2022年微积分复习资料 .pdf

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1、1 基本知识复习一、 不定积分1 不定积分概念，第一换元积分法（1） 原函数与不定积分概念设函数F x与fx在区间,a b内有定义，对任意的,xa b，有Fxfx或dF xfx dx，就称F x是fx在,a b内的一个原函数。如果F x是函数fx的一个原函数,称fx的原函数全体为fx的不定积分 ,记作,fx dxFxC（2） 不定积分得基本性质1dfx dxfxdx2。Fx dxF xC3。.AfxBg xdxAfx dxBg x dx（3）基本不定积分公式表一精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 27 页2 1222222(

2、1)2)1 ,13lnC,x(4)arctan,1(5)arcsin,1(6) cossin,(7) sincos,(8)sectan,cos(9)csccot,sin(10) sec tkdxkxC kxx dxCdxxdxxCxdxxCxxdxxCxdxxCdxxdxxCxdxxdxxCxx是常数，（1（ ）22ansec,(11) csccotcsc,(12),ln(13),(14),1(15),1(16).xxxdxxCxxdxxCaa dxCashxdxchxCchxdxshxCdxthxCch xdxcthxCsh x（3） 第一换元积分法（凑微分法）设fu具有原函数 , ux可导

3、 ,则有换元公式.uxfxx dxfu du2 第二换元积分法，分部积分法（1）第二换元积分法设xt是单调的、 可导的函数 ,并且0t.又设ftt具有原函数 ,则有换元公式1,txfx dxftt dt其中1x是xt的反函数 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 27 页3 （2）分部积分法设函数uu x及vv x具有连续导数 ,那么 , ,uvu vuv移项 ,得.uvuvu v对这个等式两边求不定积分,得.uv dxuvuvdx这个公式称为 分部积分公式.它也可以写成以下形式: .udvuvvdu（3）基本积分公式表二

4、2222222222(17) tanln cos) cotln sin,secln sec tanC,(20) cscln csccot,1(21)arctan,1(22)ln,2(23)arcsin,(24)ln,(2xdxxCxdxxCxdxxxdxxxCdxxCaxaadxxadxCxaaxadxxCaaxdxxxaCxa，（18（19）22225)ln.dxxxaCxa（ 3）有理函数的积分，三角函数有理式的积分，某些简单无理式的积分一、有理函数的积分两个多项式的商P xQ x称为 有理函数 ，又称为 有理分式 .我们总假定分子多项式P x与分母多项式Q x之间是没有公因式的.当分子多

5、项式P x的次数小于分母多项式Q x的次数时 ,称这有理函数为真分式 ,否则称为 假分式 . 利用多项式的除法,总可以将一个假分式化成一个多项式与一个真分式之和的形式,由于多项式的积分容易求,故我们将重点讨论真分式的积分方法. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 27 页4 对于真分式nmPxQx,首先将mQx在实数范围内进行因式分解,分解的结果不外乎两种类型 :一种是kxa,另外一种是2lxpxq,其中,k l是正整数且240pq;其次 ,根据因式分解的结果,将真分式拆成若干个分式之和. 具体的做法是: 若mQx分解后含有

6、因式kxa,则和式中对应地含有以下k个分式之和 : 122,kkAAAxaxaxaL其中 :1,kAAL为待定常数 . 若mQx分解后含有因式2lxpxq,则和式中对应地含有以下l个分式之和 : 11222222,lllM xNM xNM xNxpxqxpxqxpxqL其中 :,1,2,iiMNilL为待定常数 . 以上这些常数可通过待定系数法来确定.上述步骤称为把真分式化为部分分式之和,所以,有理函数的积分最终归结为部分分式的积分. 二、可化为有理函数的积分举例例 4 求1sin.sin1cosxdxxx解由三角函数知道,sin x与cosx都可以用tan2x的有理式表示 ,即2222222

7、22tan2 tan22sin2sincos,22sec1tan221tan1tan22coscossin.22sec1tan22xxxxxxxxxxxxxx如果作变换tan2xux,那么22221sin,cos,11uuxxuu而2arctan,xu从而精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 27 页5 22.1dxduu于是22222221sinsin1cos2211121111112212ln2211tantanln tan.42222xdxxxuduuuuuuuuduuuuuCxxxC例 5 求1.xdxx解设1xu,于

8、是21,2,xudxudu从而所求积分为2222122111212arctan121arctan1.xuudxududuxuuduuuCuxxC例 6 求3.12dxx解设32xu,于是322,3,xudxu du从而所求积分为23223333112131133ln 12323ln 12.22dxuduuxuduuuuuCxxxC例 7 求3.1dxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 27 页6 解设6xt,于是56,dxt dt从而所求积分为522233266661111616arctan16arctan.dxttdt

9、dttttxxdtttCtxxC例 8 求11.xdxxx解设1xtx,于是2222112,11xtdttxdxxtt从而所求积分为2222222112121111212ln1122ln1ln11122ln1ln.xttdxttdtdtxxtttdttCtttttCxxxCxx二、 定积分（1）定积分概念，微积分基本定理，定积分得基本性质（1）定积分的概念1。定积分的定义定义 (定积分 ) 设函数fx在区间,a b上有定义 .用分点0121,nnaxxxxxbL将区间,a b任意分成n个小区间 ,小区间的长度为11,2,iiixxxinL记1max.ii nx在每个小区间1,iixx上任取一点

10、1iiiixx,作乘积1,2,.iifxinL将这些乘积相加,得到和式精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 27 页7 1,nniiifx这个和称为 函数fx在区间,a b上的积分和.令0,若积分和n有极限I(这个值I不依赖于, a b的分法以及中间点i的取法1,2,inL),则称此极限值为fx在,a b上的定积分 ,记作01lim,nbiiaiIfxfx dx其中a和b分别称为 定积分的下限与上限，, a b称为 积分区间 . 函数的可积性定理 1 若fx在,a b上连续 ,则fx在,a b上可积 . 定理 2 若fx在,a

11、 b上只有有限个间断点,并且有界 ,则fx在,a b上可积 . 定积分的几何定义在, a b上0fx时 ,我 们 已 经 知 道 ,定 积 分bafx dx在 几 何 上 表 示 由 曲 线yfx、两条直线,xa xb与x轴所围成的曲边梯形的面积;在,a b上0fx时, 由曲线yfx、两条直线,xa xb与x轴所围成的曲边梯形位于x轴的下方 ,定积分bafx dx在几何上表示上述曲边梯形面积的负值;在,a b上fx既取得正值又取得负值时 ,函数fx的图形某些部分在x轴的上方,而其它部分在x轴下方 .此时 定积分bafx dx表示x轴上方图形面积减去x轴下方图形面积所得之差(图 4-2). 定积

12、分的基本性质精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 27 页8 为了以后计算及应用方便起见,对定积分做以下两点补充规定: (1) 当ab时,0bafx dx; (2) 当ab时,.baabfx dxfx dx性质 1 1.badxba性质 2 (线性性质 ) 1212.bbbaaak fxk g xdxkfx dxkg x dx推论 1 .bbbaaafxg xdxfx dxg x dx推论 2 .bbaakfx dxkfx dx性质 3 .bcbaacfx dxfx dxfx dx性质 4 若,ab fxg x,则.bbaaf

13、x dxg x dx推论 3 若,0ab fx,则0.bafx dx推论 4 若,ab mfxM,则.bam bafx dxM ba推论 5 .bbaafx dxfx dx ab性质 5(定积分中值定理)（图 4-6）若fx在,a b上连续 ,则至少有一点, a b,使得.bafx dxfba积分上限的函数及其导数定理 1 如果函数fx在区间, a b上连续 ,则积分上限的函数xaxf t dt在,a b上可导 ,并且它的导数.xadxft dtfxaxbdx定理 2 如果函数fx在区间, a b上连续 ,则函数xaxf t dt就是fx在,a b上的一个原函数. 一、牛顿-莱布尼茨公式精选学

14、习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 27 页9 定理 3 如果函数F x是连续函数fx在区间,a b上的一个原函数,则.bafx dxF bF a通常也把牛顿-莱布尼茨公式叫做微积分基本公式.（2）定积分的换元积分法与分部积分法fx在,a b上连续 ,作变换xt,其中t满足(1),ab且当,t时,ta b; (2)t在,上具有连续导数,则.bafx dxftt dt定积分的分部积分法：bbbaaau x vx dxu x v xv x ux dx例 28 证明 : 1.若fx在,a a上是连续的偶函数,则02.aaafx dxfx

15、 dx2.若fx在,a a上是连续的奇函数,则0.aafx dx例 29 若fx在0,1上连续 ,证明 : (1)2200sincos;fx dxfx dx(2)00sinsin.2xfx dxfx dx例 31 设fx是连续的周期函数，周期为T，证明 : (1)0;a TTafx dxfx dx(2)0.anTTafx dxnfx dx nN精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 27 页10 例 9 证明 : 2200sincos133 1,24 2 2n-134 2,.n25 3nnnIxdxxdxnnnnnnnnLL为正

16、偶数；为正奇数证:令,2xt则022002sincoscos.nnnxdxtdtxdx当2n时, 122001222200222002sinsincoscos sin1 sincos1sin1sin11.nnnnnnnnnIxdxxdxxxnxxdxnxdxnxdxnInI这样 ,我们得递推公式: 21.nnnIIn当n为正偶数时 ,0133 1;24 2nnnIInnL当n为正奇数时 ,1133 2.24 3nnnIInnL又210200sin1,.2IxdxIdx故133 1,24 22n-134 2,.n25 3nnnnnnInnnLL为正偶数；为正奇数在一些实际问题中,常会遇到积分区间

17、为无穷区间,或者被积函数为无界函数的积分,它精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 27 页11 反常积分无穷限的反常积分定义 1 设函数fx在区间, a上连续 ,取ta,如果极限limtatfx dx存在 ,则称此极限为 函数fx在无穷区间, a上的反常积分,记作,afx dx即lim,taatfx dxfx dx这时也称反常 积分afx dx收 敛 ;如果上述极限不存在,则函数fx在无穷区间,a上的反常积分afx dx就没有意义 ,习惯上称为 反常积分afx dx发散 ,这时记号afx dx不再表示数值了. 类似地 , 设

18、函数fx在区间,b上连续 ,取tb,如果极限limbttfx dx存在 ,则称此极限为 函数fx在无穷区间,b上的反常积分,记作,bfx dx即lim,bbttfx dxfx dx这时也称 反常积分bfx dx收敛 ;如果上述极限不存在,则称 反常积分bfx dx发散 . 设函数fx在区间,上连续 ,如果反常积分0fx dx和0fx dx都收敛 ,则称上述两反常积分之和为函数fx在无穷区间,上的反常积分,记作,fx dx即00,fx dxfx dxfx dx这时也称 反常积分fx dx收敛 ;否则就称 反常积分fx dx发散 . 上述反常积分统称为无穷限的反常积分. 由上述定义及牛顿-莱布尼茨

19、公式 ,可得如下结果. 设F x为fx在,a上的一个原函数,若limxFx存在 ,则反常积分精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 27 页12 lim;axfx dxFxFa若limxF x不存在 ,则反常积分afx dx发散 . 如果记lim,axFF xF xFF a则当F存在时 , ;aafx dxF x当F不存在时 , 反常积分afx dx发散 . 类似地 ,若在,b上Fxfx,则当F存在时 , ;bbfx dxF x当F不存在时 , 反常积分bfx dx发散 . 若在,内Fxfx,则当F与F都存在时 , ;fx d

20、xF x当F与F有一个不存在时, 反常积分fx dx发散 . 例 2 证明反常积分0padxax当1p时收敛 ,当1p时发散 . 证当1p时, ln.paaadxdxxxx当1p时 , 11,1,1.11pppaapdxxapxpp因此 ,当1p时 ,这反常积分收敛,其值为11pap;当1p时,这反常积分发散. 一、无界函数的反常积分现在我们把定积分推广到被积函数为无界函数的情形. 如果函数fx在点a的任一邻域内都无界,那么点a称为 函数fx的瑕点 .无界函数的反常积分又称为瑕积分 . 定义 2 设函数fx在,a b上连续 ,点a为fx的瑕点 .取ta,如果极限精选学习资料 - - - - -

21、 - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 27 页13 limbttafx dx存在 ,则称此极限为 函数fx在,a b上的反常积分,仍然记作,bafx dx即lim,bbattafx dxfx dx这时也称 反常积分bafx dx收敛 ;如果上述极限不存在,则称 反常积分bafx dx发散 . 类似地 , 设函数fx在,a b上连续 ,点b为fx的瑕点 .取tb,如果极限limtatbfx dx存在 ,则定义lim;btaatbfx dxfx dx否则 ,就称反常积分bafx dx发散 . 设函数fx在,a b上除点c acb外连续 ,点c为fx的瑕点 .如

22、果两个反常积分cafx dx和bcfx dx都收敛 ,则定义,bcbaacfx dxfx dxfx dx否则就称反常积分bafx dx发散 . 计算无界函数的反常积分,也可借助于牛顿-莱布尼茨公式. 设xa为fx的瑕点 ,在,a b上Fxfx,如果极限limxaF x存在 ,则反常积分lim;baxafx dxF bFxF bF a如果limxaF x不存在 ,则反常积分bafx dx发散 . 我们仍用记号baFx来表示F bFa,从而形式上仍有;bbaafx dxF x对于fx在,a b上连续 ,b为瑕点的反常积分,也有类似的计算公式,这里不再详述 . 例5证明反常积分bqadxxa当01q

23、时收敛 ,当1q时发散 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 27 页14 微分方程微分方程的基本概念一般地，凡表示未知函数、未知函数的导数与自变量之间的关系的方程，叫做微分方程.未知函数是一元函数的，叫做常微分方程 ；未知函数是多元函数的，叫做偏微分方程 .微分方程有时也简称方程. 微 分 方 程 中 所 出 现 的 未 知 函 数 的 最 高 阶 导 数 的 阶 数 ， 叫 做 微 分 方 程 的 阶 .设函数( )yx在区间I上有n阶连续导数，如果在区间I上，( ),( ),( ),( )0nFxxxxL，那么函数

24、( )yx就叫做 微分方程（ 10）在区间I上的解 . 如果微分方程的解中含有相互独立的任意常数，且任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解叫做微分方程的通解. 设微分方程中的未知函数为( )yy x，如果微分方程是一阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0 xx时，0yy，或写成00 xxyy，其中00 xy、都是给定的值；如果微分方程是二阶的，通常用来确定任意常数的条件是：0 xx时，00,yyyy. 或写成0000,x xx xyyyy，其中00 xy、和0y都是给定的值.上述这种条件叫做初始条件 .确定了通解中的任意常数以后，就得到微分方程的特解 .一阶微分方程的初值问题，记作00(

25、 , ),.xxyf x yyy（12）微分方程的解的图形是一族曲线，叫做微分方程的积分曲线.初值问题（ 12）的几何意义，就是求微分方程的通过点00(,)xy的那条积分曲线.二阶微分方程的初值问题0000( ,),xxxxyf x y yyyyy的几何意义，是求微分方程的通过点00(,)xy且在该点处的切线斜率为0y的那条积分曲线. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 27 页15 可分离变量的微分方程如果一个一阶微分方程能写成( )( )g y dyf x dx（5）的形式，就是说，能把微分方程写成一端只含y的函数和d

26、y，另一端只含x的函数和dx，那么原方程就称为可分离变量的微分方程. ( )( )g y dyfx dx. 设( )G y及( )F x依次为( )g y及( )f x的原函数，于是有( )( )G yF xC. （6）齐次方程一、齐次方程如果一阶微分方程,dyfx ydx中的函数( , )f x y可写成yx的函数， 即( , )()yf x yx，则称这方程为 齐次方程 ，引进新的未知函数yux, （2）就可化为可分离变量的方程.因为由（ 2）有,dyduyuxuxdxdx，代入方程（ 1） ，便得方程( )duuxudx，即( )duxuudx. 分离变量，得( )dudxuux. 两端

27、积分，得( )dudxuux. 求出积分后，再以yx代替u，便得所给齐次方程的通解. 可化为齐次的方程精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 27 页16 方程111dyaxbycdxa xb yc(3) 当10cc时是齐次的， 否则不是齐次的.在非齐次的情形，可用下列变换把它化为齐次方程：令,xXh yYk，其中h及k是待定的常数.于是,dxdX dydY，从而方程 (3)成为11111dYaXbYahbkcdXa XbYa hb kc. 如果方程组11100ahbkca hbkc的系数行列式110abab，即11abab，

28、那么可以定出h及k使它们满足上述方程组.这样，方程 (3)便化为齐次方程11dYaXbYdXa XbY. 求出这齐次方程的通解后，在通解中以xh代X，yk代Y，便得方程 (3)的通解 . 当11abab时，h及k无法求得，因此上述方法不能应用.但这时令11abab，从而方程 (3)可写成1()dyaxbycdxaxbyc. 引入新变量vaxby，则dvdyabdxdx，或1dydvadxbdx. 于是方程 (3)成为11dvvcabdxvc，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 27 页17 这是可分离变量的方程. 以上所介

29、绍的方法可以应用于更一般的方程111dyaxbycfdxa xb yc. 一阶线性微分方程一、线性方程方程( )( )dyP x yQ xdx(1) 叫做 一阶线性微分方程，因为它对于未知函数y及其导数是一次方程.如果( )0Q x,则方程(1)称为 齐次的 ；如果( )Q x不恒等于零，则方程(1)称为 非齐次的 . 设(1)为非齐次线性方程.为了求出非齐次线性方程(1)的解，我们先把( )Q x换成零而写出( )0dyP x ydx（2）方程（ 2）叫做对应于非齐次线性方程(1)的齐次线性方程.方程（ 2）是可分离变量的，分离变量后得( )dyP x dxy，两端积分，得1ln( )yP

30、x dxC，或1(),P x dxCyCeCe，这是对应的 齐次线性方程（2）的通解 .这里记号( )P x dx表示( )P x的某个确定的原函数. 现在我们使用所谓常数变易法 来求非齐次线性方程（1）的通解 .这方法是把（2）的通解中的C换成x的未知函数( )u x，即作变换( )P x dxyue，（3）于是( )()( )P x dxP x dxdyu euP x edx. （4）将（ 3）和（ 4）代入方程（1）得( )()()( )( )( )P x dxP x dxP x dxu euP x eP x ueQ x，即( )()( ),( )P x dxP x dxu eQ x u

31、Q x e. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页，共 27 页18 两端积分，得()( )P x dxuQ x edxC. 把上式代入（ 3） ，便得非齐次线性方程（1）的通解( )()( )P x dxP x dxyeQ x edxC. （5）将（ 5）式改写成两项之和()( )( )( )P x dxP x dxP x dxyCeeQ x edx，上式右端第一项是对应的齐次线性方程（2）的通解 ，第二项是 非齐次线性方程（1）的一个特解（在（ 1）的通解（ 5）中取0C便得到这个特解）.由此可知，一阶非齐次线性方程的通解等

32、于对应的齐次方程的通解与非齐次方程的一个特解之和. 二、伯努利方程方程( )( )(0,1)ndyP x yQ x yndx（13）叫做 伯努利（ Bernoulli ）方程 .当0n或1n时，这是 线性微分方程.当0,1nn时，这方程不是线性的，但是通过变量的代换，便可把它化为线性的.事实上，以ny除方程（ 13）的两端，得1( )( )nndyyP x yQ xdx（14）容易看出，上式左端第一项与1 ndydx只差一个常数因子1n，因此我们引入新的未知函数1 nzy，那么(1)ndzdyn ydxdx. 用(1)n乘方程（ 14）的两端，再通过上述代换便得线性方程(1)( )(1)( )

33、dzn P x zn Q xdx. 求出这方程的通解后，以1 ny代z便得到伯努利方程的通解. 利用变量代换（因变量的变量代换或自变量的变量代换），把一个微分方程化为变量可分离的方程，或化为已经知其求解步骤的方程，这是解微分方程最常用的方法.下面再举一个例子 . 例 5 解方程1dydxxy. 解若把所给方程变形为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 18 页，共 27 页19 dxxydy，即为一阶线性方程，则按一阶线性方程的解法可求得通解. 也可用变量代换来解所给方程：令xyu，则yux，1dydudxdx.代入原方程，得111,du

34、duudxu dxu. 分离变量得1ududxu，两端积分得ln1uuxC. 以uxy代入上式，即得ln1yxyC，或111,()yCxC eyCe. 可降阶的高阶微分方程一、( )( )nyf x型的微分方程微分方程( )( )nyf x(2) 的右端仅含有自变量x.容易看出， 只要把(1)ny作为新的未知函数，那么 (2)式就是新未知函数的一阶微分方程.两边积分，就得到一个1n阶的微分方程(1)1( )nyf x dxC. 同理可得(2)12( )nyf x dxCdxC. 依此法继续进行，接连积分n次，便得方程(2)的含有n个任意常数的通解. 二、( ,)yf x y型的微分方程方程(

35、,)yf x y(7) 的右端不显含未知函数y.如果我们设yp，那么dpypdx，而方程(7)就成为( ,)pfx p. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 19 页，共 27 页20 这是一个关于变量x、p的一阶微分方程.设其通解为1( ,)px C. 但是dypdx，因此又得到一个一阶微分方程1( ,)dyx Cdx. 对它进行积分，便得方程(7)的通解为12( ,)yx C dxC. 三、( ,)yf y y型的微分方程方程( ,)yfy y(11) 中不明显地含自变量x.为了求出它的解，我们令yp，并利用复合函数的求导法则把y化

36、为对y的导数，即dpdp dydpypdxdydxdy. 这样，方程 (11)就成为( ,)dppf y pdy. 这是一个关于变数y、p的一阶微分方程.设它的通解为1( ,)ypy C，分离变量并积分，便得方程(11)的通解为21( ,)dyxCy C. 题型分析1 简单积分法例：.d111422xxxx求.d111422xxxx221d1dxxxx精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 20 页，共 27 页21 arcsinln.xxxc122抽象函数结合分部积分例：xxf xxxxfd)(,sin)(则的一个原函数为设_。xfx d

37、xxfxf x dxxf xxxcxxxxxxcxxxcxxxc( )( )( )( )sincossinsincossin:cossin.故应填223三角函数有理式积分例。.cos3dxx求解 令:tancosxtdxdttxtt22111222dttttxdx222121131cos3224222tdtdtt2222arctantccx22tan2arctan224三角代换去根号例：.d)1 (2322xxx求xxdxxtdxtdt222132().tansec令精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 21 页，共 27 页22 原式t

38、ansecsecsincoscos22322ttdtttttdtsincoscoscos221ttdtttdtln sectansintttcln.xxxxc11225简单无理式积分例：311dxxx求令()xuxudxu du1161665原式6615323u duuuuudu61112()uuudu632132uuuucln61312111366xxxxcln6分段函数的定积分例：2102)(,212)21(62102sin1)(dxxfxxxxxf求，设原式sincos()xxdxxdx02221262(cossin )(sincos )()xx dxxx dxx0432124222精选

39、学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 22 页，共 27 页23 sincoscossinxxxx04422221222()7.变限函数求导法. 例: 20 1d1( )d01.dx tutxxx tteute若是由方程所确定的，则所确定的隐函数，试求是由方程设022110sin)(2txudtxdduettxxcos( )()tex tx 120 x tt ex( )cos()12再关于 求导，得txtetxx tx( )( sin()( )()1221由已知方程得，tx02xe( )0 xe( )0227.函数光滑性的关系. 可导比连续强

40、 ,连续比可积强. 8.参数方程结合变上限函数求导.例: 0cos1_cosln(0)txududydxttyt t设则，求所确定的函数是，设参数方程221)()0(cossinsindxyddxdyxyyttttyduuuxtdxdtttdydtttsinsin，dydxtttttsinsin2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 23 页，共 27 页24 d ydxddtdydxdxdt22() /，202tttsin()9.积分的对称性的应用. 例. 122121sinln_0_1xxdxx10.广义积分的计算例. 求032dxe

41、xx令原式xttedtt2012120limbtbtedt120lim ()bttbtee1211.可降阶方程的解法例: 求微分方程yyy22满足条件yy( ),( )00012的特解。令yp yypp( ),pppy22令pz2，得zzy222zyyC ey21212，由条件得C10pyyy212lnyyxC12121422精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 24 页，共 27 页25 由y( )00，得C21212ln特解为：lnlnyyx12121412122yyyex212212例: 求微分方程()xa yxyy2的通解。令yp

42、 ypxa pxpp,()2即pxapxxap12令1pu，得uxauxxa1upxaxxCxCxa1122121d()pyxaxC221()yxCaCxCClnarctan21112212.,x y在方程中对称地位的应用. 例. 求微分方程dsin(cos )dxxyxyy1的通解。ddsinsincosxyxyxyy2ddsinsincosxyyxyy11解得xCeyy11coscos或xyCey(cos)cos1113.积分方程求解例. 已知yxy xx( )d( )02，求y x( )。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 25

43、页，共 27 页26 两边关于x求导得xy xxyx( )dd2即ddyxxyx2ddyyxx2yCex222由yx00，求得C2故原方程的解为：yex222214.微分方程的简单几何应用例. 求过点( , )21的一条曲线，使其上任一点处的切线在x轴上的截距等于该点的横坐标的一半。由题意思得方程xyyx2即yyx2积分得：yCx2由y( )21，得C14曲线为：yx14215.定积分与周期函数的相关证明. 例. ( )f xT设是以为周期的连续函数，证明：0( )( )xF xf t dtkxG x，其中G xTG x，k为某常数。0( )( )xG xf tk dt0()( )x TG xTf tk dt0( )( )x Txxf tk dtf tk dt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 26 页，共 27 页27 G xf t dtkTT( )( )0一般情况下，若取f t dtkTf t dtTT( )( )0001则得 G xTG x()( )精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 27 页，共 27 页