2022年微积分复习资料.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 基本学问复习一、 不定积分 1 不定积分概念,第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数 F x 与 fx 在区间a b 内有定义,对任意的xa b ,有Fxfx 或 dF xfx dx,fx 的不定就称 F x 是 fx 在a b 内的一个原函数；假如 F x是函数 fx 的一个原函数 ,称 fx 的原函数全体为积分 ,记作fx dxFxC,（2） 不定积分得基本性质1d dxfx dxfx2；Fx dxF xC.3；AfxBg xdxAfx dxBg x dx（3）基本不定积分公式表一1 名师归纳总结 - - - - - - -第 1

2、 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1kdxkxC k 是常数,（2x dxx1C1 ,C,1（ ）31dxlnxC,x41dxarctanxC,2 x5dx2 xarcsinxC,16 cosxdxsinxC,7 sinxdxcosxC,8dxx2 secxdxtanx2 cos9dxx2 cscxdxcotxCsin210 sec tanxdxsecxC,11 cscxcotxdxcscxC,12x a dxaxC,lna13shxdxchxC,14chxdxshxC,151dxthxC,2 ch x161dxcthxC.2 sh x（3） 第一换元积分法（

3、凑微分法）设 fu 具有原函数 , ux 可导 ,就有换元公式ux.fxx dxfu du2 其次换元积分法,分部积分法设 x（1）其次换元积分法t0.又设ftt具有原函数 ,t 是单调的、 可导的函数 ,并且就有换元公式其中1 x 是 xfx dxftt dtt1x,t 的反函数 . 2 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）分部积分法设函数 uu x 及 vv x 具有连续导数 ,那么 , C,uv u vuv,移项 ,得uvuvu v .对这个等式两边求不定积分,得 uv dxuv uvdx .这个公式称为

4、 分部积分公式.它也可以写成以下形式: udvuvvdu.（3）基本积分公式表二17 tanxdxln cosxC,（18 cotxdxln sinxC ,（19）sec xdxln sec tanxC,20 cscxdxln cscxcotxC,21a2dx1arctanxC,2 xaa22x2dxdx1lnxaC,2 a2 axa23adx2 xarcsinxC,2a24xdx2 alnx2 xa222 5dx2 alnx2 xa2C .2 x（ 3）有理函数的积分,三角函数有理式的积分,某些简洁无理式的积分一、 有理函数的积分P x两个多项式的商 称为 有理函数 ,又称为 有理分式 .我

5、们总假定分子多项式 P xQ x与分母多项式 Q x 之间是没有公因式的 .当分子多项式 P x 的次数小于分母多项式Q x 的次数时 ,称这有理函数为 真分式 ,否就称为 假分式 . 利用多项式的除法 ,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式 ,由于多项式的积分简洁求 ,故我们将重点争论真分式的积分方法 . 3 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 对于真分式P nx,第一将Q mx 在实数范畴内进行因式分解,分解的结果不外乎两种Q mx类型 :一种是xak,另外一种是x2pxql,其中k l 是正整

6、数且p24q0;其次 ,根. 据因式分解的结果,将真分式拆成如干个分式之和详细的做法是 : 如Q mx 分解后含有因式xak,就和式中对应地含有以下k 个分式之和 : ,所xA 1axA 22LxA kk,aa其中 :A 1,L,A k为待定常数 . 如Q mx 分解后含有因式x2pxql,就和式中对应地含有以下l 个分式之和 : M xN1M xN22LxM xNll,x2pxqx2pxq2pxq其中 :Mi,Nii1,2,L,l为待定常数 . 以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分. 二、 可化为有理函数的积分举例

7、例 4 求 1 sin x dx .sin x 1 cos x解 由三角函数知道 ,sin x 与 cosx 都可以用 tan x 的有理式表示 ,即2x xsin x 2sin xcos x 2tan2 2 tan2 ,2 2 sec 2 x1 tan 2 x2 22 x 2 xcos x cos 2 xsin 2 x 1 tan2 1 tan2 .2 2 sec 2 x 1 tan 2 x2 2假如作变换 u tan xx ,那么22sin x 2 u2 ,cos x 1 u2 ,1 u 1 u而 x 2arctan u 从而4 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 27

8、 页精选学习资料 - - - - - - - - - dx122du.u于是例 5 求sin1sinxxdx3x2C.x1cos112u22duu1u212u211u22u1u1u21du2u1u22 ulnuC221tan2xtanx1ln tanxC.42222x1dx .x解设x1u ,于是xu21,dx2 udu 从而所求积分为x1dxuu12 udu2uu21du例 6 求x2221112du2uarctan uCu2x1arctanx1C .1dx2.3x解设3x2u ,于是xu32,dx2 3 u du 从而所求积分为例 7 1dx223 u du1 u3xu111udu33u2

9、uln 1uC33x2233x23ln 122求1dxx.3x5 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解设x6 t ,于是dx5 6 t dt 从而所求积分为例 8 求11x1x1dxx16t5t3dt61t22dt3xt2t61112dt6tarctantCt66xarctan6xC.xdx.x解设xt,于是1xxt2,xt211,dxt2tdt2,从而所求积分为2111xxdxt21tt22t2dt2tt21dtx1221t211dt2tlnt1Ct12t2lnt1lnt21C21xx2ln1xx1lnxC.二、

10、 定积分（1） 定积分概念,微积分基本定理,定积分得基本性质（1）定积分的概念1；定积分的定义定义 定积分 设函数 fx 在区间a b 上有定义 .用分点b,x i,作乘积ax0x 1x 2Lx n1x n将区间a b 任意分成 n 个小区间 ,小区间的长度为ix ix ix1i1,2,L,n,记1maxx i.在每个小区间x i1,x i上任取一点ix i1fix ii1,2,L,n.将这些乘积相加,得到和式6 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - nnfix i,0 ,如积分和n有极限 I 这个值 Ii1这个和称为

11、 函数 fx在区间a b 上的积分和 .令不依靠于,a b 的分法以及中间点i的取法i1,2,L,n,就称此极限值为fx 在a b上的定积分 ,记作nfix ibfx dx,Ilim 0i1a其中 a 和 b 分别称为 定积分的下限与上限,a b 称为 积分区间 . 函数的可积性定理 1 如 fx 在a b 上连续 ,就 fx 在a b 上可积 . x 在a b 上可积 . 定理 2 如 fx 在a b 上只有有限个间断点,并且有界 ,就 f定积分的几何定义b在 ,a b 上 f x 0 时 , 我 们 已 经 知 道 ,定 积 分 af x dx在 几 何 上 表 示 由 曲 线y f x

12、、两条直线 x a x b 与 x 轴所围成的曲边梯形的面积 ;在 a b 上 f x 0 时, 由曲线 y f x 、两条直线 x a x b 与 x 轴所围成的曲边梯形位于 x 轴的下方 ,定积分baf x dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值 ;在 a b 上 f x 既取得正值又取得负值时 ,函数 f x 的图形某些部分在 x 轴的上方 ,而其它部分在 x 轴下方 .此时 定积分baf x dx表示 x 轴上方图形面积减去 x 轴下方图形面积所得之差 图 4-2. 定积分的基本性质7 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - -

13、 - - - 为了以后运算及应用便利起见,对定积分做以下两点补充规定: 1 当 ab 时,b afx dx0; ,a b ,使得2 当 ab 时,bfx dxafx dx .ab性质 1 b adxba .性质 2 线性性质 bk fxk g xdxk 1bfx dxk 2bg x dx .aaa推论 1 bfxg xdxbfx dxbg x dx .aaa推论 2 bkfx dxkbfx dx .aa性质 3 bfx dxcfx dxbfx dx .aac性质 4 如ab fxg x ,就bfx dxbg x dx .aa推论 3 如ab fx0,就b afx dx0.推论 4 如ab mf

14、xM ,就m babfx dxM ba.a推论 5 bfx dxbfx dx ab.aa性质 5定积分中值定理（图 4-6）如 fx 在a b 上连续 ,就至少有一点b afx dxfba.积分上限的函数及其导数定理 1 假如函数 fx 在区间,a b 上连续 ,就积分上限的函数b.在a b 上可导 ,并且它的导数xxf t dtaxdxft dtfxaxdxa定理 2 假如函数 fx 在区间,a b 上连续 ,就函数就是 fx 在a b 上的一个原函数xxf t dta. 一、 牛顿-莱布尼茨公式8 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 27 页精选学习资料 - - - -

15、 - - - - - 定理 3 假如函数 F x 是连续函数fx 在区间a b 上的一个原函数,就b afx dxF bF a.x dx通常也把牛顿 -莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.（2）定积分的换元积分法与分部积分法fx 在a b 上连续 ,作变换 xt,其中t 满意1a ,b 且当t,时,ta b ; 2t在,上具有连续导数,就b afx dxftt dt.定积分的分部积分法：b u x vx dxu x v xbbv x uaaa例 28 证明 : 1.如 fx 在a a 上是连续的偶函数,就例 29 如 ffx dx .a afx dx2a02.如 fx 在a a 上是连续的奇函数,

16、就a afx dx0.x 在 0,1 上连续 ,证明 : 例 31 2fsinx dx2fcosx dx ;10020xfsinx dx20fsinx dx.设 fx 是连续的周期函数,周期为T,证明 : 1a Tfx dxTfx dx ;a0anTfx dxnTfx dx nN.2a09 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 9 证明 : 证:令x2t 就InnI2sinnxdx2cosnxdx00nn1n3L3 1,n 为正偶数；n24 2 2n-1n3L4 2 , 5 3n 为正奇数.nn22sinnxdx0

17、cosntdt2n cosxdx .当n2时, 0202sinnxdx2sinn1xdcos x这样 ,我们得递推公式: 00cos sinn1x202nn 1 sin2x2 cosxdx0n12sinn2xdxn12sinnxdx00n1In2n1In.当 n 为正偶数时 ,InInnn1In2.nn1n3L3 1I0;n24 2当 n 为正奇数时 ,Innn1n3L3 2I1.n24 3又I12sinxdx.1,0I02dx20故在一些实际问题中Inn1n3 2L3 12,n 为正偶数；,它nn4 2n-1n3 2L4 2 , 5 3n 为正奇数.nn,常会遇到积分区间为无穷区间,或者被积

18、函数为无界函数的积分10 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 反常积分无穷限的反常积分定义 1 设函数 f x 在区间 ,a 上连续 ,取 t a ,假如极限tt lim a f x dx存在 ,就称此极限为 函数 f x 在无穷区间 ,a 上的反常积分 ,记作a f x dx即ta f x dx t lim a f x dx ,这时也称 反常 积分a f x dx收 敛 ;假如上述极限不存在 ,就函数 f x 在无穷区间a , 上的反常积分a f x dx就没有意义 ,习惯上称为 反常积分 a f x dx发散

19、,这时记号a f x dx不再表示数值了 . 类似地 , 设函数 f x 在区间 ,b 上连续 ,取 t b ,假如极限bt lim t f x dxb存在 ,就称此极限为 函数 f x 在无穷区间 ,b 上的反常积分 ,记作 f x dx即b bf x dx t lim t f x dx ,b b这时也称 反常积分 f x dx收敛 ;假如上述极限不存在 ,就称 反常积分 f x dx发散 . 设函数 f x 在区间 , 上连续 ,假如反常积分0f x dx和 f x dx0都收敛 ,就称上述两反常积分之和为 函数 f x 在无穷区间 , 上的反常积分 ,记作f x dx即0f x dx f

20、 x dx 0 f x dx ,这时也称 反常积分 f x dx收敛 ;否就就称 反常积分 f x dx发散 . 上述反常积分统称为 无穷限的反常积分 . 由上述定义及牛顿-莱布尼茨公式 ,可得如下结果 . 设 F x 为 f x 在 a , 上的一个原函数 ,如 lim F x 存在 ,就反常积分x11 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - afx dxx limFxFa;如 lim xF x 不存在 ,就反常积分afx dx发散 . 存在时 , . 假如记Flim xF x,F xaFF a,就当 Fafx dx

21、F xa;当 F不存在时 , 反常积分afx dx发散 . 类似地 ,如在,b 上Fxfx ,就当 F存在时 , bfx dxF xb;当 F不存在时 , 反常积分bfx dx发散 . 如在,内Fxfx ,就当 F与 F都存在时 , fx dxF x;当 F与 F有一个不存在时, 反常积分fx dx发散 . 例 2 证明反常积分adx a px0当p1时收敛 ,当p1时发散 . 证当p1时, adxadxlnxa.xpx当p1时 , adx1 xpa1 a,pp1,1.pxp1p1,p因此 ,当p1时 ,这反常积分收敛,其值为a1p;当p1时,这反常积分发散p1一、 无界函数的反常积分现在我们

22、把定积分推广到被积函数为无界函数的情形 . 假如函数 f x 在点 a 的任一邻域内都无界 ,那么点 a 称为 函数 f x 的瑕点 .无界函数的反常积分又称为 瑕积分 . 定义 2 设函数 f x 在 a b 上连续 ,点 a 为 f x 的瑕点 .取 t a,假如极限12 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - lim t atbfx dxb存在 ,就称此极限为 函数 f x 在 a b 上的反常积分 ,仍旧记作 af x dx即b ba f x dxt lima t f x dx ,b b这时也称 反常积分 af

23、 x dx收敛 ;假如上述极限不存在 ,就称 反常积分 af x dx发散 . 类似地 , 设函数 f x 在 a b 上连续 ,点 b 为 f x 的瑕点 .取 t b ,假如极限tt limb a f x dx存在 ,就定义否就 ,就称反常积分bfx dxlim t btfx dx;x 的瑕点 .假如两个反常积aab afx dx 发散 . 设函数 fx 在a b 上除点 c acb 外连续 ,点 c 为 f分c afx dx 和b cfx dx都收敛 ,就定义bfx dxcfx dxbfx dx ,存在 ,就反常积aac否就就称反常积分b afx dx 发散 . 运算无界函数的反常积分,

24、也可借助于牛顿-莱布尼茨公式 . 设 xa 为 fx 的瑕点 ,在a b 上Fxfx ,假如极限 lim x aF x分bfx dxF blim x aFxF bF a;,这里不再详述 . a假如 lim x aF x 不存在 ,就反常积分b afx dx发散 . 我们仍用记号Fxb来表示 F bFa,从而形式上仍有ab afx dxF xb;a对于 fx 在a b 上连续 ,b 为瑕点的反常积分,也有类似的运算公式例5证明反常积分bxdxq当 0q1时收敛 ,当q1时发散 . aa13 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - -

25、 - - 微分方程微分方程的基本概念一般地,凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程,叫做 微分方程.未知函数是一元函数的,叫做 常微分方程 ；未知函数是多元函数的,叫做 偏微分方程 .微分方程有时也简称 方程 . 微 分 方 程 中 所 出 现 的 未 知 函 数 的 最 高 阶 导 数 的 阶 数 , 叫 做 微 分 方 程 的 阶 .设函数yy x 在区间 I 上有 n 阶连续导数,假如在区间I 上,那么函数Fx, , ,L, 0, x 就叫做 微分方程（ 10）在区间 I 上的解 . 假如微分方程的解中含有相互独立的任意常数,且任意常数的个数与微分方程的阶数相同,这样的解

26、叫做 微分方程的通解 . 设微分方程中的未知函数为 y y x ,假如微分方程是一阶的,通常用来确定任意常数的条件是：x x 时,y y ,或写成 y x x 0 y ,其中 x 0、y 0 都是给定的值；假如微分方程是二阶的,通常用来确定任意常数的条件是：x x 时,y y 0 , y y . 或写成 y x x 0 y 0 , y x x 0 y ,其中 x 0、y 0 和 0y 都是给定的值 .上述这种条件叫做 初始条件 .确定了通解中的任意常数以后,就得到微分方程的 特解 .一阶微分方程的初值问题,记作y f x y , ,（12）y x x 0 y 0 .微分方程的解的图形是一族曲线

27、,叫做 微分方程的积分曲线 .初值问题（ 12）的几何意义,就是求微分方程的通过点 x 0 , y 0 的那条积分曲线 .二阶微分方程的初值问题y f x y y y x x 0 y 0 , y x x 0 y 0的几何意义,是求微分方程的通过点 x 0 , y 0 且在该点处的切线斜率为 0y 的那条积分曲线 . 14 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 可分别变量的微分方程假如一个一阶微分方程能写成g y dy f x dx（5）的形式,就是说,能把微分方程写成一端只含 y 的函数和 dy ,另一端只含 x 的

28、函数和 dx ,那么原方程就称为 可分别变量的微分方程 . g y dy f x dx . 设 G y 及 F x 依次为 g y 及 f x 的原函数,于是有G y F x C . （6）齐次方程一、齐次方程假如一阶微分方程中的函数f x y 可写成y x的函数, 即dyfx y,就称这方程为 齐次方程 ,引进新的dxf x y , y x未知函数就可化为可分别变量的方程uy x, ,（2）.由于由（ 2）有代入方程（ 1）,便得方程yux , dydxuxdu dx即uxdu ,dxxdu u. dx分别变量,得duudx. x两端积分,得求出积分后,再以ydudx. . ux代替 u ,

29、便得所给齐次方程的通解x可化为齐次的方程15 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 方程当cc 10时是齐次的, 否就不是齐次的dyaxbyc3 dxa xb yc 1.在非齐次的情形, 可用以下变换把它化为齐次方程：令xXh yYk ,其中 h 及 k 是待定的常数 .于是dxdX dydY ,从而方程 3成为dYaXbYahbkc. dXa XbYa hb kc 1假如方程组的系数行列式ab0,即a 1b 1ahbkc00.这样,a h 1b k 1c 1,那么可以定出h 及 k 使它们满意上述方程组a 1b 1

30、ab方程 3便化为齐次方程dY aX bY. dX a X bY求出这齐次方程的通解后,在通解中以 x h 代 X , y k 代 Y ,便得方程 3的通解 . 当 a 1 b 1 时, h及 k 无法求得,因此上述方法不能应用 .但这时令 a 1 b 1,从而a b a b方程 3可写成dy ax by c. dx ax by c 1引入新变量 v ax by ,就dv dy dy 1 dva b,或 a . dx dx dx b dx于是方程 3成为1dvavc,bdxvc 116 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - -

31、- - 这是可分别变量的方程 . 以上所介绍的方法可以应用于更一般的方程dyfaxbyc. dxa xb yc 1一阶线性微分方程一、线性方程方程dyP x y Q x 1 dx叫做 一阶线性微分方程,由于它对于未知函数 y 及其导数是一次方程 .假如 Q x 0 ,就方程1称为 齐次的 ；假如 Q x 不恒等于零,就方程 1称为 非齐次的 . 设1为非齐次线性方程 .为了求出非齐次线性方程 1的解,我们先把 Q x 换成零而写出方程（ 2）叫做对应于非齐次线性方程 变量后得两端积分,得dy P x y 0（2）dx1的齐次线性方程 .方程（ 2）是可分别变量的,分别dy P x dx,yln

32、 y P x dx C,或 y Ce P x dx, C e C 1,这是对应的 齐次线性方程（2）的通解 .这里记号 P x dx 表示 P x 的某个确定的原函数 . 现在我们使用所谓 常数变易法 来求非齐次线性方程（1）的通解 .这方法是把（ 2）的通解中的 C 换成 x 的未知函数 u x ,即作变换P x dxy ue,（3）于是 dyu e P x dxuP x e P x dx. （4）dx将（ 3）和（ 4）代入方程（ 1）得P x dx P x dx P x dxu e uP x e P x ue Q x ,P x dx P x dx即 u e Q x u Q x e . 17 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 27 页精选学习资料 - - - - - - - - - 两端积分,得uQ x eP x dxdxC . 把上式代入（ 3）,便得非齐次线性方程（e1）的