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1、习题一1-1.质点运动学方程为：其中a，b，均为正常数，求质点速度和加速度与时间的关系式。分析：由速度、加速度的定义，将运动方程对时间t求一阶导数和二阶导数，可得到速度和加速度的表达式。解：1-2. 一艘正在沿直线行驶的电艇，在发动机关闭后，其加速度方向与速度方向相反，大小与速度平方成正比，即， 式中K为常量试证明电艇在关闭发动机后又行驶x距离时的速度为 。 其中是发动机关闭时的速度。分析：要求可通过积分变量替换，积分即可求得。证： , 1-3一质点在xOy平面内运动，运动函数为。（1）求质点的轨道方程并画出轨道曲线；（2）求时质点的位置、速度和加速度。分析：将运动方程x和y的两个分量式消去参
2、数t，便可得到质点的轨道方程。写出质点的运动学方程表达式。对运动学方程求一阶导、二阶导得和，把时间代入可得某时刻质点的位置、速度、加速度。解：（1）由得：代入 可得：，即轨道曲线。画图略（2）质点的位置可表示为： 由则速度： 由则加速度：则：当t=1s时，有当t=2s时，有1-4一质点的运动学方程为，x和y均以m为单位，t以s为单位。（1）求质点的轨迹方程；（2）在时质点的速度和加速度。分析同1-3.解：（1）由题意可知：x0，y0，由，可得,代入 整理得：，即轨迹方程 （2）质点的运动方程可表示为： 则： 因此, 当时，有1-5一质点沿半径为R的圆周运动，运动学方程为，其中v0，b都是常量。
3、（1）求t时刻质点的加速度大小及方向；（2）在何时加速度大小等于b； （3）到加速度大小等于b时质点沿圆周运行的圈数。分析：由质点在自然坐标系下的运动学方程，求导可求出质点的运动速率，因而，当时，可求出t，代入运动学方程，可求得时质点运动的路程，即为质点运动的圈数。解：（1）速率：，且 加速度： 则大小： 方向： （2）当a=b时，由可得：（3）当a=b时，代入可得： 则运行的圈数 1-6一枚从地面发射的火箭以的加速度竖直上升0.5min后，燃料用完，于是像一个自由质点一样运动，略去空气阻力，试求（1）火箭达到的最大高度；（2）它从离开地面到再回到地面所经过的总时间。分析：分段求解：时，求出、
4、；t30s时，。求出、。当时，求出、，根据题意取舍。再根据，求出总时间。解：（1）以地面为坐标原点，竖直向上为x轴正方向建立一维坐标系，且在坐标原点时，t=0s，且0.5min=30s则：当0t30s，由, 得， 时， 由，得，则：当火箭未落地, 且t30s,又有：， 则： 且：，则：当，即时，由得，（2）由（1）式，可知，当时，t16(s)30(s)（舍去）1-7. 物体以初速度被抛出，抛射仰角60，略去空气阻力，问（1）物体开始运动后的1.5s末，运动方向与水平方向的夹角是多少？ 2.5s末的夹角又是多少？（2）物体抛出后经过多少时间，运动方向才与水平成45角？这时物体的高度是多少?（3）
5、在物体轨迹最高点处的曲率半径有多大？（4）在物体落地点处，轨迹的曲率半径有多大？分析：（1）建立坐标系，写出初速度，求出、，代入t求解。（2）由（1）中的关系，求出时间t；再根据方向的运动特征写出，代入t求。（3）物体轨迹最高点处，且加速度，求出。（4）由对称性，落地点与抛射点的曲率相同 ，求出。解：以水平向右为x轴正向，竖直向上为y轴正向建立二维坐标系（1）初速度， 且加速度 则任一时刻：与水平方向夹角有当t=1.5(s)时，当t=2.5(s)时，（2）此时, 由得t=0.75(s)高度（3）在最高处， 则：（4）由对称性，落地点的曲率与抛射点的曲率相同。由图1-7可知： 1-8应以多大的水
6、平速度v把一物体从高h处抛出， 才能使它在水平方向的射程为h的n倍？分析：若水平射程，由消去，即得。解：设从抛出到落地需要时间t 则，从水平方向考虑，即从竖直方向考虑消去t，则有： 1-9汽车在半径为400m的圆弧弯道上减速行驶，设在某一时刻，汽车的速率为，切向加速度的大小为。求汽车的法向加速度和总加速度的大小和方向。分析：由某一位置的、求出法向加速度，再根据已知切向加速度求出的大小和方向。解：法向加速度的大小 方向指向圆心总加速度的大小如图1-9，则总加速度与速度夹角1-10. 质点在重力场中作斜上抛运动，初速度的大小为，与水平方向成角求质点到达抛出点的同一高度时的切向加速度，法向加速度以及
7、该时刻质点所在处轨迹的曲率半径（忽略空气阻力）已知法向加速度与轨迹曲率半径之间的关系为。分析：运动过程中，质点的总加速度。由于无阻力作用，所以回落到抛出点高度时质点的速度大小，其方向与水平线夹角也是。可求出，如图1-10。再根据关系求解。解：切向加速度 法向加速度 因 1-11火车从A地由静止开始沿着平直轨道驶向B地，A，B两地相距为S。火车先以加速度a1作匀加速运动，当速度达到v后再匀速行驶一段时间，然后刹车，并以加速度大小为a2作匀减速行驶，使之刚好停在B地。求火车行驶的时间。分析：做v-t图，直线斜率为加速度，直线包围面积为路程。解：由题意，做v-t图（图1-11）则梯形面积为S，下底为
8、经过的时间t，则：则：1-12. 一小球从离地面高为H的A点处自由下落，当它下落了距离h时，与一个斜面发生碰撞，并以原速率水平弹出，问h为多大时，小球弹的最远？分析：先求出小球落到A点的小球速度，再由A点下落的距离求出下落时间，根据此时间写出小球弹射距离,最后由极植条件求出h。解：如图1-12，当小球到达A点时，有 则速度大小：, 设从A点落地的时间为t，则有， 则小球弹射的距离， 则当时，有最大值。 1-13离水面高为h的岸上有人用绳索拉船靠岸，人以恒定速率v0拉绳子，求当船离岸的距离为s时，船的速度和加速度的大小。分析：收绳子速度和船速是两个不同的概念。小船速度的方向为水平方向，由沿绳的分
9、量与垂直绳的分量合成，沿绳方向的收绳的速率恒为。可以由求出船速和垂直绳的分量。再根据关系，以及与关系求解。解：如图1-13， 船速 当船离岸的距离为s时， 则， 即：1-14. A船以的速度向东航行，B船以的速度向正北航行，求A船上的人观察到的B船的速度和航向。分析：关于相对运动，必须明确研究对象和参考系。同时要明确速度是相对哪个参照系而言。画出速度矢量关系图求解。解：如图1-14，B船相对于A船的速度则速度大小：方向：，既西偏北1-15. 一个人骑车以的速率自东向西行进时，看见雨滴垂直落下，当他的速率增加至时，看见雨滴与他前进的方向成120角下落，求雨滴对地的速度。分析：相对运动问题，雨对地
10、的速度不变，画速度矢量图由几何关系求解。解：如图1-15，为雨对地的速度， 分别为第一次，第二次人对地的速度，分别为第一次，第二次雨对人的速度由三角形全等的知识，可知：三角形ABC为正三角形，则：，方向竖直向下偏西。1-16如题图116所示，一汽车在雨中以速率沿直线行驶，下落雨滴的速度方向偏于竖直方向向车后方角，速率为，若车后有一长方形物体，问车速为多大时，此物体刚好不会被雨水淋湿？分析：相对运动问题，画矢量关系图，由几何关系可解。解：如图1-16（a），车中物体与车蓬之间的夹角 若，无论车速多大，物体均不会被雨水淋湿若，则图1-16（b）则有=又则：1-17，渔人在河中乘舟逆流航行，经过某桥
11、下时，一只水桶落入水中，0.5h后他才发觉，即回头追赶，在桥下游5.0km处赶上，设渔人顺流及逆流相对水划行速率不变，求水流速率。分析：设静水中船、水的速率分别为，从桶落水开始记时，且船追上桶时为t时刻。取水速的反方向为正方向，则顺水时，船的速率为，逆水时船的速率为,做-t图，见图1-17解： 即：则：又：则：水流速率1-18一升降机以2g的加速度从静止开始上升，在2.0s末时有一小钉从顶板下落，若升降机顶板到底板的距离h=2.0m，求钉子从顶板落到底板的时间t, 它与参考系的选取有关吗？分析：选地面为参考系，分别列出螺钉与底板的运动方程，当螺丝落到地板上时，两物件的位置坐标相同，由此可求解。解：如图1-18建立坐标系，y轴的原点取在钉子开始脱落时升降机的底面处，此时，升降机、钉子速度为,钉子脱落后对地的运动方程为： 升降机底面对地的运动方程为：且钉子落到底板时，有，即与参考系的选取无关。