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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数的最值问题【学问要点】二次函数的一般式 y ax 2 bx c a 0 化成顶点式 y a x b2 a1、假如自变量的取值范畴是全体实数,那么函数在顶点处取得最大值（或最小值）24acb2；4a（1）当a0时,函数有最小值,并且当xb,y最小值4 acab2；42a（2）a0时,函数有最大值,并且当xb,y最大值4acab22 a44acb22、假如自变量的取值范畴是x 1xx2,（1）假如顶点在自变量的取值范畴x 1xx2内,就当xb,y 最值2a4a（2）假如顶点不在此范畴内,就需考虑函数在自变量的取值范畴内的增
2、减性；bx 2c, 假如在此范畴内y 随 x 的增大而增大 ,就当xx2时,y 最大ax22当x1x时,y最小2 ax 1bx 1c； 假如在此范畴内y随x的增大而减小 ,就当x1x时,y 最大ax 1 2bx 1c,当xx2时,y 最小ax2bx2c2例： 求以下二次函数的最值：（1）求函数yx22x3的最值（2）求函数yx22x3的最值0x3 在生活实践中,人们常常面对带有“ 最” 字的问题,如在肯定的方案中,花费最少、消耗最低、面积 最大、产值最高、获利最多等；解数学题时,我们也常常遇到求某个变量的最大值或最小值之类的问题,这就是我们要争论的最值问题；【商业利润问题】解决最值问题应用题的
3、思路与一般应用题类似,也有区分,主要有两点：在“ 当某某为何值时,什么最大或最小、最省 ” 的设问中, .“ 某某” 要设为自变量, “ 什么” 要设为函数；求解方法是依靠配方法或最值公式,而不是解方程例 1、某商品现在的售价为每件 60 元,每星期可卖出 300 件,市场调查反映：每涨价 1 元,每星期少卖出10 件；每降价 1 元,每星期可多卖出 20 件,已知商品的进价为每件 40 元,如何定价才能使利润最大？例 2、某果品批发公司为指导今年的樱桃销售,对往年的市场销售情形进行了调查统计,得到如下数据：名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 10 页精选学习资料 - -
4、- - - - - - - 销售价 x（元 / 千克）学习必备欢迎下载 23 22 25 24 销售量 y（千克）2000 2500 3000 3500 （1）在如图的直角坐标系内,作出各组有序数对（x,y）所对应的点连接各点并观看所得的图形,判定 y 与 x 之间的函数关系,并求出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）如樱桃进价为 13 元/ 千克,试求销售利润 P（元）与销售价 x（元 / 千克）之间的函数关系式,并求出当 x 取何值时, P 的值最大？例 3、随着绿城南宁近几年城市建设的快速进展,对花木的需求量逐年提高某园林专业户方案投资种植花卉及树木,依据市场调查与猜测,种植树木的利润
5、 与投资量 成正比例关系,如图 12- 所示；种植花卉的利润 与投资量 成二次函数关系,如图 12- 所示 注：利润与投资量的单位：万元 （1）分别求出利润 与 关于投资量 的函数关系式；（2）假如这位专业户以 8 万元资金投入种植花卉和树木,他至少获得多少利润？他能猎取的最大利润是多少？【面积最值问题】名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载例 1、小明的家门前有一块空地,空地外有一面长10 米的围墙,为了美化生活环境,小明的爸爸预备靠墙修建一个矩形花圃,他买回了 32 米长的不锈钢管预备作为花圃的围
6、栏,为了浇花和赏花的便利,预备在花圃的中间再围出一条宽为一米的通道及在左右花圃各放一个 计才能使花圃的面积最大？1 米宽的门（木质） 花圃的长与宽如何设x例 2、已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图）,其中 AF=2,BF=1试在 AB上求一点 P,使矩形 PNDM有最大面积例 3、一座拱桥的轮廓是抛物线型 如图 16 所示 ,拱高 6m,跨度 20m,相邻两支柱间的距离均为5m（1）将抛物线放在所给的直角坐标系中（2）求支柱 的长度； 如图 17 所示 ,求抛物线的解析式；名师归纳总结 （3）拱桥下地平面是双向行车道 正中间是一条宽2m的隔离带 ,其中的一条行车道能否
7、并排行驶宽2m、高 3m的三辆汽车 汽车间的间隔忽视不计 ？请说明你的理由第 3 页,共 10 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载随堂练习1、小明在某次投篮中,球的运动路线是抛物线 y 1x 23.5 的一部分,如下列图,如命中篮圈中心,5就他与篮底的距离 L 是2、如下列图,在一个直角MBN的内部作一个长方形 ABCD,其中 AB和 BC分别在两直角边上,设 AB=x m,长方形的面积为 y m 2,要使长方形的面积最大,其边长 x 应为 A24 m B6 m C15 m D5 m 4 23、如图,矩形 ABCD的边 AB=6 c
8、m, BC=8cm,在 BC上取一点 P,在 CD边上取一点 Q,使 APQ成直角,设BP=x cm,CQ=y cm,试以 x 为自变量,写出 y 与 x 的函数关系式M N 第 1 题图 第 2 题图 第 3 题图4、将一张边长为 30 的正方形纸片的四角分别剪去一个边长为的小正方形,然后折叠成一个无盖的长方体当取下面哪个数值时,长方体的体积最大（） A7 B6 C5 D45、将进货单价为 70 元的某种商品按零售价 100 元售出时,每天能卖出 20 个如这种商品的零售价在一定范畴内每降价 1 元,其日销售量就增加了 1 个,为了获得最大利润,就应降价 元,最大利润为 元二次函数学问点总结
9、及相关典型题目名师归纳总结 第一部分基础学问第 4 页,共 10 页1. 定义：一般地,假如yax2bxca,b,c是常数,a0,那么 y 叫做 x 的二次函数 . 2. 二次函数yax2的性质（1）抛物线yax2的顶点是坐标原点,对称轴是y 轴 . （2）函数yax2的图像与 a 的符号关系 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 a 0 时 抛物线开口向上 顶点为其最低点；当 a 0 时 抛物线开口向下 顶点为其最高点 . （3）顶点是坐标原点,对称轴是 y 轴的抛物线的解析式形式为 y ax 2（a 0）. 3. 二次函数 y
10、 ax 2 bx c 的图像是对称轴平行于（包括重合）y 轴的抛物线 . 24. 二次函数 y ax 2 bx c 用配方法可化成：y a x h 2k 的形式,其中 h b,k 4 ac b. 2 a 4 a2 2 25. 二次函数由特殊到一般,可分为以下几种形式： y ax； y ax k； y a x h；y a x h 2k； y ax 2 bx c . 6. 抛物线的三要素：开口方向、对称轴、顶点 . a 的符号打算抛物线的开口方向：当 a 0 时,开口向上；当 a 0 时,开口向下；a 相等,抛物线的开口大小、外形相同 . 平行于 y 轴（或重合）的直线记作 x h . 特殊地,
11、y 轴记作直线 x 0 . 7. 顶点打算抛物线的位置 . 几个不同的二次函数,假如二次项系数 a 相同,那么抛物线的开口方向、开口大小完全相同,只是顶点的位置不同 . 8. 求抛物线的顶点、对称轴的方法（1）公式法：y2 axbxcaxb24acb2,顶点是（kb,4acab2）,对称轴是直2 a4 ay2a4线xb. axh22 a的形式,得到顶点为 h , k ,（2）配方法：运用配方的方法,将抛物线的解析式化为对称轴是直线xh. （3）运用抛物线的对称性：由于抛物线是以对称轴为轴的轴对称图形,所以对称轴的连线的垂直平分线是抛物线的对称轴,对称轴与抛物线的交点是顶点行验证,才能做到万无一
12、失a,. c的作用9. 抛物线yax2bxc中,b ,. 用配方法求得的顶点,再用公式法或对称性进名师归纳总结 （1） a 打算开口方向及开口大小,这与yax2中的 a 完全一样 . 第 5 页,共 10 页（2） b 和 a 共同打算抛物线对称轴的位置. 由于抛物线yax2bxc的对称轴是直线xb,故：b0时,对称轴为y 轴；b0（即 a 、 b 同号）时,对称轴在y 轴左侧；2aab0（即 a 、 b 异号）时,对称轴在y 轴右侧 . a（3） c 的大小打算抛物线yax2bxc与 y 轴交点的位置 . 当x0 时,yc,抛物线yax2bxc与 y 轴有且只有一个交点（0, c ）：c0,
13、抛物线经过原点; c0, 与 y 轴交于正半轴；c0, 与 y 轴交于负半轴 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载y轴右侧,就b0. 以上三点中,当结论和条件互换时,仍成立. 如抛物线的对称轴在a10. 几种特殊的二次函数的图像特点如下：函数解析式kk开口方向对称轴顶点坐标b2 （0,0 ）yax2x0（ y 轴）0, k yax2x0（ y 轴）当a0时xh h ,0 yaxh2开口向上yaxh2当a0时xh h , k 开口向下yax2bxcxbb,4 ac4a2a2a11. 用待定系数法求二次函数的解析式（1）一般式：yax2b
14、xc. 已知图像上三点或三对x 、 y 的值,通常挑选一般式. x2. （2）顶点式：yaxxh2k. 已知图像的顶点或对称轴,通常挑选顶点式. （3）交点式：已知图像与x 轴的交点坐标1x 、x ,通常选用交点式：yaxx 112. 直线与抛物线的交点（1） y 轴与抛物线yax2hbxc得交点为 0, c . c有且只有一个交点 h ,ah2bhc. x与抛物线yax2bx（2）与 y 轴平行的直线（3）抛物线与 x 轴的交点二次函数yax2bxc的图像与x 轴的两个交点的横坐标1x 、2x ,是对应一元二次方程ax2bxc0的两个实数根. 抛物线与x轴的交点情形可以由对应的一元二次方程的
15、根的判别式判定：有两个交点 有一个交点（顶点在0抛物线与 x 轴相交；x 轴上）0抛物线与 x 轴相切；没有交点0抛物线与 x 轴相离 . （4）平行于 x 轴的直线与抛物线的交点名师归纳总结 - - - - - - -同（ 3）一样可能有0 个交点、 1 个交点、 2 个交点 . 当有 2 个交点时,两交点的纵坐标相等,设纵坐标为 k ,就横坐标是ax2bxck的两个实数根 . （5）一次函数ykxnk0的图像 l 与二次函数yax2bxca0的图像 G 的交点,由方程组ykx2nc的解的数目来确定：方程组有两组不同的解时l 与 G 有两个交点 ; 方yaxbx程组只有一组解时l 与 G 只
16、有一个交点；方程组无解时l 与 G 没有交点 . 第 6 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载c与 x 轴两交点为Ax 1,Bx2,由（6）抛物线与 x 轴两交点之间的距离：如抛物线yax2bx于x 、x 是方程ax2bxc0的两个根,故x 1x 2b,x 1x 2caab24 cb24 acaABx 1x2x 1x22x 1x 224x 1x2aaa其次部分典型习题1、已知二次函数 y ax 2 bx c 的图象如下列图,就以下结论正确选项（） ab 0,c0 ab0,c0 ab0,c0 ab0, c0 A名师归纳总结 - - - - - - -
17、EFBDC第 1 题图第 2 题图2、如图,已知ABC 中, BC=8, BC上的高 h4 ,D为 BC上一点, EF/ /BC,交 AB 于点 E,交 AC于点 F（EF 不过 A、B）,设 E 到 BC的距离为 x,就DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致为（）4y444O24xO24O24O24ABCD3、抛物线yx22x3与 x 轴分别交于A、B 两点,就 AB的长为4、已知二次函数yax2bxc 中,其函数 y 与自变量 x 之间的部分对应值如下表所示：x 0 1 2 3 4 y 4 1 0 1 4 点 A（1x ,1y ）、 B（2x ,y ）在函数的图象上,就当1x 12
18、,3x 24时,1y 与y 的大小关系正确的是（）Ay 1y2By1y2Cy 1y2Dy 1y2第 7 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 5、已知一元二次方程2ax2学习必备欢迎下载1x 、2x 满意x 1x24和x x 23,那么二bxc0 a0的两个实数根次函数yax2bxc a0的图象有可能是（）ya x与正比列函数ybx 在同一坐标系内6、二次函数yaxbxc 的图像如下列图,反比列函数的大致图像是（）y y y y y O x O x O x O x O x A B C D 2x 1 1 x37、已知函数 y 2,就使 y=k 成立的 x 值恰好有三个
19、,就 k 的值为 _. x 5 1 x38、已知抛物线 :y=x2-2x+m-1 与 x 轴只有一个交点,且与 y 轴交于 A 点,如图,设它的顶点为 B；1求 m 的值；2过 A 作 x 轴的平行线,交抛物线于点 C,求证是ABC 是等腰直角三角形；3将此抛物线向下平移 4 个单位后,得到抛物线 C,且与 x 轴的左半轴交于 E 点,与 y 轴交于 F 点,如图.请在抛物线 C上求点 P,使得EFP 是以 EF 为直角边的直角三角形 . yA CEOBxF名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载9、已
20、知抛物线 y x 2mx 3 m 2（ m 0）与 x 轴交于 A 、 B 两点4（1）求证：抛物线的对称轴在 y轴的左侧；（2）如 1 1 2（ O 是坐标原点） ,求抛物线的解析式；OB OA 3（3）设抛物线与 y 轴交于点 C ,如 ABC是直角三角形,求 ABC 的面积10、已知抛物线 y x 2mxm2. （1）如抛物线与 x 轴的两个交点 A、B 分别在原点的两侧,并且 AB5 ,试求 m的值；（2）设 C为抛物线与 y 轴的交点,如抛物线上存在关于原点对称的两点 M、N,并且 MNC的面积等于27,试求 m的值 . 11、卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面1110
21、00 的比例图上,跨度AB5 cm,拱名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 10 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高 OC0. 9 cm,线段 DE表示大桥拱内桥长,DE AB,如图（ 1）在比例图上,以直线 AB为 x 轴,抛物线的对称轴为 y 轴,以 1 cm 作为数轴的单位长度,建立平面直角坐标系,如图（2）（1）求出图（ 2）上以这一部分抛物线为图象的函数解析式,写出函数定义域；（ 2）假如 DE与 AB的距离 OM0. 45 cm,求卢浦大桥拱内实际桥长（备用数据：21 .4,运算结果精确到 1 米）名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 10 页