征值它们就是属于这个特征值25 则则就是属于这个特征值就是属于这个特征值 的全部线性的全部线性无关的特征向量无关的特征向量.而而（其中，不全为零（其中，不全为零）就是的属于就是的属于 的全部特征向量的全部特征向量.如果特征值如果特征值 对应方程组的基础解系为：对应方程组的基础解系为：26对皆有对皆有所以，所以，V中任一非零向量皆为数乘变换中任一非零向量皆为数乘变换K的特征向量的特征向量.例例1 1.在线性空间在线性空间V中，数乘变换中，数乘变换K在任意一组基下在任意一组基下的矩阵都是数量矩阵的矩阵都是数量矩阵kE，它的特征多项式是，它的特
14、征多项式是故数乘法变换故数乘法变换K的特征值只有数的特征值只有数k，且，且27解：解：A的特征多项式的特征多项式 例例2 2.设线性变换在基设线性变换在基 下的矩阵是下的矩阵是求特征值与特征向量求特征值与特征向量.故的特征值为：（二重）故的特征值为：（二重）28 把把 代入齐次方程组代入齐次方程组 得得 即即 它的一个基础解系为它的一个基础解系为：因此，属于因此，属于 的两个线性无关的特征向量为的两个线性无关的特征向量为而属于而属于 的全部特征向量为的全部特征向量为不全为零不全为零 29因此，属于因此，属于5的一个线性无关的特征向量为的一个线性无关的特征向量为 把把 代入齐次方程组代入齐次方程
15、组 得得 解得它的一个基础解系为：解得它的一个基础解系为：而属于而属于5的全部特征向量为的全部特征向量为305.5.5.5.特征子空间特征子空间特征子空间特征子空间 定义定义定义定义：再添上零向量所成的集合，即再添上零向量所成的集合，即设设 为为n维线性空间维线性空间V的线性变换的线性变换，为为的一个特征值，令的一个特征值，令 为的属于的全部特征向量为的属于的全部特征向量则则 是是V的一个子空间的一个子空间,称之为的一个称之为的一个特征子空间特征子空间.31注注：的解空间的维数，且由方程组的解空间的维数，且由方程组(*)得到的属于的得到的属于的若在若在n维线性空间维线性空间V的某组基下的矩阵为的某组基下的矩阵为A，则，则即特征子空间即特征子空间 的维数等于齐次线性方程组的维数等于齐次线性方程组(*)全部线性无关的特征向量就是全部线性无关的特征向量就是 的一组基的一组基.32 线性代数是一种语言，必须线性代数是一种语言，必须用学习外语的方法每天学习这种用学习外语的方法每天学习这种语言语言 David.C.Lay33