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1、多变数函数的极限与连续 Still waters run deep.流静水深流静水深,人静心深人静心深 Where there is life,there is hope。有生命必有希望。有生命必有希望目錄1.多變方程式2.多變函3.偏導的定義 4.偏導的幾何意義 5.極限與連續的定義 6.極限值定義 7.連續定義 8.參考資料 多變方程式何謂多變？何謂多變？大量的科學、商業、科技的方程式不只一個變，而是兩個以上。大量的科學、商業、科技的方程式不只一個變，而是兩個以上。舉例來說：舉例來說：產品的需求方程式常常依賴於價格和廣告，而不是單單價格。產品的需求方程式常常依賴於價格和廣告，而不是單單價格
2、。兩個以上變的方程式的注意事項跟單變方程式一樣。兩個以上變的方程式的注意事項跟單變方程式一樣。舉例來說：舉例來說：是雙變方程式是雙變方程式 為三變方程式為三變方程式範例一Q Q：月付款：月付款 t t 年，每個月固定利率為年，每個月固定利率為 r r，貸款金額為，貸款金額為 P P 元每個月元每個月需付款需付款M M，當房子抵押金為，當房子抵押金為 95000 95000 元時，以元時，以 30 30 年每個月利率為年每個月利率為 9%9%時月度付款為多少時月度付款為多少?M=f(P,r,t)=M=f(P,r,t)=A A：P P=95000,=95000,r r=0.09,=0.09,t t
3、=30 =30 所以月付所以月付多變函定義：定義：A A 表表 R2 R2 空間空間(二維空間二維空間)之部份集合，對之部份集合，對 A A 中的每一有序中的每一有序對對(x,y)(x,y)有唯一的實與之對應，則稱為點有唯一的實與之對應，則稱為點(x,y)(x,y)在集合在集合 內之函，記作內之函，記作 z=f(x,y)z=f(x,y)稱之為二元函。集合稱之為二元函。集合 A A 稱為稱為 f f 的的定義域。定義域。f f 的值域由所有的實的值域由所有的實 f(x,y)f(x,y)組成，此點組成，此點(x,y)(x,y)在在 A A 中。中。函函 y=f(x)y=f(x)之定義域與值域在幾何
4、上以實線上的點代表。之定義域與值域在幾何上以實線上的點代表。對於二元函，我們可以用在對於二元函，我們可以用在 xyxy平面上的點代表定義域平面上的點代表定義域 A A 而而實線上的點代表值域實線上的點代表值域，稱，稱zz軸，如圖軸，如圖1 1所示所示。範例二Q Q：試：試求求z z=f f(x x,y y)=)=之定義域。之定義域。A A：因因 ，故其定義域為，故其定義域為 。即以原點為圓心，以即以原點為圓心，以 1 1 為半徑，在為半徑，在xyxy平面上，平面上，之圓心上與其內部之所有點的集合。之圓心上與其內部之所有點的集合。f f之圖形如圖之圖形如圖 2 2 所示。所示。偏導的定義範例三Q
5、 Q：，是用偏導之定義，求，是用偏導之定義，求 與與 之值。之值。A A：偏導的幾何意義考慮一個由方程式 所決定的曲面。就如下面的圖所顯示的，平面 與曲面相交於平面曲線 上，且這個值 就是這條曲線在點 的切線的斜率。因此，通過 而位於平面 上之切線方程式為範例四Q Q：試求球面：試求球面 與平面與平面 =1=1相交之曲線於相交之曲線於 P(1,2,2)P(1,2,2)之切線方程式。之切線方程式。A A：極限與連續的定義DEFINITION ：多變函的極限 的定義：，此處的 是向量，|絕對值是向量空間的距離函。DEFINITION ：多變函的連續 稱 在 處連續。極限值定義一一.極限值的基本定理
6、極限值的基本定理（）極限值的唯一性：（）極限值的唯一性：存在，則其值必為唯一。存在，則其值必為唯一。（）（）為多項式函，則為多項式函，則 。（）（）存在且點存在且點 以及點以及點 ，則，則 反之亦然反之亦然 ，二二.如何判斷極限值是否存在，點如何判斷極限值是否存在，點 及點及點 ，則，則（）（）且且 ，而且，而且 ，則，則 不存在。不存在。（）（），則，則 不存在。不存在。範例五Q Q：函：函 但但 ，是，是 決定決定 ，求此函的極限值。，求此函的極限值。A A：連續定義一一.連續的基本定理連續的基本定理（）倘（）倘 f f 與與 g g 在點在點 A A 均為連續函，則均為連續函，則 與與
7、與與 以及以及 （k k 為常且為常且 ）在點）在點 A A 均為連續函。均為連續函。（）倘（）倘 g g 為單變函且為單變函且 為多變函使得為多變函使得 g g 在點在點 A A 連連 續且續且 f f 在在 A A 連續，則合成函連續，則合成函 亦在點亦在點 A A 連續。連續。（）多變多項式函與多變有理函在它們的定義域內均為（）多變多項式函與多變有理函在它們的定義域內均為 連續函。連續函。範例六Q Q：且且 ，求此函，求此函 的連續性。的連續性。A A：參考資料1.http:/www.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_1.http:/www
8、.mcu.edu.tw/department/management/stat/ch_web/etea/Calculus-2-net/(15).pdfweb/etea/Calculus-2-net/(15).pdf2.http:/calculus.nctu.edu.tw/upload/calculus_web/web/2.http:/calculus.nctu.edu.tw/upload/calculus_web/web/unit2_6.htmunit2_6.htm3.http:/www.stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c3.http:/www.stat.nuk.edu.tw/cbme/math/calculus/cal2/c9_2/bud.htm9_2/bud.htm4.http:/