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1、第一章函数一本章重点复合函数及分解，初等函数的概念。二复习要求1、 能熟练地求函数定义域；会求函数的值域。2、理解函数的简单性质，知道它们的几何特点。3、 牢记常函数、幂函数、指数函数、对数函数、三角函数、反三角函数等六类基本初等函数的表达式，知道它们的定义域、值域、性质及图形特点。其中. 对于对数函数lnyx不仅要熟记它的运算性质，还能熟练应用它与指数函数xye互为反函数的关系，能熟练将幂指函数作如下代数运算：lnvuvue. 对于常用的四个反三角函数，不仅要熟习它们的定义域、值域及简单性质，还要熟记它们在特殊点的函数值. 4、 掌握复合函数，初等函数的概念，能熟练地分解复合函数为简单函数的
2、组合。5、 知道分段函数，隐函数的概念。. 三例题选解例 1. 试分析下列函数为哪几个简单函数（基本初等函或基本初等函数的线性函数）复合而成的？.2sinxye.21arctan()1yx分析：分解一个复合函数的复合过程应由外层向里层进行，每一步的中间变量都必须是基本初等函数或其线性函数（即简单函数）。解：.2,sinuyeuvvx.21arctan,1.yuuvxv例 2. cotyarcx的定义域、值域各是什么？cot1arc？答：cotyarcx是cot,(0,)yxx的 反 函 数 ， 根 据 反 函 数 的 定义 域是 原 来 函 数 的 值 域 ， 反 函 数 的 值 域 是 原
3、来 函 数 的 定 义 域 ， 可 知cotyarcx的 定义 域是(,)fD，值域为(0,)fZ. cot14arc四练习题及参考答案1. ()arctanfxx则 f(x)定义域为，值域为f(1) = ；(0)f. 2.()arcsinfxx则 f(x)定义域为，值域为f(1) = ；3()2f. 3.分解下列函数为简单函数的复合：.3xye精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 13 页.3ln(1)yx答案：1.（- + ）, (,)22,042.1,1 ,2223.3. .,3uyeux.3ln,1.yuux自我复习：
4、习题一.（A）55、；习题一 .（B）.11. 第二章极限与连续一本章重点极限的计算；函数的连续及间断的判定；初等函数的连续性。二复习要求1了解变量极限的概念，掌握函数f(x)在 x0点有极限的充要条件是：函数在x0点的左右极限都存在且相等。2.理解无穷小量与无穷大量的概念和关系，掌握无穷小量的运算性质，特别是无穷小量乘以有界变量仍为无穷小。例如：01sinlimsin0,lim0 xxxxxx3.会比较无穷小的阶。在求无穷小之比的极限时，利用等价无穷小代换可使运算简化，常用的等价无穷小代换有：当()x0 时,有：sin( )x()x；tan()x()x()1xe( )x;ln(1( )x()
5、x; 1( )1nx()xn1cos ()x2( )2x. . （参见教材P79 ）4.掌握两个重要极限:( ).0sinlim1xxx( ).101lim(1)lim(1)xxxxexx记住它们的形式、特点、自变量的变化趋势及扩展形式(变形式 ).并能熟练应用其求极限，特别是应用重要极限( ) 的如下扩展形式求1型未定式极限：10lim(1)lim(1)xkxxxkekxx10lim(1)lim(1)xkxxxkekxx5.掌握函数连续的概念，知道结论：初等函数在其定义区间内都是连续的，分段函数在定义区间内的不连续点只可能是分段点。函数f(x)在分段点x0处连续的充要条是：函数在x0点极限存
6、在且等于0()f x，即：00lim( )()xxf xf x当分段函数在分段点0 x的左右两边表达式不相同时，函数 f(x)在分段点 x0处连续的充要条件则是：000lim()lim()()xxxxfxfxfx. 6. 掌握函数间断点及类型的判定。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 13 页函数的不连续点称为间断点，函数()fx在0 x点间断，必至少有下列三种情况之一发生：、()fx在0 x点无定义；、0lim()xxfx不存在；、存在0lim()xxfx，但00lim( )()xxf xf x. 若0 x为( )fx的间
7、断点，当)(lim0 xfxx及)(lim0 xfxx都存在时，称0 x为( )f x的第一类间断点，特别)(lim0 xfxx)(lim0 xfxx时（即0lim( )xxf x存在时），称0 x为()fx的可去间断点；)(lim)(lim00 xfxfxxxx时称0 x为( )fx的跳跃间断点。不是第一类间断点的都称为第二类间断点。7.了解连续函数的运算性质及闭区间上连续函数的性质,特别要知道闭区间上的连续函数必有最大值与最小值。8.能够熟练地利用极限的四则运算性质；无穷小量、无穷大量的关系与性质；等价无穷小代换；教材P69公式（2.6） ；两个重要极限；初等函数的连续性及洛必达法则(第四
8、章 )求函数的极限。三.例题选解例 1.单项选择题下列极限中正确的是（）A.sinlim1xxxB. 1sinlim11xxxC. 20sinlim1xxxD. 0tanlim1xxx 当0 x时，2121x是2sin x的（）A.低阶无穷小；B.高阶无穷小；C.同阶无穷小，但不是等价无穷小；D. 等价无穷小；分析与解：A 与 C显然都不对，对于D, 记tan( )xf xx，则tan0( )tan0 xxxfxxxx00tanlim( )lim1xxxf xx00tanlim( )lim1xxxf xx0lim( )xf x即 D 也不对，剩下的B 就是正确答案。由于222222000212
9、12limlimlim1sinxxxxxxxxx代换 应选择 D. 例 3.求极限：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 13 页0limx2ln(1)1cosxxlimx2()5xxx解: 此极限为00型当0 x时，有2ln(1)x2()x, 1cosx22x0limx2ln(1)1cosxx220lim22xxx 此极限为1型，可用重要极限。limx2()5xxxxxx)531(limxxxxx5335)531(limxxxxx5335)531(lim3e. )353lim53lim(xxxxxx例 2判断函数2296xy
10、xx的间断点，并判断其类型。解：由于229(3)+3)6(3)(2)xxxyxxxx（3,2xx是函数 y 无定义的点，因而是函数y 的间断点。33(3)(3)36limlim(3)(2)25xxxxxxxx3x为函数y 的可去间断点；22(3)(3)3limlim(3)(2)2xxxxxxxx2x为函数y 的第二类（无穷型）间断。例 3函数21cos2()00 xfxxxxk在点0 x处连续，求常数k . 分析与解：由于分段函数( )f x在分段点0 x的左右两边表达式相同，因此( )fx在0 x连续的充要条件是0lim( )(0).xfxfk2220001cos82lim()limlimx
11、xxxxfxxx代换1.81.8k四.练习题及参考答案精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 13 页1.填空.当0 x时，(1)sin 2xex与( 11)ln(12 )xx相比，是 _无穷小；.21lim()23xxxx_； .220cos(3 )1tan3lim(1)ln(15)xxxxex_. 2.单项选择题设2(3)(2)56xxyxx，下面说法正确的是_；A.点3,2xx都是可去间断点；B.点2x是跳跃间断点，点3x是无穷间断点；C.点2x是可去间断点，点3x是无穷间断点；D.点2x是可去间断点，点3x是跳跃间断点；
12、下面正确的是 _.A.0tanlim1xxx；B. 01limsin0 xxx；C. 0tanlimxxx不存在；D. 0tanlim1xxx. 答案:1. .同阶而不等价的； .2e； .320. 2. .C; .B . 自我复习 .习题二 (A) 11. (4).24. , (4), .27. . (4).28. , . 30. .37, . 习题二 (B).14.第三章导数与微分一.本章重点 . 导数的概念，导数及微分的计算. 二.复习要求1.掌握函数x在0 x处可导的定义，并能熟练应用导数的定义式求分段函数在分段点的导数。导数是一个逐点概念，x在0 x处的导数的定义式常用的 有如下三种
13、形式：0000()()()limxfxxfxfxx000()()limhfxhfxh000()()limxxfxfxxx. 2.知道导数的几何意义，会求x在0 x处的切线方程。3.熟记基本求导公式及求导的运算法则，熟练掌握下列求导方法,并能熟练应用它们求函数的导数：运用基本求导公式及求导的四则运算法则求导；复合函数求导法；隐函数求导法；取对数求导法。4.理解高阶导数的概念，能熟练求函数的二阶导数。5.理解微分的概念，能应用微分基本公式及运算法则求函数的微分。6.掌握函数可微 ,可导及连续的关系。三.例题选解精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - -
14、-第 5 页，共 13 页例 1.求下列函数的导数：2(1)yfx，求,.yyy=3xx, 求.y.设y=tan xe，求dy. 3ln(1)yx,求y解：、本题为抽象函数求导，由复合函数求导法，得：221()(1)yfxx2(1) 2fxx22(1)xfx. 222(1)2(1) 2yfxxfxx2222(1)4(1)fxx fx 本题为幂指函数求导，必须用取对数求导法。原方程两边取对数：ln3lnyxx上式两边对x求导，视y为中间变量 : yy=31ln323xxxx31ln12yyxx331ln12xxxx132ln3(1)2xxx注：本题除此方法外，也可以：xxeyln3)13ln33
15、21(ln3xxxxeyxxtan(tan)xyextan2secxex. tan2secxdyexdx. 2331xyx322326 (1)33(1)xxxxyx3323 (2)(1)xxx例 2. 设x在1x处可导 ,且(1)2. 求1(43 )lim1xxx分析: 将x在1x处的导数的定义式理解为结构式: 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 13 页(1)=0(1)(1)lim其中为1xx或x的函数 . 且当0 x时,0即可 . 解: 11(43)lim1(1)lim(3)3(1)3(1)6xxxxxxf例 3求曲线3
16、333xyaxya在点0 ,a处的切线方程。解：显然，点0 ,a在曲线上，现求切线的斜率，即(0,)ya曲线方程两边对x 求导：2233330 xyyayaxy解得22ayxyyax(0,)ya1 切线方程为：yax即yxa例 4、设21()000 xefxxxx试讨论()f x在0 x处的连续性及可导性。分析与解：由已知，(0)0f；（1）讨论()f x在0 x处的连续性。200201lim()limlim0(0).xxxxefxxxfx代换()fx在0 x处连续。（2）讨论()f x在0 x处的可导性。分段函数在分段点的导数必须用定义求：0(0)( )lim0 xfxffx（）2010li
17、m0 xxexx2222001limlim1xxxexxx代换即存在( )1.f 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 13 页四.练习题及参考答案1.单项选择题.设22ln(1)0()10 xxxfxx下面说法正确的是（）. A.( )f x在0 x不连续；B. .( )fx在0 x连续，但不可导；C. ( )fx在0 x可导，且(0)1f；D. ( )fx在0 x可导，且(0)0f. 2.填空题( )f x在0 xx处可导，且0()1fx, 则（1）000()()lim_hfxhfxhh3.求函数的导数或微分：1xyx,
18、求yln(1)(1)yfxx,求,yy2ln1yx，求dy. 4.设3cos()yxxy确定y是x的函数，求dydx，并求出函数在点(0,1)的切线方程。5、证明：（1）若)(xf是偶函数且可导，那么)(xf是奇函数，（2）若)(xf是奇函数且可导，那么)(xf是偶函数，答案： 1.D. 2. 23. .12(1ln)xyxx(2).1ln(1)1yfxx；221ln(1)(1)1ln(1)(1)yfxxfxx.21xdydxx.4.21sin()3sin()dyyxydxyxxy；切线方程：33yx. 自我复习 :习题三 (A) 13； 21, ，；24.，；25；26.,; 27. ；29
19、. ，；47. ， 54. 习题三 (B) 1 ；3；11. 第四章中值定理与导数的应用精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 13 页一.本章重点求未定式极限的洛必达法则；应用导数判定函数的单调性，求函数的极值和最值；应用导数确定曲线的凹向与拐点；对经济问题作边际分析；二.复习要求1 知道罗尔定理、拉格朗日中值定理的条件和结论, 会求定理中的，掌握拉格朗日定理推论的意义。2.熟练掌握用洛必达法则求未定式极限的方法。注意: 洛必达法则只能直接用于求“00”型或“”型未定式的极限，对于其他类型的未定式极限，必须将其转化为“00”型
20、或“”型未定式才能使用法则。洛必达法则可以连续使用,当再次使用法则时 , 一定要检验法则的条件是否成立, 当条件不满足时必须停止使用, 改用其他求极限的方法计算. 在求未定式极限时，将洛必达法则和等价无穷小代换等其它方法结合使用，可使运算更简便。3. 掌握用一阶导数判定函数单调性的方法, 并能利用函数的单调性证明不等式。4. 掌握函数极值的概念及求函数极值方法.5. 掌握最值的概念及其与极值的关系, 能熟练求闭区间上连续函数的最大、最小值；会求经济应用问题的最值. 如求最大总收入 , 最大总利润等 .6. 掌握函数的凹向 , 拐点的概念及求曲线凹向, 拐点的方法 .三.例题选解例 1. 求下列
21、极限(1). 0sin21limln(1)xxexxxx(2). 2sin0limxxx(3). 011limln(1)xxx解：(1) 0sin210lim()ln(1)0 xxexxxx20sin21limxxexxx代换0cos20lim()20 xxexx洛0sinlim()2xxex洛不是未定式12=. (2) 原式为幂指型不定式（00型） ，利用代数变换：lnvuvue，得：02sin2silnn2si00lilnnmlimlimxxxxxxxxexe其中0lim 2sinln(0)xxxxxxln2lim0（代换）02lnlim1xxx（）精选学习资料 - - - - - - -
22、 - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 13 页022lim1xxx洛0lim(2)0 xx. 原式01e(3) 011limln(1)xxx()型=0ln(1ln(1)lim)xxxxx00()通分化为型=0ln(1)limxxxxx（代换）0111lim2xxx（洛必达）01lim2(1)2xxxx. 例 2.求函数21xyx的单调区间和极值，凹凸区间和拐点。解：函数21xyx的定义域为(,)222222(1)21(1)(1)xx xxyxx，2 2222 4( 2 ) (1)2(1) 2(1)(1)xxxxxyx2232 (3)(1)x xx。令22(1)(1)
23、0(1)xxyx，得驻点1x，1x；无不可导点。两驻点分定义域为三个子区间，列表讨论如下：x (, 1)1( 1,1)1(1,)y0 0y极小极大令232(3)(3)0(1)xxxyx得0,3xx，无y不存在的点。曲线的凹向及拐点列表讨论如下：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 13 页x (,3)33(3,0)0 (0,3)3 (3,)y- 0 + 0 -0 + y拐点拐点拐点由上面的讨论看出：函数21xyx的单减区间为(,1)(1,)；单增区间为1,1。极小值是1(1)2y，极大值是1(1)2y。曲线21xyx的凸区间
24、是(,3 )(0,3 )凹区间是(3 , 0)(3 ,)。曲线21xyx的拐点有三个：3(3,)4，(0,0)，3(3,)4。例 3.证明不等式21(1)ln(1)(0)2xxxxx分析与证：证明不等式的方法很多，利用函数的单调性或最值证明不等式是常用的方法之一。这里用单调性来证明。即令21()(1) ln(1)2fxxxxx则问题转化为证()0(0)(0)fxfx即证在0 x时，()fx单减。1()ln(1)11xfxxxxln(1)xx1()1011xfxxx0 x时，( )fx单减，有()(0)0fxf()fx也单减，有()(0)0fxf， 证毕。例 4.证明：对任意1x，有21arct
25、an1arcsin2xx分析：本题为恒等式的证明。我们设21()arctan1arcsinFxxx由拉格朗日定理的推论，若能证明()0Fx则()Fxc，再确定2c即可。证：当1x时，22221()1()(1)11(1)1()xFxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 13 页2222112111211xxxxxx2211011xxxx()Fxc21arcsin0arctan)1(F2c，证毕！例 5求出函数543551yxxx在区间2,1上的最大、最小值。解：显然函数543551yxxx在闭区间 2,1上连续，因而必存
26、在最大、最小值。4322520155(1)(3)yxxxxxx由0y，解得区间( 1,2)内的可疑点为：120,1xx. 比较以下函数值，(1)10,(0)1,(1)2,(2)7ffff得maxmin(1)2 ,(1)10ff. 例 6. 某食品加工厂生产x单位的总成本为2()20040.03Cxxx，得到的总收益是2()80.02Rxxx，求出生产该商品x单位的边际利润、生产300 单位时的边际利润，当生产多少单位时利润最大。解： .利润函数2()()()0.014200LxRxCxxx边际利润函数()0.024Lxx. . 当300 x时，(300)0.0230042L.令()0.0240
27、Lxx解得：200 x(200)0.020L，产量200 x单位时，可获最大利润。注：设函数)(xfy可导，导函数)(xf也称为边际函数。四.练习题与参考答案1. 求极限(1) 21lim(1cos)xxx011lim()sinxxx1ln0lim (tan)xxx2. 证明. 当1x时，有 : (1) ln2(1)xxx. 3 证明：21cos1(0)2xxx4 .求32399yxxx单调区间和极值，凹凸区间和拐点。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 13 页5. 证明当0 x时，有：1arctanarctanxCx，并求出常数C. 参考答案：1. (1). 12； .0； .e. 4. 单增区间(,1)(3,)；单减区间(1,1)；极大值(1)14y，极小值(3)18y；上凹区间 （1 ） ；下凹（凸）区间（- 1 ） ； 拐点（1 , 2）.5. 2C. 自我复习：习题四（A）8, 9. , , ，； 14. , ； 18.，； 19. ；20. , ；32.，； 37； 41 。习题四（B） 10；12. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 13 页