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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学校数学图形与几何话题一吴正宪（北京训练科学争论院）王彦伟（北京东城区老师研修中心）张 杰（北京东城区训练研修学院）2022 版课标最终要公布了,新课标 领域的变化；修订后有哪些变化；这一讲主要讲“ 图形与几何” 这个新课标在图形与几何领域有几个核心概念；主要有空间观念、几何直观、推理才能等 ；空间观念主要是指依据物体特点抽象出几何图形,依据几何图形想象出所描述的实际物体；想象出物体的方位和相互之间的位置关系；描述图形的运动和变化；依据语言的描述画出图形等；更直观的懂得如下图：几何直观主要是指利用图形的描述和分析问题,借助几何直观可以把复杂的数
2、学问题,变得简明形象,有助于探究解决问题的思路,推测结果,探究思路推测结果；案例：打电话假如你是老师,有件紧急的事情要通知给同学,用打电话的方式,每分钟通知 1 人,给你 3 分钟的时间,能使多少人收到通知？大胆的推测一下；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 下面是同学借助图形争论的例子；这些同学都能够利用线段、点以图形的形式,来描述打电话来通知这件事情,设计方案；通过这个数图就把这个复杂的数量关系,很简明很直观的出现出来,而且从这个图本身,就能发觉一些规律,就是一分钟通知一个人,其次次通知的新的人数,就是第一次的两
3、倍,否 就你算是算不出来,看图就看出来了；通过线段、点,以及图形,把通知过程很简捷的表现出来,把它们之间的关系,揭示得特别 清晰,这就属于典型的几何直观,就是图形直观；推理才能 的进展应贯穿于整个数学学习过程中；推理是数学的基本思维方式,也是人们学 习和生活中常常使用的思维方式；推理一般包括合情推理和演绎推理,合情推理是从已有的 事实动身, 凭借体会和直觉, 通过归纳和类比等推断某些结果；演绎推理是从已有的事实（包 括定义、公理、定理等）和确定的规章（包括运算的定义、法就、次序等）动身,依据规律 推理的法就证明和运算；在解决问题的过程中,两种推理功能不同,相辅相成：合情推理用 于探究思路,发觉
4、结论；演绎推理用于证明结论；通过对一线老师的访谈,查阅资料,把老师们的困惑集中起来,归结为四个大话题；争论话题：1如何在观看、操作中“ 熟识图形”抽象出图形特点,进展空间观念？2如何以“ 图形的测量” 为载体,渗透度量意识,体会测量的意义,熟识度量单位及其实 际意义,明白把握测量的基本方法,并在详细问题中进行恰当的估测？从而进展 同学的空间观念与推理才能？名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 3如何通过“ 图形的运动” 探究发觉,体会争论图形性质的不同方法,进展同学几何直观 才能和空间观念,提高同学争论图形性质的爱好？
5、4如何通过学习“ 确定图形位置” 的方法,进展同学的空间观念和推理才能？话题一、图形的熟识抽象图形特点,进展空间观念 问题一、新的课程标准在图形的熟识方面有哪些变化？有哪些新的要求呢？这次新课标修订后图形的熟识部分都包括哪些内容？有什么新的变化？课标修订前后立体图形的熟识部分内容的对比：第一修订前修订后（ 1 ）通过实物和模型辨认长方体、1. 能通过实物和模型辨认长方体、正学段正方体、圆柱和球等立体图形；方体、圆柱和球等几何体；（ 2 ） 辨认从正面、侧面、上面观2. 能依据详细事物、 照片或直观图辨察到的简洁物体的外形；参见例1 认从不同角度观看到的简洁物体（参（ 3 ）辨认长方形、正方形、
6、三角见例 11 ）；形、平行四边形、圆等简洁图形；（ 4 ）通过观看、操作,能用自己 3. 能辨认长方形、正方形、三角形、的语言描述 长方形、正方形的特点；平行四边形、圆等简洁图形；（ 5 ）会用长方形、正方形、三角形、平行四边形或圆拼图；4. 通过观看、 操作, 初步熟识长方（ 6 ）结合生活情境熟识角,会辨形、正方形的特点；认直角、锐角和钝角；（ 7 ）能对简洁几何体和图形进行 分类；5. 会用长方形、正方形、三角形、平 行四边形或圆拼图；6. 结合生活情境熟识角,明白直角、锐角和钝角；7. 能对简洁几何体和图形进行分类（参见例 20 ）；其次（ 1 ） 明白两点确定一条直线和两1 结合实
7、例明白线段、射线和直线；条相交直线确定一个点；学段（ 2 ） 能区分直线、线段和射线；2体会两点间全部连线中线段最短,（ 3 ）体会两点间全部连线中线段知道两点间的距离；最短,知道两点间的距离；（ 4 ）知道周角、平角的概念及周 角、平角、钝角、直角、锐角之间的 大小关系；（ 5 ）结合生活情境明白平面上两 条直线的平行和相交（包括垂直）关3知道平角与周角, 明白周角、 平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系；4结合生活情境明白平面上两条直线 的平行和相交（包括垂直）关系；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 系；5通过
8、观看、 操作,熟识平行四边形、（ 6 ）通过观看、操作,熟识平行梯形和圆,知道扇形,会用圆规画四边形、梯形和圆,会用圆规画圆；圆；（ 7 ）熟识三角形,通过观看、操作,明白三角形两边之和大于第三 6熟识三角形,通过观看、操作,了边、三角形内角和是 180 ；解三角形两边之和大于第三边、三角（ 8 ）熟识等腰三角形、等边三角 形内角和是 180；形、直角三角形、锐角三角形、钝角三角形；7熟识等腰三角形、 等边三角形、 直（ 9 ）通过观看、操作,熟识长方角三角形、 锐角三角形、 钝角三角形；体、正方体、圆柱和圆锥,熟识长方体、正方体和圆柱的绽开图；8能辨认从不同方向 （前面、 侧面、（ 10 ）
9、能辨认从不同方位看到的上面） 看到的物体的外形图（参见例物体的外形和相对位置；参见例32 ）；9通过观看、操作,熟识长方体、正1 方体、圆柱和圆锥,熟识长方体、正方体和圆柱的绽开图；从这个表中可以看到,课表修订前后在图形的熟识部分只有一些细小的变化,图形与几何这一模块原称空间与图形,变“ 空间与图形” 为“ 图形与几何” ；重提几何直观、推理才能、运算才能、规律思维才能,用词更加规范,表达了课标的庄重； 的” 图形与几何” 第一、二学段仍分为四部分,详细表示有所变动,（ 1 ）图形的熟识,（ 2 ）测量,（ 3 ）图形的运动（修改稿：图形与变换）,（ 4 ）图形与位置；图形的运动”强调了图形的
10、运动是争论图形性质的一种有效方法；运动也是一种基本的数学思想；其次学段的内容标准删除“ 两点确定一条直线” 和“ 两条直线确定一个点” ；“ 图形与几何”领域,将几何学习的视野拓宽到同学生活的空间,强调空间和图形学问的现实背景, 从第一学段开头使同学接触丰富的几何世界；新标准 突出用观看、 描述、 制作、从不同的角度观看物体、熟识方向、 制作模型等活动,进展同学的空间观念和图形设计与推理（合情推理与演绎推理）的才能；新标准在其次学段仍增加了知道扇形这一内容；扇形的熟识,作为选学内容,数学课程标准中没有熟识扇形的要求；大纲 （修订版）教材熟识扇形在课标修改稿中的确没有做要求,但在“统计与概率”部
11、分却明确提出了通过实例熟识扇形统计图的内容标准,考虑到学问的系统性、规律性和连贯性,以及同学认识扇形统计图的需要,课标修订稿在熟识圆的基础上,增加了初步熟识扇形；简洁说对图形熟识的要求主要包括两个方面：一是对图形自身特点的熟识；二是对图形各元素之间、图形与图形之间关系的熟识；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 在三个学段中,熟识同一个或同一类图形的要求有明显的层次性：从“辨认 ”到 “初步熟识”,再从 “熟识”“到 “探究并证明”；例如,对于长方体、正方体、圆柱和球等几何体,第一学段要求辨认 ”；其次学段要求“熟识
12、”；第三学段要求了解其中一些几何体的侧面绽开图；又如,对于平行四边形,第一学段要求“辨认”；其次学段要求“熟识 ”；第三学段要求“探究并证明平行四边形的性质定理、判定定理”；再如,三角形内角和的例子：关于 “视图”,第一学段要求“能依据详细事物、照片或直观图辨认从不同角度观看到的简洁物体”；其次学段要求“能辨认从不同方向（前面、侧面、上面）看到的物体的外形图”；第三学段要求“会画直棱柱、圆柱、圆锥、 球的主视图、左视图、俯视图,能判定简洁物体的视图,会依据视图描述简洁的几何体”；这种要求的层次性, 既表达了从整体到局部的熟识过程；也符合同学的认知特点,逐步深化、循序渐进；对图形的各元素之间、图
13、形与图形之间的关系的熟识,主要包括大小、位置、 外形之间关系的熟识；第一学段的“明白直角、锐角和钝角”；其次学段的“体会两点间全部连线中线段最短”； “明白周角、平角、钝角、直角、锐角之间的大小关系”； “明白三角形两边之和大 于第三边”；第三学段的“会比较线段的长短”, “能比较角的大小”等,都是对图形大小关系的争论；点与直线的位置关系、直线与直线的位置关系、点与圆的位置关系、 直线与圆的位置关系等,是义务训练阶段几种主要的图形位置关系；间的位置关系；轴对称、 中心对称、 平移也反映了图形与图形之名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 18 页精选学习资料 - - - - -
14、 - - - - 图形的全等、 相像都是争论争论图形之间关系的课程内容,全等争论的是图形的外形、大小关系；图形的相像争论的是图形的外形之间的关系；关系；而图形的位似就仍涉及到了图形的位置在儿童的不同学段上,形象思维的进展是有层次的,荷兰范 . 希尔夫妇对同学几何思维水平的争论说明白从直观辨认到探究特点是儿童的对图形的形象思维规律；他们将同学的图形认知水平主要分为五级：水平 1 ：直观化；水平 2 ：描述 / 分析；水平 3 ：抽象 / 关联；水平 4 ：演绎 / 形式化推理；水平 5 ：严密 / 元数学；一二三水平在学校表达,四五水平是在中学表达的；这和我们课标的要求也是一样；图形熟识的教学先
15、明确两点：一是这部分内容属于图形熟识的哪个水平,前后继学问各是什么；二是多数同学现在的形象思维处于一个什么阶段,要通过你的教学达到什么阶段；问题二、学校阶段对于“图形的熟识”这一内容,教材是遵循怎样一个编排体系的？第一,现在的教材,在图形的熟识当中,是先讲立体,再讲平面,再回到立体；从历史发展过程上看,实际上我们中国学校的传统教材,最初是按点、线、面、体的规律关系讲的；到了上个世纪 90 岁月以后, 义务大纲显现就发生变化了,先讲立体以后再讲平面,然后又回到立体； 为什么当时要改？由于当时许多老师都反映,高年级孩子, 对几何立体图形,本身的识图的才能比较低,熟识起来比较困难；这部分是个难点,分
16、阶段支配可以分散难点；其次, 实际上一个人是生活在三维空间当中,一个婴儿从诞生落地,他全部接触的东西,看到的东西, 实际上都是体, 他的奶瓶, 他玩的积木都是体,住的大大楼里, 全部东西都是体,在这个过程中儿童积存了许多立体的物体,因此全部的几何体, 都具有直观的实物的模型的；那在这种情形之下,低年级孩子,刚开头初步的熟识立体图形是有可能的；所以一是有必要, 二是有可能, 再加上儿童的空间观念的形成,必定是有一个长期的反复的积存的过程, 不能一次到位； 所以当时的义务大纲就打破了传统的一步到位,先讲立体图形,要求直观熟识, 然后中间一段是平面图形,最终再讲立体图形；现在教材也一样, 先讲立体,
17、后讲平面, 再回到立体, 但这两次讲立体层次不同,第一次要求辨认,到其次学段要求是认识； 也就是 现在教材是“体形体”的混合螺旋编排结构问题三、怎样通过图形的熟识教学,培育同学的空间观念？第一、通过对实物的观看与操作熟识图形第一学段要求“能通过实物和模型辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”、 “通过观看、 操作, 初步熟识长方形、 正方形的特点”；其次学段要求“结合实例明白线段、射线和直线”、 “结合生活情境明白平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”等,这些要求的共同特点是通过观看与操作熟识图形,直观地、 整体地熟识立体图形和平面名师归纳总结 图形；从对实物的观看与操作过程中来熟识图形
18、的特点和性质,既符合同学熟识事物的规律,第 6 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 也符合数学课程的目标要求；这样的过程有助于同学进展才能,初步体会数学的思想方法,进展积极的情感与态度；人们生活在三维的空间中,常见的楼房、积木、各种包装盒、皮球都给我们以长方体、正方体、圆柱体、球体等直观形象；基于这样的生活体会,同学可以从熟识立体图形开头,“通过实物和模型等辨认长方体、正方体、圆柱和球等几何体”； “辨认 ”是熟识的低级阶段,但与以往的体会有所不同,它要经受从实物到几何图形的抽象过程；从不同的角度观看长方体、正方体、圆柱体、球的表面,抽象
19、出长方形、正方形、圆等平面图形； 像这样从详细到抽象,从实物到图形,图形的关系,也符合同学的认知特点；从整体到局部的支配,揭示了立体图形与平面其次学段要求“结合实例明白线段、射线和直线”、 “结合生活情境明白平面上两条直线的平行和相交（包括垂直）关系”；射线和直线涉及到了无限的概念,与长方体、正方体、长方形、正方形等相比,在现实中没有“直线 ”的实物原型,这就需要同学进行抽象与想象；熟识线段要简洁一些,由于现实生活中有“线段”的实物原型；类似的, 同学懂得两条直线平行的位置关系也比较困难,可以利用两根铁轨作为实物原型来描述, 两根铁轨不相交以及它们之间的距离到处相等的事实,都揭示了平行线的本质
20、,但铁轨无法总是笔直的延长,所以在从实物到几何图形的抽象过程中仍需要想象,这有助于同学进展抽象才能和空间观念；其次、基于图形的想象和图形之间的转换,进展空间观念名师归纳总结 新教材内容编排上增加了“视图和投影、绽开与折叠”等内容；第 7 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 视图和投影,过去学校没有,现在学校数学几何和图形当中,标上有两个要求；增加了观看物体,这部分在课第一个学段的要求是依据详细事物照片或直观图,辨认从不同角度观看到的简洁物体的形 状,这是辨认；许多教材里面是这样,有的是拿个实物,有的是拿熊猫玩具等,让孩子们从 各种角度去看
21、,看的时候,孩子们就发觉,不同角度看到的熊猫不一样；其次个学段的要求能辨认从不同方向,方向是从前面、 侧面或者上面来观看,从不同方向看到物体的外形图, 这个外形图实际上就是一个平面图,影,也就是拍照；例如就是从水平方向对物体所做的一个投名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 拍照的结果, 虽然不是真正意义上的视图,但是它的的确现了,把三维空间向二维空间的一个转化的过程, 这是过去学校没有的,现在有了,的正式的视图和投影打下比较好的基础；这两个阶段的目标要达到,就为第三学段“ 折叠” 和“ 绽开” ,过去教材也有,长方体、
22、正方体、圆柱体的绽开图；但是这个做法现在要加强, 而且在进行折叠和绽开当中,操作过程,必需要通过儿童的想象,这个过程本有怎什么实际意义呢？这是让孩子们熟识到,立体图形的结构和绽开图之间的这种对应关系；么让他来熟识这个对应关系呢？例如,“ 正方体绽开图” 课例；通过课例可以看到,孩子可以折一折,通过操作找到结果；也可以不折,先想一想,我们提倡先想象,再动手验证,这样有利于进展同学的空间想象力,促进空间观念的形成；让同学操作的时候,它不是一个简洁的操作,第一得想象一下,可能会是什么样子,然后再通过操作,去验证自己的想法,而这个过程,同学参加这个想象,包括动手操作,包括把这个过程表现出来,是特别重要
23、的；让同学的这种想象也好,操作也好, 实际上进一步懂得,我们讲三维和两维之间的这样一种关系,就是你讲的对应关系,是经受了下面过程；“熟识长方体、正方体和圆柱的绽开图”,表达了三维图形与二维图形之间相互转换的详细要求,目标是在图形转换中引导同学观看、抽象、想象,进展空间观念；教学中应注意绽开与折叠的操作过程,通过想象实现图形之间的转换,让同学记忆绽开图的数量或类型的做法是不行取的；名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 熟识图形过程中大量的操作性活动,有利于同学积存数学活动体会,进展同学空间观念教学中应当予以充分的重视；话
24、题二、图形的测量渗透度量意识,把握测量方法 吴正宪（北京训练科学争论院）王彦伟（北京东城区老师研修中心）张 杰（北京东城区训练研修学院）一、如何以“ 图形的测量” 为载体,体会测量的意义,熟识度量单位及其实际意义,渗透 度量意识；（一）使同学体会建立统一度量单位的重要性 在教学长度单位的熟识时,常常有老师问为什么要讲统一单位？原先的教学中同学就是直接 熟识长度单位, 学习度量单位有什么价值？下面以人教版教材为例谈一谈：二年级同学第一次学习长度单位, 教材出现的例 1 ,并没有上来就熟识厘米,而是创设了一个活动的情境：让同学测量数学书封面,有的同学用两个硬币或者两个三角形,两个曲别针进行测量；这
25、个活动使同学感受用不同的测量工具,测量出不同的物体长度；然后例 熟识； 2 是开头学习厘米的标准在第一学段要求“ 结合生活实际,经受用不同方式测量物体长度的过程,体会建立统一度量单位的重要性；”这种要求对面积、体积的单位也同样适用；度量单位是度量的核心,度量单位的统一是使度量从个别的、特殊的测量活动成为一般化的、可以在更大范畴内应用和沟通的前提；因此, 在课程的实施过程中,应当为同学供应必要的机会, 勉励同学挑选不同的方法进行测量,并在相互沟通的过程中发觉发觉不同的方法,不同单位的挑选对测量结果的影响,进而体会建立统一度量单位的重要性；例如,海淀区中关村三小鲍海影老师执教的厘米的熟识一课,同学
26、在活动中充分体会了统一度量单位的重要性；鲍 老师创设了一个情境,先勉励同学采纳不同的方法去测量相同的长度,有的同学用手量,有的用自己的铅笔量,仍有可能用自己桌上的橡皮去量,由于采纳了不同的测量工具,所得的结论,当然是不同的了；比如说,有的同学测量的是三扎长,有的同学可能测量的是五根铅笔这么长,仍有的同学测量的是 15 块橡皮那么长；同学通过沟通发觉,当同学们你说你的结果,我说我的结果, 彼此间就无法沟通；通过这个活动让同学深刻地体会到度量单位需要统一,否就它会给生活带来不便；这时,同学有一个共同的心里需求,即要使测量结果让大家都接受,就必需要有一个公认的标准单位；同学产生了这种需求,然后再来学
27、习长度单位；名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 建立标准度量单位,有助于同学从学问本身的规律体系动身,对建立标准单位的意义有客观地熟识；教材这样编排,不仅突出了统一单位的重要性,也表达了一种数学的文化内涵,揭示了度量单位是怎么发生进展,又是怎么推动社会的前进的； 2022 版数学课程标准特殊强调,要结合生活实际,经受用不同方式,测量物体长度的过程, 让同学去体会建立统一度量单位的重要性；所以老师在教学实践中,应当坚持把让学生体会了统一度量单位的重要性这个环节设计好,让同学经受完整 “ 度量单位”的从形成到产生的过程
28、；由此看来,关于让同学体会建立统一的度量单位的重要性,不仅要在长度的测量中赐予关注,在面积和体积的测量中,仍要让同学去感受；（二）使同学懂得与把握度量单位的实际意义,对测量结果有很好的感悟标准 在第一学段要求 “ 在实践活动中, 体会并熟识长度单位千米、米、厘米, 知道分米、毫米,能进行简洁的单位换算,能恰当地挑选长度单位” ；进行单位之间的换算,不能靠机械地记忆换算公式和反复操练,而是要能够体会单位之间的实际关系,这就涉及到了对单位的懂得；长度（类似的,面积、体积）单位不仅仅是一个抽象的概念,对它的体会和熟识应当通过实践活动,体验它的实际意义；例如,生活中哪些物体的长度大约为 1 米 , 1
29、 厘米 的长度可以用什么熟识的物体来估量,哪些物体的重量大约是 1 千克,哪些物体的体积大约是 1 立方米等；对单位的实际意义的懂得,仍表达在对测量结果、对量的大小或关系的感悟；关于对度量单位的熟识,要结合实际例子体会度量单位的大小,比如,一个成人的身高为 175 （ ）,应当挑选 cm 而不是 mm 作为单位,这是对熟识长度单位地深化懂得；再如“ 北京到南京的铁路长约 1000 （ ）” ,引导同学学会挑选合适的度量单位；要用实物感知度量单位的大小,如“一米约相当于（）根铅笔长” ,强化同学对度量单位地感知；仍应关注不同维度度量单位之间的联系,例如,懂得 1 平方分米 =100 平方厘米,可
30、以借助图形 （ 10 10 的方格,每个方格为 1 平方厘米）, 也可以借助等式 1 平方分米=1 分米 1 分米 = 10 厘米 10 厘米 =100 平方厘米,防止同学死记硬背单位之间的换算关系；总之,在详细的问题情境中恰当地挑选度量单位、工具和方法进行测量测量是从人类的生产、生活实际需要中产生的,学习测量的目的是为了实际的应用；在明的确际测量的对象后,选择恰当的度量单位、测量工具及方法关系到测量能否便利、可操作地进行、 影响着测量结果的精确程度； 比如, 用直尺测量黑板的长度是不错的挑选,用它测量一栋大楼的长度就不是上策了 同学只有在亲身实践中才能积存挑选度量单位、测量工具和详细方法的体
31、会；名师归纳总结 二、 如何帮忙同学在图形测量过程中感悟数学思想,明白把握测量的基本方法, 积存数第 11 页,共 18 页学活动体会,培育同学的空间观念；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 关于规章图形的度量公式,标准要求探究并把握长方形、正方形的周长公式；探究并 把握长方形、正方形、三角形、平行四边形、梯形、圆的面积公式,并能解决简洁的实际问题；探究并把握长方体、正方体、圆柱的体积和表面积以及圆锥体积的运算方法,并能解决简洁的实际问题；标准仍要求探究不规章图形的周长、面积、体积；例如,测量简洁图形的周长、会用方 格纸估量不规章图形的面积、体验某些实物
32、（如土豆等）体积的测量方法等,通过这样的测 量,同学不仅能进一步加深对度量意义的懂得,而且能在运用所学学问解决问题的过程中,体会学科之间的联系,感悟数学思想（如微积分的思想）；同时, 课程内容要反映数学的特点,要符合同学的认知规律；它不仅包括数学的结果,也包括数学结果的形成过程和蕴涵的数学思想方法；数学思想蕴涵在数学学问形成、进展和应用的过程中,是基础学问的灵魂,是数学学问和方法在更高层次上的抽象与概括；那么,在教学图形测量这部分内容时,如何渗透数学思想呢？下面结合一些详细案例来阐述；1. 以图形测量公式推导为载体,让同学在操作、实践中感悟“ 转化” 、“ 极限” 、“ 函 数” 和“ 积分”
33、 的数学思想；在直边图形公式的推导过程中,老师常常让同学利用学具进行操作活动,将新图形转化成学过的已知图形, 从而找到新旧两个图形之间的对应关系,妙地渗透了转化的数学思想方法；推导出运算公式, 在这个过程中巧圆是第一、二学段学习的平面图形中唯独的一个曲线图形,是同学第一次明白 这个无理数 , 是同学第一次正式接触并运用极限的数学思想来解决曲线的长度和圆形的面积等问题,因此对圆的周长以及面积的探究具有肯定的挑战性,这个过程的学习有助于同学提高分析问题、解决问题的才能,获得基本的数学活动体会,体会”转化”、“ 极限” 和“ 函数” 的思想；案例 1 ：圆的周长公式的推导名师归纳总结 - - - -
34、 - - -第 12 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 化曲为直 - 转化思想我们只需得到圆的周长和直径有什么关系就可以了,系呢？那么我们又该怎样争论周长与直径的关老师给每组同学预备了不同的实物：有圆纸片、纸杯或硬币；拿出来,就你们小组的试验材料,谁来说说怎样得到我们所需要的数据（特殊是周长的数 据）？（争论）为什么要绕线？为什么要滚动？（化曲为直）活动二：在圆的周长教学中,向同学介绍“割圆术”,让同学经受正多边形到圆的形成过程,引导同学观看体验,随着边数越来越多,正多边形越来越像圆,感受极限思想；然后又化曲为直：割之补偿,所失弥少,割之又割,以至于不行割,就与
35、圆合体,而无所 失矣；名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 活动三：测量查找周长与直径的关系 - 函数思想在测量圆的周长和直径填写数据的过程中,感受直径变,它们的倍数关系不变,从而让同学体会到函数思想；圆的大小变, 周长也随之变化,而通过课件形象直观的演示周长和直径的关系,体会函数思想；案例 2 ：圆的面积公式的推导圆面积的探究活动活动设计 : 同学利用手中学具,独立探究,小组合作,探究圆面积的运算方法；核心问题：给同学供应几张圆形的纸片,小组合作探究,如何运算圆的面积？这一活动的设计, 给了同学充分的探究空间；通过
36、对同学情形的把握,以及同学所经受的前面一系列熟识和周长的教学活动,可以充分信任同学有自主探究的才能；通过 圆面积的探究活动,使同学在亲身经受中体会转化的争论方法和极限的重要数学思想；名师归纳总结 圆转化成学过的图形 - 转化思想 课件演示 第 14 页,共 18 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 通过以上案例地分析,可以看出,数学思想蕴涵在数学学问形成、进展和应用的过程中,是 基础学问的灵魂,是数学学问和方法在更高层次上的抽象与概括,如抽象、分类、归纳、演 绎、模型等；同学在积极参加教学活动的过程中,通过独立摸索、合作沟通,逐步感悟数学思想；同时在度
37、量图形的过程中组织同学进行大量的操作性活动,学活动体会；有利于同学积存基本的数把握规章图形的周长、面积和体积公式,仍旧是图形测量内容的重要方面,以往我们的教学将主要精力放在套用公式进行运算上,以至于将这部分内容简洁地处理为运算问题；实际上,对于规章图形周长、面积和体积公式的探究和应用,不仅有利于同学敏捷运用多种策略和方法解决实际问题, 并且对于同学熟识图形的特点和图形间的相互关系,进展空间观念也是大有好处的；同学在操作活动中,经受探究从不同角度寻求分析问题和解决问题的方法,在体验解决问题方法多样性的过程中创新意识也得到进展；三、如何在图形测量的过程中,培育同学的估测意识和才能,体验解决问题方法
38、的多样性；估测或估量是标准突出强调的内容；估测或估量,既是一种意识的表达,也是一种才能的表现；不仅具有现实的意义,而且也有助于同学感受度量单位的大小；估测与精确测量之间有着亲密的关系；生活中精确测量的结果有时需要用估量的方法来感受,对事物进行估量时就需要对度量单位很好的熟识与把握、对图形度量学问的把握,以及需要具有肯定的空间观念；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 估测的意识和才能是在实践中进展起来的；标准要求“ 能估测一些物体的长度,并进行测量” ,并给出详细的实践任务“ 测量并运算一张给定正方形纸的面积,利用结
39、果估量课桌面的面积；测量步长,利用步长估量教室的面积” ；结合起来,有利于同学体会估测的作用以及估测的方法；这样,把测量与面积运算有机地标准仍要求探究不规章图形的周长、面积、体积；例如,测量简洁图形的周长、会用方格纸估量不规章图形的面积、体验某些实物（如土豆等）体积的测量方法等；教材在同学积存了足够的实际测量体会后,为同学供应了先估测再实测的练习,让同学比较估测与实际测量所得结果的差别,从而修正自己的估测策略；案例 : 测量不规章图形的面积图中每个小方格为 1 个面积单位,试估量曲线所围成的面积；如图一 : 老师们对此题目并不生疏,解决这个问题通常的做法是数方格；先数一数有多少个整格,再数一数
40、有几个半格, 把不满整格的进行整合 , 最终累加起来 , 用此方法估量不规章图形的面积；这是我们常用的方法；但是这种估算不规章图形面积的方法并没能表达估算的价值,此题仍可以挖掘更丰富、更深刻的内涵；充分表达该题的数学训练价值；教学时老师可以帮忙同学事先做好规划,勉励同学运用不同的方法估量图形的面积；例如,教学中老师可以启示同学第一观看图形,再进行摸索 “ 你认为曲线所围成的面积结果可能会名师归纳总结 在那个范畴之间呢？你能用已有的体会来解决这个问题吗？”老师可以引导同学试一试；第 16 页,共 18 页第一挑选好用来估量的“ 单位”即：以图形中的一个小方格为一个单位；再找出曲线围成图形面积的上
41、界和下界；同学可以这样操作,先数出曲线围成图形内包含的完整小方格数,用彩色笔将它圈出来,估量出这个曲线围成图形面积的下界（有 75 个这样的单位） ；然后再数出曲线围成图形边缘接触到的全部的小方格数,也用彩色笔将它圈出来,估量出这个曲线围成图形面积的上界（有 113 个这样的单位）；进一步引导同学发觉,第一种方法估量的- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 比实际面积小,其次种方法估量的比实际面积大,实际的面积是在这两个数之间；由此确定曲线围成图形面积可能的取值范畴；如图二：在此基础上老师可以勉励引导同学用自己的方法进行估量,程,体会估算的意义和方法；通过记
42、录、 运算、 比较的探究过老师连续追问“ 那么仍有什么方法能使估算的结果更接近实际面积的吗？试一试！”对学有余力的同学无疑是提出了更富有挑战性的问题；引导同学将全部的方格等分成更小的方格,连续利用上面的体会,探究出更接近实际面积的估量值,同时奇妙地渗透极限思想；如图三 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 18 页精选学习资料 - - - - - - - - - 以往我们在教授 “ 数方格” 时, 没能充分表达估算的学习价值,只是把估算当成一个操作技能数方格（学问点）去教了,为了教估算而估算；上面“ 查找区间” 的设计就注意了学生估算意识和方法的培育,特殊是挑选合适的估量“ 单位” 是引导同学进行有效估算的关键,引导同学体验逐步靠近的极限思想；教学过程中老师要注意帮 助同学养成事先做好规划的习惯, 启示同学运用不同的方法估量图形的面积；通过对 上界、下界的确定,帮忙同学寻求取值范畴,找到合适的区间；这个上界、下界的确定,对同学体验估算是很有意义的；这是真正意义上估算价值的表达；特殊是通过老师引导同学将 方格等分成更小的方格,使估计值更 靠近精确值,从中渗透“ 极限” 的数学思想；这对同学的数学学习是很有意义的；最终回忆