高三数学新增教材专题――.doc

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1、高三数学新增教材专题.txt吃吧吃吧不是罪，再胖的人也有权利去增肥！苗条背后其实是憔悴，爱你的人不会在乎你的腰围！尝尝阔别已久美食的滋味，就算撑死也是一种美！减肥最可怕的不是饥饿，而是你明明不饿但总觉得非得吃点什么才踏实。 本文由bohvici贡献 doc文档可能在WAP端浏览体验不佳。建议您优先选择TXT，或下载源文件到本机查看。 高三数学新增教材专题 向量 平面向量是这次(教材改革新增加的内容之一 按新大纲的教学目标和要求， 主要内容有向量的概念与 性质，向量的四种基本运算向量的简单应用其中的重点是向量的运算与简单应用 分析近年的高考试题，有关平面向量部分突出考查了向量的基本运算由于新教材

2、是首次增加这部分 内容，而且大纲要求重在基础，加之教学中师生还有一个逐步适应的过程所以预计单独考查平面向量的 题目应属基本运算之类，将会以填空题或选择属的形式出现 1 个题目对于和解析几何相关的线段的定比 分点和平移等交叉内容，作为将来学习解析几何的基本工具，在相关内容中也可能会进行考查 本章的另一部分是解斜三角形，它是从初中教材中遂步分离并划归到高中教材中的一部分内穿从知 识体系上看，应属于三角函数一章，从研究方法上看，应属于向量应用的一个方面近几年的全国高考试 题逐渐加大了对这部分三角内容的考查力度，主要是在三角形中考查正弦定理、余弦定理与三角恒等变形 等知识的综合应用 由于向量沟通着初中

3、数学的有关知识，与高中数学中的函数、三角、解析几何、立几几何的知识密切 相关，较之导数、概率统计知识更为活跃、更为重要。 一、向量正成为支撑高中数学学科的重点知识 2005 年普通高等学校招生全国统一考试大纲 （理科数学。新课程版）明确指出： “对数学基础知识 的考查，要求全面又突出重点，对于支撑学科知识体系的重点知识，考查时要保持较高的比例，构成数学 试题的主体，注重学科的内在联系，不刻意追求知识的覆盖面，从学科的整体高度和思维价值的高度考虑 问题，在知识网络交汇点设计试题，考查达到必要的深度。 ” 20002003 年全国高考贤良向量的分布 年号 2000 年 2001 年 题号 4 18

4、 5 20 10 2002 年 18 21 4 18 2003 年 21 所占分值 5 12 5 12 5 12 12 5 12 12 重点考查的知识点 平面向量的模、垂直的判断，数量积 空间向量与立几，空间向量的模、数量积，垂直等 平面向量的基本定理 空间向量与立几，空间向量的坐标，夹角，数量积等。 平面向量与解几，动点的轨迹方程的求解 空间向量与立几，空间向量的坐标，夹角，数量积等 平面向量与解几，三角的交汇，动点的交汇向量的数量积 平面向量与解几，平几的交汇，共线向量的充要条件，数量 积 空间向量与立几，空间向量的坐标，夹角，数量积等 平面向量与解几，动点的轨迹方程的求解，椭圆的概念与性

5、 质 2004 年 （I）卷 2004 年 （II）卷 2004 年 （III）卷 7 21 9 21 20 0 0 5 12 5 12 12 向量与解几 向量与解几 向量与解几、向量基础知识 向量与解几 向量与立几 0 2004 年 （iv） 14 20 4 12 向量数量积 向量与解几 向量在 2005 年高考中解答题的地位一览表 类型 全国 I 全国 II 全国 III 北京卷 福建卷 广东卷 湖北卷 湖南卷 江苏卷 辽宁卷 山东卷 上海卷 天津卷 浙江卷 重庆卷 江西卷 立几向量 立几向量 立几向量 向量解几 向量三角 立几向量 向量解几 立几向量 向量数列 函数 向量解几 向量函数

6、立几向量 立几向量 立几向量 解几向量 立几向量 立几向量 立几向量 向量解几 三角向量 第一题 第二题 立几向量 立几向量 第三题 第四题 第五题 向量解几 向量解几 第六题 由于新课程的新增加 的内容大都是近年来现代数学的重要基础，对于学生对于数学学科的学习兴趣、增 强学生的数学应用意识，都具有十分重要而深远的意义，并且它们必然成为支撑数学学科知识体系的重点 知识，从而他成为保持较高的比例，构成数学试题的组提的终于只是啊板块，在向量的在新高考试卷中频 频出现，引起大家的注意和关注，对改革传统高中数学教育学都产生意义深远的影响和积极的作用。 向量的特有的“神” （坐标形式）形（几何形式）兼备

7、这一特征，时向量及其平行、垂直的充要条件 都有其坐标表示形式和几何表示形式，加之向量的数量积不仅是一个数值，而且与向量的夹角及其余弦值 密切联系，使得它必然成为沟通数学个主要分支（解析几何、立体几何、三角知识、数列等知识） ，嫁接 数学知识之间横向联系的重要桥梁和纽带，决定了作为新课程卷新增内容的向量必然成为支撑数学学科知 识体系的重点知识， 近年来向量的所占的比例大约在 30 分左右，约占全卷的 20， 向量作为现代数学的重要基础进入高中数学知识体系后，不仅确定立即成为支撑数学学科的重要知 识，也是学习和研究许多重要数学问题的通性通法的强有力的工具， “注重通性通法，淡化特殊技巧”是近几年高

8、空新命题的重要理念之一，向量是高中数学的重要工 具之一，向量作为工具不仅在处理三角、不等式、解几、立几问题时显得简捷、明快，而且在中学其它学 科也有广泛的应用，向量的概念与运算包含着丰富的数学语言，常见形式主要有三种：一是自然语言，二 是符号语言，三是图形语言，这三种语言本质上是等价的，但不同的语义给人不同的信息，因此灵活、准 确地进行语义转换是正确、快速地用向量解题的保证。 二、向量概念教学中的几个似是而非的问题 注意向量中一些不合常理的性质： 如向量不是有向线段，但却用有向线段表示； （向量有大小方向，但与起点无关，有向线段有大小、 方向、和起点组成） 向量有大小却不可以进行大小比较； （

9、向量是一个有大小的量，它可以用数来表示它的大小（模） ， 但它却不可以进行大小比较，同时向量在一个特殊的情况下可以比较大小，即同向又模相等的情况下， 存在 a = b ） 零向量方向是任意的， 但可平行却不可垂直； （零向量的方向是任意的， 因此可以和任意向量平行， 但却不可以与任何向量垂直，因此 a b = 0 a b 是错误的，必须加上 a, b 都是非零向量。 向量运算满足交换律、分配律，但满足结合律、消去律。 a (b c) = ( a b)c, a b = a c a = c （ 都是错误的） 向量有坐标，但坐标却与向量无关； （向量（3，2）并不意味着向量过点（3，2） ） 常见的

10、错误有 a a = a , ，但 a b ab | a | b | ，常见的错误有 (a b) 2 = a b ， 正确的式子是： 正确的式子是： (a b) 2 a b , | a + b | a | + | b | 却要画辅助线。 OA OB = BA, 但是 OA + OB 却要画辅助线。 a b x1 y 2 x 2 y1 = 0 ，但 a b 不等价于 a = b （必须 b 0 ） 直线方向向量的夹角不一定是直线的夹角。 直线方向向量的夹角不一定是直线的夹角。 三、向量解题中的通性常法 平面向量具有代数形式和几何形式的双重身份和内涵，在高中数学中起着桥梁和工具的作用，涉及的 主要问

11、题有线段定比分点，平移问题，三角问题、平面几何，解析几何等。平面向量在高考中处于解决问 题的辅助地位，在解题中具有独特的功能常作为工具与数列、三角函数、不等式、解析几何、立体几何 等专题结合，综合解决三角函数的化简、求值及三角形中的有关问题，处理有关长度、角度、垂直等问题 以及圆锥曲线中的典型问题等 由于向量有其独特的形式和内涵，因此解题方法也多种多样，各领风骚，主要的有以下几种： 1. 巧用“回路” 在平面封闭图形中，根据首尾相接的向量和为零向量，构造出一个向量等式，再根据向量加法的三角 形法则、平行四边形法则进行化简求解。 【例】如图，已知任意平面四边形 ABCD 中，E、F 分别是 AD

12、、BC 的中点， 求证： EF = 2 2 2 2 2 1 （ AB + DC ）. 2 【分析】根据求证的内容，将 EF 转化为向量 AB 、 DC 的和、差形式表示，充分运用如、减法的运算法 则完成. D E C F A B 【证明】如图，在四边形 CDEF 中， EF + FC + CD + DE = 0 . 在四边形 ABFE 中， EF + FB + BA + AE = 0 . +得（ EF + EF ）+（ FC + FB ）+（ CD + BA ）+（ DE + AE ）= 0 . E、F 分别是 AD、BC 的中点， FC + FB = 0 ， DE + AE 0 . 2 EF

13、 = CD BA = AB + DC . 因此 EF = 1 （ AB + DC ）. 2 【评析】在四边形 CDEF 和在四边形 ABFE 中写出向量的“回路”形式是破题的关键。 “回路”是向量解题 的一个特点，看似简单，但其应用广泛。 2. 数形结合 由于向量具有代数和几何的双重特征，因此充分挖掘问题的几何背景，数形结合往往是化解问题难点 的制胜法宝。 【例】(2003 年高考新课程题)设 O 是平面上一定点，A、B、C 是平面上不共线的三点，动点 P 满足 OP = OA + ( AB | AB | + AC | AC | ), 0,+), 则 P 点的轨迹通过ABC 的（ ） (D)A

14、BC 的垂心. （A）外心， （B）内心 【分析】注意 (C) 重心 AB , AN 是单位向量，利用向量加法的三角形法则作图求解。 | AB | | AN | 【解】记 AM = AB | AB | , AN = AN | AN | , 则 AM 、 AN 都是单位向量，设 AQ = AM + AN ， | AM |=| AN |， AMPN 是菱形， AQ 平分 BAC , OP = OA + AP, ， 而由条件知 OP = OA + AQ, AP = AQ, ( 0,+), 点 P 的轨迹是射线 AQ，且 AQ 通过ABC 的内心.应选 B。 【评析】如果设 AM = AB | AB

15、| , AN = AN | AN | , 则 AM 、 AN 都是单位向量，这是构造单位向量的一条捷径. 【例】点 P 为直线 L 上一点，A 为 L 外一点， e 为 L 上的单位向量，点 A1 为点 A 关于直线 L 的对称点， 若用 e 和 PA 表示 PA1 ，则 PA1 =. A L P e B A1 【分析】注意到对称与垂直、中点的内在联系，并结合向量中射影的知识。 【解】如图，作 ABL 于 B，则 PB = ( PA e ) e , AB = PB PA, 所以 PA1 = PB + BA1 = PB + AB = 2 PB PA = 2 ( PA e ) e PA . 【评析

16、】本题解法构思精巧，别出心裁，特别是 PB = ( PA e ) e 是向量数量积几何性质的巧妙应用。 【例】设 x，yR， i ， j 为直角坐标平面内 x，y 轴正方向上的单位向量，若向量 a x i （y2） j ， b x i （y2） j 且| a | b |8。求点 M（x，y）的轨迹方程； 【解】因为 a x i （y2） j ， b x i （y2） j 且| a | b |8。 所以点 M（x，y）到两定点 F1 （0，2） F2 （0，2）的距离之和为 8。 ， 所以轨迹 C 为以 F1 ， F2 为焦点的椭圆，方程为 x2 y2 + =1。 12 16 2 2 【评析】如

17、果仅仅从代数的角度出发，将| a | b |8 转化为 x + ( y + 2) + x 2 + ( y 2) 2 = 8 ， 则会遭遇“计算之痛” ，而数形结合则巧妙求解，一气呵成。 3 “模”取平方 模是向量的一个特性，许多问题都与此相关，向量的模形式上是距离和根式，它的解题方法以两边 平方为佳。 | x |=| y | x | 2 =| y | 2 x = y 是处理向量模常用的方法，通过平方以及利用向量数量积等 知识转为为实数的有关问题的研究。这种方法往往与数学中整体处理方法相结合。 【例】 （2005 年高考浙江卷(理） ）已知向量 a e ，| e |=1 满足：对任意 tR，恒有

18、| a t e | a e |，则 （ ） A. a t e B. a ( a e ) C. e ( a e ) D.( a e )( a e ) 【分析】| a t e | a e |两边同时平方展开进行讨论； 【解】tR，恒有| a t e | a e |，等价于| a t e | 2 | a e | 2 恒成立， 即（ a t e ） 2 （ a e ） 2 恒成立. 展开整理得 t22 a e t(2 a e 1)0 对任意 tR 均成立. 则需方程的判别式=(2 a e )24(2 a e 1)0. 整理得( a e )22( a e )10，即( a e 1)20. a e =1.

19、 e ( a e )= e a e 2=11=0. e ( a e ). 应选 C. 【评析】 | x y | 2 = ( x y ) 2 = x + y 2 x y cos 是常用的一个公式，应熟练掌握。 2 2 2 2 4 “建基设系” 利用平面向量基本定理， 即如果 e1 、 2 是同一平面的两个不共线向量， e 则对这个平面内的任意向量 a ， 有且只有一对实数 1、 2，使 a = 1 e1 + 2 e2 .因此可以将平面上任何一个向量 a 表示成不共线两个向量 e1 , e2 的 线 性 组 合 形 式 ， 这 在 证 明 相 关 的 平 面 几 何 时 尤 为 常 用 。 特 别

20、 地 ， 向 量 的 中 点 公 式 OM = 1 (OA + OB ) ,M 为 A、B 的中点。 2 2 2 2 【例】在ABC 内求一点 P，使 AP + BP + CP 取得最小值，该点是三角形的 A垂心 B内心 C重心 D，外心 【分析】解决三角形的有关问题常常以两边为基底，将其它的量表示成基底的线性组合形式。 【解】如图，设 CA = a , CB = b , CP = x , AP = x a , BP = x b ， AP + BP + CP ( x a ) 2 + ( x b ) 2 + x 2 = 3 x 2 2( a + b ) x + a 2 + b 2 2 2 2 3

21、 x ( a + b ) + a + b ( a + b ) . 2 2 2 2 1 3 1 3 A P B C 根据向量运算的意义，知当 x = 1 (a + b ) 时， AP 2 + BP 2 + CP 2 有最小值. 3 设 M 为 AB 的中点，易知 a + b = 2CM 即当 x = 1 2 (a + b ) 时， CP = CM ，此时 P 为三角形的重心. 3 3 【评析】本题的关键在于建立一个以向量为变量的二次函数，因此，在解题重应消除只能以实数为变量的 原有定势，只要任何一个量是变化的，不管量的性质如何，就可以作为变量，从而建立以这个量为变量的 函数.本题也说明了解决利用

22、向量解三角形问题，常常可以通过建立基向量的方法。 【例】已知ABC 的三个顶点 A,B,C 及平面内一点 P，满足 PA + PB + PC = AB ，则点 P 与ABC 的关 系为（ ） A、P 在ABC 内部 B、P 在ABC 外部 C、P 在 AB 边所在直线上 D、P 是 AC 边的一个三等分点 【解】 构作一个特殊三角形， 即以 A 为顶点的等腰直角三角形， A 且 （0， ， （1， ， （0， ， ( x, y ) 0） B 0） C 1） P 则由条件得 x = 0, y = 1 ,应选 D。 3 【评析】利用平面直角坐标系将向量问题坐标化，是向量代数化的一条有效途径，向量问

23、题坐标化的优点 在于思路明晰、以算取胜。 5.“算两次”列方程 算两次的方法在数学解题中屡试不爽，同一个式子、同一个图形、同一个问题从两个不同的角度出发， 得到不同的式子、方程，从而为解决问题提供了方便。在平面向量中“算两次”的方法运用的最为普遍的 是三点共线问题。 【例】ABC 中，|AM|AB|13，|AN|AC|14。线段 BN 与 CM 交于点 E， AB = a , AC = b ，试 用 a 与b 表示 AE 。 【分析】用两种方式来刻划 M，E，C 三点共线，并注意利用平面向量基本定理。 【解】 M，E，C 三点共线，且 AM = 1 AB.设 ME = t MC 3 B 由平面

24、向量定理知， AE t AC （1t） AM t AC 又设 NE s NB ， AN 1 t AB ， 3 M E C 1 AC ， 4 由平面向量定理知， AE s AB （1s） AN s AB AB ， AC 是ABC 的两条边向量， 1 s AC 。 A 4 N a ， b 不共线，由平面向量基本定理知， AE 的表示唯一。 即 t 1 s 1 t ，且 s。 4 3 2 2 3 解得，t 。 AE b + a. 11 11 11 【点拨指导】由 AE t AC （1t） AM ， AE s AB （1s） AN ，和向量表示的唯一性，得到 t 1 s 1 t ，且 s.这种“算两次

25、”的方法被广泛的应用在利用向量解决几何问题中，应反复琢磨，领 4 3 会要义. 6待定系数法 待定系数法是常用的数学思想方法，在平面向量中关于向量的平行、三点共 线、点的轨迹、最值问题等都可以利用待定系数法，从而转化为方程的求解。 【例】已知两点 A（1，0） 、B（1，0） ，点 P 使 AP AB ， AP PB ， BA BP 成 公差小于等差数列，则 PA 与 PB 的夹角的取值范围是 。 【解】设 P（x，y） ，则由 2 PA PB AP AB BA BP ，得 x 2 + y 2 = 3. 又由公差 d （ 1 x ） （ x 1 ） 0 ， 则 0x 3 。 所 以 cos 得

26、 PA PB PA PB = = 1 ( ,1, 得 0 。 3 2 4 x2 1 【例】已知 OP （2，1） OA （1，7） OB （5，1） ， ，设 M 是直线 OP 上的一点（O 是坐标原点） ， （1）求使 MA MB 取最小值时的 OM ； （2）对（1）中求出的点 M，求 AMB 的值。 【分析】因为 M 是直线 OP 上的一点，所以设 OM OP 并将 MA MB 表示成 的函数。求出了 M （2）就容易解决了。 y A P O M B x ，则 MA （12，7） MB ， 【解】 （1）0、P、M 三点共线，设 OM OP （2，） （52，1） ， MA MB 5 2

27、 2012，当2 时， MA MB 取最小值，这时 OM （4，2） 。 （2） MA （3，5） MB （1，1） ， ，cosAMB MA MB MA MB = 4 17 ， 17 又 0 AMB ， AMB = arccos( 4 17 )。 17 【评析】上述解法的“点睛”之笔就是根据 O,P,M 三点共线引入参数 ，至此将向量问题转化为关于 的 函数问题。 【例】如图，在ABC 中，点 M 是 BC 的中点，点 N 在边 AC 上，且 AN=2NC，AM 与 BN 相交于点 P， 求 AP:PM 的值. A P B M N C 【思路分析】选择一组合适当的向量做基底，用这组基底可表示

28、平面内的有关向量，再由向量共线条件列 出等式，用待定系数法解之. 在 BC 和 AC 上有已知分点，选向量 BM 和 CN 为一组基底的建模方式 较好. 【过程方法】设 BM = e1 ， CN = e2 ，则 AM = AC CM =3 e2 e1 ， BN =2 e1 e2 A、P、M 和 B、P、N 分别共线， 存在实数 、 使 AP = AM = e1 3 e2 ， BP = BN =2 e1 + e2 ， 故 BA = BP AP =（ +2 ） e1 +（3 + ） e2 .而 BA = CA =2 e1 +3 e2 4 = 5 ， + 2 , 4 由基本定理，得 解得 故 AP

29、= AM ，即 APPM=41. 5 3 + . = 3 . 5 【评析】 （1）若 e1 ， e2 是两个不共线的向量， a 为同一平面内的任一向量，则向量 a 可用 e1 ， e2 表示为 a = 1 e1 + 2 e2 （ 1 ， 2 R） ，且表示方式是唯一的（有唯一的一组 1 ， 2 ） ，但未给出寻找 1 ， 2 的 方法，这需要结合具体问题，通过向量的线性运算来完成. （2）基底建模是向量法解决几何图形有关证明和求解的一种重要方法，关键在于选取的基底是否合适， 选好基底就迈出了成功的第一步。 【例】 （2002 年天津高考题）平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点 A(3,1

30、)，B(1,3)，若点 C 满足 OC = OA OB ，其中 、 R， =1，则点 C 的轨迹方程为（ A.3x2y11=0 B.(x1) (y2) =5 2 2 C.2xy=0 ）. D. x2y5=0 【思路分析】求轨迹方程的基本思路就是设点 P ( x, y ) ，并列出关于 x, y 的方程。 【过程方法】设 OC =(x, y)，OA =(3,1)，OB =(1,3)， OA =(3 , )， OB =( ,3 )，又 OA OB =(3 , 3 )，(x, y)= (3 , 3 )， x = 3 , y = + 3 1 = 10 (3 x + y ), 又 =1，x2y5=0.

31、应选 D。 1 = (3 y x) 10 【评析】本题体现了向量法和坐标的相互关系及转换方法.注意本题的结论是表示 C 点是 AB 直线上的点， 理解这个结论有助于解决有关三点共线的问题。提炼本题会得到一个一般性的结论，即若点 C 满足 OC = OA OB ，其中 、 R， =1，则点 C 的轨迹方程为过 A，B 的一条直线。 7巧用中点 根据向量加法的平行四边形法则，对于任意不共线的三点 O、A、B， OP = (OA + OB ) 则 O、A、B、P 组成平行四边形，其中隐含着一个重要的性质 OP 过 AB 的中点。解题通过构作中点往往可以起到曲径通 幽的作用。 【例】 （2005 年高

32、考江苏卷）在ABC 中，O 为中线 AM 上的一个动点，若 AM=2，则 OA ( OB OC ) 的最小值是 . 【分析】利用向量的加法的三角形法则和数量积，以及均值不等式。 C M O A B OC = OM + MC 【解】由题易得 OB = OM + MB OA ( OB OC ) 又 MC = MB = OA 2 OM =2| OA | OM |cos 180 =2| OA | OM |. 又| OA | OM |=2，| OA | OM |( | OA | + | OM | 2 ) =1（当且仅当| OA |=| OM |时取等号）. 2 OA ( OB OC )=2| OA |=

33、| OM |2， 即 O 为 AM 中点时， OA ( OB OC )取最小值为2. 应填2。 【评析】涉及两个向量和的问题可联想和构作中点、三角形的中线图形。 【例】如图，O、A、B 是平面上一点，向量 OA a ， OB b ，设 P 是线段 AB 垂直平分线上任意一点， 向量 OP p 。若| a |3，| b |2，则 p （ a b ）的值是 A 。 C a P B p b O 【解】连结 OC，则 OC = 1 (a + b ), BA = a b , CP = p OC. 2 因为 CPBA，所以 CP BA = 0, 即 ( p OC ) ( a b ) = 0, 1 1 1

34、5 2 2 2 2 （ a + b ）（ a b ） （ a b ) = ( a b ) = 2 2 2 2 1 【评析】 向量的中点公式实际上是提供了一个向量方程 OP = (OA + OB ) ,能否充分挖掘和利用这一隐含 2 故 p （ a b ） OC （ a b ） 条件往往是解题的关键和难点。 2004 年全国高考(四川云南吉林黑龙江) 理科数学第 9 题 已知平面上直线 l 的方向向量 e= ( 4 3 , ), 点 O（0，0）和 A（1，2）在 l 上的射影分别是 O和 A， 5 5 则 O A = e，其中 = （ A ） 11 5 B 11 5 C2 D2 四、关于向量在

35、立体几何解题中的作用 利用法向量求解和传统方法相比具有明显的优势。 1、 空间向量在许多问题的证明中有独到之处。 比如证明直线和平面垂直的判定定理，传统方法是构造并多次利用平面几何中的三角形全等，技巧性 大，思想方法灵活（多次转化） ，虽然解题方法典型但许多同学难以理解和熟练掌握，更不便于表述， 再比如，证明同垂直与一个平面的两条直线平行，理解很简单，真正书写时不少同学无从下手，但使 用空间向量简单明了，易于掌握。 【例】 （2003 年高考全国卷）如图，直三棱柱 ABCA1B1C1 中，底面是等腰直角三角形，ACB=90，侧棱 AA1=2，D、E 分别是 CC1 与 A1B 的中点，点 E

36、在平面 ABD 上的射影是ABD 的重心 G. （1）求 A1B 与平面 ABD 所成角的大小（结果用反三角函数值表示） ； （2）求点 A1 到平面 AED 的距离 C1 A1 D E G C A B B1 【思路分析】本题涉及的垂直、度量、中点、重心等条件比较丰富，适合利用向量方法解题。当然用综合 几何的方法也可以解决，这时关键要充分利用中点、重心的条件，添加适当的辅助线，并注意在直角三角 形中射影定理的运用。 【方法过程】法一:(1)解:连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 上的射影，即A1BG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 如图所示建立坐标系，坐标原点为 O，设 CA

37、=2a， z C1 A1 D E G C x A B y B1 则 A(2a,0,0),B(0,2a,0),D(0,0,1) A1 (2a,0,2), E (a, a,1), G ( 2a 2a 1 , , ). 3 3 3 2 2 GE BD = a 2 + = 0.解得a = 1. 3 3 a a 2 CE = ( , , ), BD = (0,2a,1). 3 3 3 2 4 1 BA1 = (2,2,2), BG = ( , , ). 3 3 3 cos A1 BG = BA1 BG = 14 / 3 7 = . 1 3 | BA1 | BG | 2 3 21 3 7 A1 B与平面A

38、BD所成角是 arccos . 3 ，E（1，1，1） ，D（0，0，1） （2）由（1）有 A（2，0，0） 1（2，0，2） ，A AE = (1,1,1) (2,0,0) = (1,1,1) ， AD = (0,0,1) (2,0,0) = (2,0,1) ， 设平面 AED 的法向量为 n0 = ( x, y , z ) y = x AE n = x + y + z = 0 则 0 ，解得 z = 2x AD n0 = 2 x + z = 0 取 x = 1 ，得 n0 = (1,1,2) AA1 = (2,0,2) (2,0,0) = (0,0,2) 点 A1 到平面 AED 的距离

39、 d = | A 1 E n0 | = 4 6 = | n0 | 2 6 3 法二： （1）解：连结 BG，则 BG 是 BE 在面 ABD 的射影，即EBG 是 A1B 与平面 ABD 所成的角. 设 F 为 AB 中点，连结 EF、FC， D, E分别是CC1 , A1 B的中点, 又DC 平面ABC , CDEF为矩形 连结DF , G是ADB的重心, G DF .在直角三角形EFD中 1 FD 2 , EF = 1, FD = 3. 3 1 2 6 于是ED = 2 , EG = = . 3 3 EF 2 = FG FD = FC = CD = 2 , AB = 2 2 , A1 B

40、= 2 3 , EB = 3. sin EBG = 6 1 2 EG = = . EB 3 3 3 2 . 3 A1 B与平面ABD所成的角是 arcsin C1 A1 D E G C A F B B1 （2）连结 A1D，有 V A1 AED = V D AA1E ED AB, ED EF , 又EF AB = F , ED 平面A1 AB , 设 A1 到平面 AED 的距离为 h， 则 S AED h = S A1 AB ED 又S A1 AE = 1 1 1 6 S A1 AB = A1 A AB = 2 , S AED = AE ED = . 2 4 2 2 h = 2 2 6 2

41、= 2 6 2 6 .即A1到平面AED的距离为 . 3 3 【点拨指导】本题考查的知识点多、数学内涵丰富，问题所给的信息和图形位置关系比较复杂；对立 体几何的综合解题能力有较高的要求，两种解法视角不同、各显风采， 比较而言，解法一、目标明确， 以算取胜，解法二、构思巧妙，以智夺标。要仔细比较两种解法的差异，体会其中的实质。 【例 17】 （2004 年春季高考上海卷）如图，点 P 为斜三棱柱 ABC A1 B1C1 的侧棱 BB1 上一点 2、 空间法向量在求解距离和角度方面比传统方法更简单。 求解空间角与距离，传统方法要需要“作证算”但对于不容易作出的角与距离，空间向量则 简单易行。比较吻

42、合重在能力，重在内在，重在空间相象能力的考查，适当淡化形式的教改方向。 【例 19】 （2005 年上海高考题（理） ） 在四棱锥 V-ABCD 中，底面 ABCD 是正方形，侧面 VAD 是正三角形,平面 VAD底面 ABCD （）证明 AB平面 VAD （）求面 VAD 与面 VDB 所成的二面角的大小 【证明】 （）作 AD 的中点 O，则 VO底面 ABCD 建立如图空间直角坐标系，并设正方形边长为 1，则 A（ 0） ，B（ 1 ，0， 2 A V D B C 1 1 1 ，1，0） ，C（- ，1，0） ，D（- ，0，0） ， 2 2 2 3 ） ， V（0，0， 2 AB =

43、(0,1, 0), AD = (1, 0, 0), AV = ( 1 3 , 0, ) 2 2 1 2 3 ) = 0 AB AV ， 2 由 AB AD = (0,1, 0) (1, 0, 0) = 0 AB AD AB AV = (0,1, 0) ( , 0, 又 ABAV=A,AB平面 VAD （）由（）得 AB = (0,1, 0) 是面 VAD 的法向量， 设 n = (1, y , z ) 是面 VDB 的法向量，则 x = 1 1 3 3 n VB = 0 (1, y, z ) ( ,1, ) = 0 2 2 3 n = (1, 1, 3 ) , n BD = 0 (1, y, z ) (1, 1, 0) = 0 z = 3 (0,1, 0) (1, 1, 3 ) 3 = 21 ， 7 21 1 3 A Z V D O B C Y cos = 又由题意知，面 VAD 与面 VDB 所成的二面角， 21 所以其大小为 arccos . 7 X 【点拨指导】利用向量方法求解立体几何问题要注意一下几点：重视直角坐标系的选择；点坐标要正 确表示和计算；对于法向量的计算要选好自由量（本题法向量 n = (1, y