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1、以“减”促“加” 聚能量 显实效 几个教学案例给我们的启示无锡市立人高中数学名师工作室 王华民 郑宝生 唯物辩证法告诉我们，外因必须通过内因才能起作用在教学过程中，教师的活动属于外因，学生的自觉能动性属于内因学之道在于悟成功的教学在于能够调动学生的兴趣，让其独立思考和操作实践，发现规律，以获得成功的体验反思现行的数学教学，部分教师忽视学生的主体性，怕学生不会，自己讲得多，学生参与少，教学效果不理想课例研究是进行教学分析的重要途径，它在于透视课堂现象与学生情态，通过检测、作业等反馈，进行数据统计与分析，获得一些教学启示“加”“减”法是数学中最基本的运算，在数学课堂中，如果能善于运用好这两种“运算
2、”，并以“减”促“加”，聚集非智力因素的正能量，必能凸显教学实效一、 减少教师的讲授，增加学生的思考与表述案例1 1 一位年轻教师在一堂高二“双曲线习题课”上，投影了一道例题： 化简方程 =4，并说明它表示什么曲线.操作 题目一出示， 老师就急着说：（法一）一般地解，移项、平方、整理、再移项、再平方，运算量大； （法二）是否可以与双曲线的定义联系起来？用第一定义解在老师的提示下，学生豁然开朗，然后师生一同完成解答. 之后又开始了下一个问题.评说 解题教学应遵循波利亚的解题表，即“审题拟订计划执行计划回顾反思”四步.试想：题目一出示，学生还没有来得及审题，就被老师牵着鼻子走，他们缺乏必要的思考时
3、间，只能忙于埋头笔记或机械听讲，能有实际效果吗？而建构主义学习理论认为，学生学习是从自己已有的知识和经验出发，凭借自己已有的认识和经验，对新的问题情境，新的知识进行同化或顺应的自主建构的过程，这种建构是发生在每一个学生头脑里，是他人无法替代的. 因此，在课堂上老师只顾自己讲解，讲的也仅仅是自己的想法和做法，缺乏针对性，导致一些学生注意力不集中，教学效率低下.学生反馈：上课听得懂，但独立完成作业有困难；教师感叹：这道题，我已经讲过几遍了，怎么考试时还有不少人没做出? 上述现象在某些地方具有普遍性，一些教师刚出示问题，就急忙分析、讲解，留给学生思考的时间少，学生仿佛“听众”，参与得少，其效果可想而
4、知在完成解答（执行计划）后，教师又开始了下一个例题. 显然，它缺乏对问题的回顾反思，学生怎能提高综合解题能力呢？案例2 高三“一轮”复习“三角与向量”的专题复习课上一段插曲问题 已知角A，B，C的对边分别为a，b，c，向量m(cos)，n(cos)，mn(1) 若ABC的面积为，求b+c的值； (2) 求b+c的取值范围解析 （限于篇幅，将解题要点整理如下）（1）利用面积公式，结合余弦定理，得b+c=4（2）学生甲：消元bc，利用基本不等式得bc，12（b+ c）2，得b+ c4，又b+ c0，故b+c的取值范围是（0，4学生乙：我用正弦定理解， 因时间偏紧，教师准备让她坐下，但心中觉得应该以
5、学生为主体，还是让她说下去乙：由，由正弦定理得，,，=且，b+ c ,4.两种解答，结果有差异，怎么回事？这时，被学生丙看出来，“第一种解答漏了两边之和大于第三边，应把它补上”气氛热烈，师生都很兴奋，教师乘势让大家谈谈解题体会评说 本题（2）的通常思路是用余弦定理，但用基本不等式有局限性，往往只能得到一个方向，要么“”，要么“”，容易漏解；而学生乙采用正弦定理求解，或许是她习惯于正弦定理，但客观上她的解答纠正一个用余弦定理容易犯的错误课堂上，作为两个定理与不等式知识的综合运用，两种解答侧重点不同，互为补充，相得益彰，显得和谐！教师如果仅强调时间因素，没让学生表述，可能会犯下一个解答不完整的错误
6、，错失一次运用、纠错与完善的机会！美国国家委员会在“人人关心：数学教育的未来”的报告中指出：“只有当学生通过自己的思考建立起自己的数学理解力时，才能真正学好数学”，“必须用心创造与体验来学习数学”再结合上述案例，可以得出“课堂上要把时间还给学生”的结论其一，教师一定要减少讲授的时间，讲学生不会的，讲学生没意识到或遗漏的其二，增加学生反思的时间，怎么会出错，是否有更合理、有效的方法？其三，增加学生表述的机会，讲自己犯错的原因，讲避免的措施这样，学生将会听得更认真、仔细如此坚持下去，学生也将越来越敢讲，讲得也会越来越流畅，其效率必能得到提升二、减少教师的讲授，增加学生的提问与评价案例3 高二选修4
7、4 “参数方程的意义”课堂片段在2012年10月天一中学“聚焦课堂生长课堂研讨”上，该校青年教师秦志伟老师执教“参数方程的意义”课，创设以下情境：在游戏主题公园，假设将“小鸟”以初速度为5 米/秒水平抛出，“小鸟”距地面高度为1米，（ g取10米/秒2）教师：在这个情境中，你能提出哪些数学问题？学生1 这是一个抛物线，求出“小鸟”运动的轨迹方程学生2 这个小鸟经过多少时间落地？学生3 这个小鸟落地点与树根的水平距离为多少？教师（追问）：这些问题哪一个是核心问题？学生在议论，觉得核心问题是“小鸟”运动的轨迹方程教师：请同学们尝试解决对于问题1 有不同建系（解答略）评说 在课的起始阶段，教师创设“
8、愤怒的小鸟”的情境，激发了学生兴趣；再通过“你能提出哪些数学问题？”这一开放性问题，引起学生的思考，学生可根据物理、数学的学习经验，从不同角度提问，有益于培养学生的发散性思维；教师通过追问其核心问题，让学生在纷繁的事务中抓住本质，培养思维的深刻性，如此劈出这35分钟，促使学生的知识、思维能力等生长在课堂，值！案例5 在理科数学选修21，“曲线的交点”一节，教师出示了一道例题：抛物线与直线1相交于A、B两点，求线段AB的长教师留了5分钟时间思考，之后请学生交流：生1：解方程组，消y得+1=0，解出A、B两点的坐标，得AB=8. （大部分学生如此解答）：生2：解方程组时消去x得：4=0，再求A、B
9、两点坐标（略）生3：不需要求出A、B两点坐标，只要设，得AB=；将1代入，得AB=，再利用根与系数关系=6，1，获解生4：抛物线的焦点坐标为（1,0）在直线y=x1上，设，利用抛物线的定义知，AB=，利用根与系数关系=6可求解师：你们评价一下，哪一种解法更简单，为什么？生5：利用抛物线定义最简单，在解方程组时，只要求得一元二次方程，利用根与系数关系，减少了许多计算；同时利用抛物线定义比运用两点间距离公式容易，即不要将转化为，也不要为了求而配方了师：说得很好！如果把直线改为y=x+1，还能用抛物线定义吗？生（不少）：不能！师：利用定义，是要有条件的你们能否说出生3与生1两种解法的区别与联系吗？生
10、6：学生3和1都是先消元，但1要求出y，而3不用求y，是把目标式整体转化关于x的式子，利用根与系数的关系求解此时，学生7突然站起来就说：解方程组消去x后，利用根与系数关系=4，AB=+ p +1+p=8（这样的情况不在教师的预设之中）师：万变不离其宗，各种方法的共同之处是什么？生7：都需要解方程组师：请大家一起品尝一下每一种解法的优劣？生8：解方程组求两个交点的坐标，如果这两个交点的坐标非常简单，这样做就很方便，否则会很麻烦生9：解方程组是消去x还是消去y，不同的问题需要不同对待，“简单”只是一个方面，它与我们的需求有关生10：利用定义求弦长虽然简单，但它必须是过焦点的弦才能用；在方程有实数根
11、的前提下，通过根与系数关系和两点间距离公式求弦长，虽然有些繁琐，但它是求弦长的一般方法师：运算问题一直是解析几何的棘手问题，追求简单化是我们的方向之一，但消元、转化等思想方法是解决这一类问题的通性通法，切不可丢评说 上述学生的精彩表现，是教师培养，也是教师长期“放手”的结果通过一题多解，在于训练知识、方法，但教师不止步于此，又抛出问题：请评价一下哪一种解法更简单，为什么会简单？给学生评价的机会学生就需要对比几种方法的优劣，给出理由；经过了教师的追问，脱离了束缚之后的学生，往往会发现一些教师预设之外、新的东西，还给教师不少精彩的回答生9指出与需求有关，说得好极了，体现了辩证法的思想；生10的回答
12、发现求弦长的一般方法和特殊方法，抓住了事物的本质属性把评价还给学生，每个学生都能有那么一点独特见解，能在课堂这个舞台上张扬一番，使得课堂变成有意义学习的舞台让学生参与评价的过程，就是给学生一次感悟的机会，培养出学习的悟性，有了悟性、执行操作，就容易获得成功然而，现在的课堂教学更多的是题海战，很少留有感悟时间把评价还给学生，还能提升学生的主人翁意识，更好地激发其学习的主动性和创造性三、减少教师的指导，增加学生的合作交流案例6 我校高二某班的两位女生，数学成绩约在班级的前三分之一，本学期这两人中间坐着一位尖子女生，仅过了一个月，一次单元检测的成绩竟然退到班级的后三分之一从作业反馈，两位学生平常很少
13、有错误，大多数等第为A，但不少地方已经用修真液涂改过从对两位学生的个别交流得知，每一次作业题都与尖子生对答案，稍有不会，就看尖子生的解答，严重的依赖思想这样，这两位学生作业后缺乏判断、检验的过程，缺少思维的跟进，每次不需订正作业，其印象当然不深而另有一部分同学，每次作业错误不少，但考试时错误很少，往往能取得进步形式的一点差异，结果却迥异！因此，很有必要进行学法指导与交流！这位教师在一堂习题课上，留出10分钟，让上述两类同学各出一个代表，交流学习体会，用她们自己的口说出：平常作业对答案，依赖他人、缺少自我判断，而考试时则没有人互对答案，成绩很不理想，要大家引以为戒之后的期中检测，该班（包括上述女
14、生）取得了较为理想的成绩案例7 教师建议每位学生撰写“考后反思”每次期中、期末考试，我校高二某文科班的数学王老师，让全班学生写“考后反思”，把成功、不足及对策，一一写出来，并抽点时间，让同伴交流教师从中归纳出几个要点，粘贴在学习园地如：正视问题策略应对 （1）运算失误多讲究算理，独立运算，绝不“对”答案！（2）没有理解请教老师与学生，自己体会；（3）解题速度慢平时多练习，作业抓紧时间；（4）方法不合理归纳总结解题思路、方法，并积累一位学生对此回忆道：我们班级的数学成绩之所以能名列年级前茅， “检测后反思”是其中一个重要的因素评说 数学教学如何进行学法指导？因学生是学习的主体，解决学生的问题，终究要通过学生自己的努力予以解决上述教学实践给我们以启示，除了教师必要的指导外，让学生通过自身实践、自我反思，获得一些认识；让他们意识到问题的严重性，自己讲出来并写出来，同伴的经验总结、挫折与感悟弥足珍贵这是因为学生更能听进同伴的讲解，更能理解同龄人的语言，具有共振“效应”，易产生正能量多年的教学实践也证实这一点有一种酒叫“舍得”酒，有“舍”才有“得”；“减”表面是减少，但实质是增加，这正如“退”是为了更好的“进”，“减”是为了更好的“加”这些辨证思想对于数学教学，也同样彰显其魅力参考文献：1 王华民对一道例题教学的剖析与改进J无锡教育，2005（8）：13