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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 1.3 函数的基本性质【入门向导】数学与科技依据人类消耗的能源结构比例图的图象,简要说明近 150 年来人类消耗的能源结构变化情形,并对将来 100 年能源结构的变化趋势作出猜测由图象可以看出近150 年来人类消耗木材比例始终削减； 消耗的煤炭比例先逐步增多, 到 1940 年左右达到最大值, 以后又逐步变少； 从 1880 年左右开头消 耗石油,到 1990 年左右所占比例达到最大值,以后又逐步削减；自然气从 1900 年左右开头应用于能源,所占比例始终在逐步增大,核能从 1980 年左右开头被 应用,所占比例逐步增大太阳能呢？从图象可以看出
2、 100 年内,木材一般不会再作为能源消耗,煤炭、石油所占 比例在逐步变小,自然气、核能所占比例在逐步增大,新开发的能源,水化物和 太阳能所占比例也逐步增大解读函数的单调性一、函数的单调性是函数在某个区间上的性质1这个区间可以是整个定义域如 yx 在整个定义域 , 上是单调递增的, yx 在整个定义域 , 上是单调递减的,此时单调性是 函数的一个整体性质2这个区间也可以是定义域的一部分,也就是定义域的一个真子集,如 yx 22x1 在整个定义域 , 上不具有单调性, 但是在 ,1 上是名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - -
3、- 减函数,在1 , 上是增函数, 这时增减性即单调性是函数的一个局部性质1,x为有理数,3有的函数无单调性 如函数y它的定义域是 ,0,x为无理数, ,但无单调性可言,又如 yx 21,x0,1,2,它的定义域不是区间,也就不能说它在定义域上具有单调性二、单调性的证明与判定函数单调性的证明与判定的主要方法是定义法明主要步骤有如下五步：严格依据单调性定义进行证1 取值：定义域中 x1,x2的选取,选取 x1,x2时必需留意如下三点：x1,x2 取值的任意性,即“ 任意取x1,x2” 中,“ 任意” 二字不能省略或丢掉,更不行随便取两个特别值替代 x1,x2；x1与 x2有大小,一般规定 x1x
4、2；x1与 x2同属一个单调区间2 作差：指求 f x2 f x1 3 变形：这一步连同下一步“ 定号” 是单调性证明与判定的核心内容,即 f x2 f x1 的正负 将中的差式 f x2 f x1 进一步化简变形,变到利于判定 为止常用的变形技巧有：通分、因式分解、有理化、配方等一般变形结果是将和差变形为积商,这样才便于定号4 定号：依据变形结果,确定f x2 f x1 的符号5 判定：依据 x1 与 x2 的大小关系及 f x1 与 f x2 的大小关系,结合单调性定义得出结论例 1 证明：函数 yx 3 xR是增函数证明 设 x1,x2是 R上的任意两个实数,且 x1x2,就3 3 2
5、2f x1 f x2 x 1x 2 x1x2 x 1x1x2x 2 x1x2 x11 2x2 23 4x 22 x1x2, x1x20. f x1 f x20,即 f x1f x2 函数 yx 3 xR是增函数三、单调区间的求解1本节单调区间的求解主要是观看法得单调区间再进行证明,或者是图象法求出单调区间, 对于利用定义探究函数单调区间问题,由于难度大, 要求不行过高,适当明白即可 单调区间的求解问题随着进一步学习,我们会找到更简单快捷的方法导数法 2书写单调区间时,留意区间端点的写法对于某一个点而言, 由于它的函数值是一个确定的常数,无单调性可言, 因此在写单调区间时, 可以包括端点, 也可
6、以不包括端点, 但对于某些不在定义域内的区间端点,书写时就必需去掉端点,因此,书写单调区间时,不妨商定“ 能闭就闭,须开就开” 函数奇偶性学法指导一、学习要点1要留意精确懂得奇函数和偶函数的定义,必需把握好两个问题：1 定义域在数轴上关于原点对称,方可争论函数f x 的奇偶性2 f x f x 或 f x f x 是定义域上的恒等式2奇、偶函数的定义是判定奇偶性的主要依据为了便于判定函数的奇偶性,有时需要先将函数进行化简或应用定义的等价形式,即：f x f xf x. f x f x 0. f x 1 f x 0 3奇函数的图象关于原点成中心对称图形,偶函数的图象关于 y 轴成轴对称图形,反之
7、亦成立 因此也可以利用函数图象的对称性去判定函数的奇偶性和名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 简化一些函数图象的画法4按奇偶性分类,函数可分为四类：奇函数、偶函数、既奇又偶函数、非 奇非偶函数5在公共定义域内：1 奇函数与奇函数的和 差 仍是奇函数；偶函数与偶函数的和 差 仍是偶函数；非零的奇函数与偶函数的和 差 是非奇非偶函数2 奇函数与奇函数的积 商 是偶函数；偶函数与偶函数的积 商 是偶函数；奇函数与偶函数的积 商 是奇函数以上两条同学们可以自行验证6设 f x 是定义域关于原点对称的一个函数,就 偶函数, F
8、2 x f x f x 为奇函数F1 x f x f x 为7奇函数在其定义域内关于原点对称的区间上单调性相同,偶函数在其定 义域内关于原点对称的区间上单调性相反二、典型例题选析例 2 当 a,b,c 满意什么条件时,函数f x ax 2bxc 是： 1 奇函数；2 偶函数； 3 既奇又偶函数； 4 非奇非偶函数解 1 如是奇函数,应有 f x f x ,于是有 ax 2bxc ax 2bxc,即 ax 2c0 对定义域内全部实数都成立,所以只有 ac0. 2 如是偶函数,就有f x f x ,于是有ax 2bxcax 2bxc,即 2bx0 对定义域内全部实数都成立,所以只有 b0. 3 如
9、既是奇函数又是偶函数,就由 1 和2 知 abc0. 4 如是非奇非偶函数,就f x f x ,f x f x ,名师归纳总结 即ax 2bxc ax 2bxc,第 4 页,共 23 页ax 2bxc ax2bxc- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - .ax 2c 0,.a 0或c 0,bx 0b 0.所以 a 0 且 b 0 或 c 0 且 b 0 时,f x 为非奇非偶函数例 3 已知 f x ax 5bx 3cx8,且 f 2 10,求 f 2 的值3cx,解 令 g x f x 8ax 5bx 明显 g x 是奇函数,即 g 2 g2 又 g 2
10、f 2 818,所以 f 2 g2 8 26. 判定函数奇偶性的常见错误一、忽视定义域出错例 4 判定 f x x 4x 31x 的奇偶性x3,错解由于 f x x 4x 31xx31x1x明显f x f x ,故f x 为奇函数剖析 判定函数奇偶性, 第一要看函数的定义域, 如定义域是关于原点的对称区间,就函数可能具有奇偶性；否就,函数肯定不具有奇偶性其次,要看 f x 与 f x 之间的关系正解函数的定义域为 x| x 1 明显,它的定义域不关于原点对称,于是该函数为非奇非偶函数二、忽视对参数的争论例 5 判定函数 f x x2| xa| 1 aR的奇偶性错解明显函数定义域为R. 由于 f
11、 a a 21,f a a 22| a| 1,所以 f a f a ,且 f a f a ,所以f x 既不是奇函数,也不是偶函数名师归纳总结 剖析此解法错在没有对参数进行争论,未考虑到a0 这种特别情形,以第 5 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 致解题出错正解 当 a0 时,函数 f x x 2| x| 1 x 2| x| 1f x ,此时 f x 为偶函数；当 a 0 时,f a a 21,f a a 22| a| 1,f a f a ,f a f a ,此时 f x 既不是奇函数,也不是偶函数三、忽视特别函数 f x 0 的存在
12、例 6 判定函数 f x 1x 2x 21的奇偶性错解 定义域为 1,1 ,关于原点对称又 f x 1 x 2x 21 1x 2x 21f x ,所以函数 f x 是偶函数剖析上述解法忽视了定义域关于原点对称的函数f x 0,既是奇函数又是偶函数正解 函数定义域为 1,1 ,此时 f x 0,因而 f x 既是奇函数又是偶函数四、不明分段函数奇偶性概念致错x 22x3,x0,错解 当 x0 时, x0,f x x 22 x 3 x 22x3 f x 当 x0,f x x 22 x 3 x 22x3 f x 所以 f x 是奇函数名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 23 页精
13、选学习资料 - - - - - - - - - 剖析尽管对于定义域内的每一个不为零的x,都有 f x f x 成立,但当 x0 时, f 0 3 f 0 ,所以函数 f x 既不是奇函数也不是偶函数 . 断函数单调性的方法一、用定义证明函数的单调性例 1 证明：函数 f x x在定义域上是减函数证明f x x的定义域为 0 , ,设 0x10,且 f x2 f x1 x2 x1 x1x2x1x2x1x2x1x2,x2x1x2x1x1x20,f x2 f x10,即 f x2f x1 f x x在定义域 0 , 上是减函数点评 1 有的同学认为由 0x1x2,得 0x1 x2多么直接呢,其实这种
14、证明方法不正确, 由于我们没有这样的性质作依据其次,这种证明利用了函数yx的单调性,而 yx的单调性,我们没有证明,因此不能直接使用2 在此题的证明中,我们使用了“ 分子有理化” 这种证明技巧,在今后的学习中,我们仍会常常遇到, 因此要留意观看这类题目的结构特点,在今后的学习中学会使用这种方法例 2 已知定义在 0 , 上的函数 f x 对任意 x,y0 , ,恒有 f xyf x f y ,且当 0x0,判定 f x 在0 , 上的单调性名师归纳总结 分析抽象函数单调性的判定要紧扣定义,并且要留意对原题条件的应用第 7 页,共 23 页解设 x1,x20 , 且 x1x2,- - - - -
15、 - -精选学习资料 - - - - - - - - - 就 f x1 f x2 f x1 x2x2 f x2 f x1 x2 f x2 f x2 f x1 x2 x1,x20 , 且 x1x2,x10 x20. f x1f x2 f x 在0 , 上是减函数二、利用已知函数的单调性判定较复杂函数的单调性例 3 求函数 f x x x 2a a0的单调区间分析 此函数可化为 f x xx,可依据 y1 x的单调性判定解 f x x x 2axa x. aa0,yx的单调递减区间是 , 0 和0 , ,yx 在 R上单调递减,f x x x 2a a0的单调区间是 , 0 和0 , 点评 运用已
16、知的结论,直接得到函数的单调性如一次函数、二次函数、反比例函数的单调性均可直接说出有好处：明白以下结论, 对于直接判定函数的单调性函数 yf x 与函数 yf x 在相对应的区间上的单调性相反当 f x 恒为正或恒为负时, 函数 yf1与 yf x 在相对应的区间上x的单调性相反在公共区间内,增函数增函数增函数,增函数减函数增函数等三、图象法例 4 求函数 yx22| x| 3 的单调区间名师归纳总结 分析“ 脱去” 肯定值符号,画出函数图象,由图象观看得出第 8 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 解当x0 时,yx22x3 x124；
17、当 x0 时,yx 22x3 x1 24. 画出图象如下列图：故在 , 1 和0,1 上,函数是增函数；在 1,0 和1 , 上,函数是减函数函数单调性的应用一、比较大小例 5 如函数 f x x2mxn,对任意实数 x 都有 f 2 x f 2 x 成立,试比较 f 1 ,f 2 ,f 4 的大小解 依题意可知 f x 的对称轴为 x2,f 1 f 5 f x 在2 , 上是增函数,f 2 f 4 f 5 ,即 f 2 f 4 f 1 1 利用单调性可以比较函数值的大小,即增函数中自变量大函数值 点评也大,减函数中自变量小函数值反而变大；2 利用函数单调性比较大小应留意将自变量放在同一单调区
18、间二、解不等式 例 6 已知 yf x 在定义域 1,1 上是增函数,且 f t 1f 1 2t ,求 实数 t 的取值范畴名师归纳总结 解依题意可得1t 11,解得 0t 2 3. 第 9 页,共 23 页112t 1,t 10,函数 f x x a 的取值范畴3ax 是区间 1 , 上的单调函数,求实数解 任取 x1,x21 , ,且 x10. yf x2 f x1 x2ax2 x1ax1 2a 恒为负值 x2x1 x 1x1x2x2a 1x13. 明显不存在常数 a,使 x1x1x2x又 f x 在1 , 上是单调函数,必有一个常数 a,使 x2 即 x 1x1x2x2 2a. 2 21
19、x1x2x 2a 恒为正数,2 当 x1,x21 , 时, x 1x1x2x2 23,a3. 此时, xx2x10, y0,即函数f x 在1 , 上是增函数,a 的取值范畴是 0,3 四、利用函数单调性求函数的最值例 8 已知函数 f x x22xa x,x1 , 1 当 a4 时,求 f x 的最小值；2 当 a1 2时,求 f x 的最小值；3 如 a 为正常数,求 f x 的最小值名师归纳总结 解1 当 a4 时,f x x4 x2,易知,f x 在1,2 上是减函数, 在2 ,第 10 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 上是增
20、函数,f x minf 2 6. 2 当a1 2时, f x x 1 2x2. 易知, f x 在1 , 上为增函数f x minf 1 7 2. a 3 函数 f x xx2 在0 ,a 上是减函数,在 a, 上是增函数如 a1,即 a1 时, f x 在区间 1 , 上先减后增,f x minf a 2 a2. 如 a1,即 0c. 求证：a 1ab c1b 1c. x1 1x1x2证明设 f x x 1x x0,设 0x1x2,就 f x1 f x2 1x2x1x20. 1x11x2f x1c, f abf c ,名师归纳总结 即ab c1ab 1c. b a1b 1abb第 11 页,
21、共 23 页又 f a f b a 1a1ab- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - ab 1ab,a b c1a1b 1c. 点评 此题通过构造函数,利用函数单调性证明不等式判定函数奇偶性的方法函数奇偶性是函数的一个重要性质,在各种考试中多次显现, 其表现形式多种多样,求解方法也不单一, 不同的形式对应不同的解决策略现介绍三种常见 的方法,供同学们学习时参考一、定义法 第一求出函数的定义域,确定其定义域是否关于原点对称,如对称再利用 f x f x 符合为偶函数 或 f x f x 符合为奇函数 ,否就既不是 奇函数也不是偶函数例 10 判定函数 f x
22、2 4x| x3| 3的奇偶性解要使函数有意义,就4x 20,| x3| 3 0,解得 2x2 且 x 0,此函数的定义域 2,0 0,2 关于原点对称,且满意 x30,2 2 4x 4x 就函数 f x | x3| 3x,2 2 4 x 4x f x xxf x ,2 4x 故函数 f x | x3| 3是奇函数点评 判定函数的奇偶性时,第一肯定要观看函数定义域是否关于原点对 称,这是判定奇偶性的前提条件二、等价转化法名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 利用函数奇偶性定义的等价形式进行处理,决,方法比较简便三、图
23、象法往往借助f x f x 0 来解奇函数的图象关于原点对称,偶函数的图象关于 y 轴对称例 11 判定函数 f x | x2| | x2| 的奇偶性解 f x | x2| | x2| 2x,x2,4,2x2,2x,x2,其图象 如图 关于 y 轴对称,该函数为偶函数点评 利用图象法 数形结合法 解题,形象直观、 清楚可见 同时数形结合思想始终都是高考考查的重点,同学们要留意领悟一道课本习题的拓展x1x2 f x1 f x2证明： 1 如 f x axb,就 f 2 2；2 如 f x x 2axb,就 f x1x2 2 f x12 f x2. 探究 x1x22 为自变量 x1、x2 中点,x
24、1x2 2 对应的函数值 f x1x2 2 为“ 中点的纵坐标” 而1 2 f x1 f x2 为 x1、x2 对应的函数值所对应的点的中点,即“ 纵坐标的中点” f x axb 的图象为直线,所以“ 中点的纵坐标” 等于“ 纵坐标的中点” ,即有 f x1x2 2 fx12fx2. 而 f x x2axb 的图象为开口向上的抛物线,图象向下凹进,由图象可得到“ 中点的纵坐标” 不大于“ 纵坐名师归纳总结 标的中点” ,即有 f x1x2 2 fx12fx2. 第 13 页,共 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 拓展在给定区间内,如函数f x
25、的图象向上凸出,就函数f x 在该区间上为凸函数,结合图象易得到f x1x2 2 fx12fx2；在给定区间内,如函数 f x 的图象向下凹进,就函数f x 在该区间上为凹函数,结合图象易得到f x1x2 2 fx12fx2. 这一性质,可以称为函数的凹凸性活用函数的基本性质把握函数与方程的互化,构造函数求值某些求值问题, 如能依据问题的结构特点, 留意揭示内在联系, 挖掘隐含因素,用运动、变化、相互联系的函数观点来分析、处理变量之间的联系,利用函数的单调性,借助函数的奇偶性把问题解决例 12 已知实数 x,y 满意 xx21 yy21 1,求 xy 的值解由已知条件可得xx21yy21. 构
26、造函数 f t t t21. 明显 f t t t21是 R上递增函数由于 f x f y ,所以 xy,即 xy0. 例 13 已知 x2y 5x 52x2y0,求 xy 的值解 已知方程化为 x2y 5 x2y x 5x 由式的结构,构造函数 f t t 5t . 明显, f t 是奇函数,且在 R上单调递增由于式可写成f x2y f x f x ,所以有 x2y x,即 xy0. 三种数学思想在函数奇偶性中的应用一、数形结合思想例 14 设奇函数 f x 的定义域为 5,5 如当 x0,5 时,f x 的图象如名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页,共 23 页精选学习资料
27、 - - - - - - - - - 图所示,就不等式 f x0 的解集为 _解析留意到奇函数的图象关于原点成中心对称,用对称的思想方法画全函数 f x 在 5,5 上的图象 如下列图 ,数形结合,得 2x0 或 2x5 答案 2,0 2,5 二、分类争论思想f x0 的解集为 x| a例 15 已知函数 f x x 2x x 0,aR,试判定 f x 的奇偶性解 当 a0 时, f x x 2,对任意 x , 0 0 , ,f x x2x2f x ,f x 为偶函数当 a 0 时,f x x2a x a 0,x 0 ,取 x 1,得 f 1 f 1 2 0,f 1 f 1 2a 0,f 1
28、f 1 ,f 1 f 1 ,函数 f x 既不是奇函数,也不是偶函数三、方程思想名师归纳总结 例 16 已知 f x 是定义在 R上的奇函数,且 f x xxm 2nx1,试求 f x 第 15 页,共 23 页分析利用奇函数的性质、定义求出参数m、n 的值是关键解由 f 0 0 知 m0. - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 由f x 是奇函数知f x f x ,即 x0 x 2nx1x 2nx1,x0x 2nx1x 2nx1,xn0. f x x 21. 二次函数在某区间上的最值思维规律解读一、定函数在定区间上的最值例 17 求函数f x x 22x
29、2 在区间 1,4 上的最大值和最小值解f x x121,其对称轴为 x1. 由于函数对称轴 x1 在区间 1,4 内,又函数开口向上,所以当x1 时,f x 取到最小值为 1. 又 f 1 5,f 4 10,所以在 x4 时, f x 取到最大值为 10. 二、定函数在动区间上的最值例 18 函数 f x x 的表达式22x2 在区间 t ,t 1 上的最小值为 g t ,求 g t 解f x x121,其对称轴为 x1. 当 t 11 时,即 t 1 时,区间 t ,t 1 在对称轴的右侧, f x 在此区间上是增函数名师归纳总结 所以此时 g t f t t22t 2. 第 16 页,共
30、 23 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - t21,t 1.三、动函数在定区间上的最值例 19 函数 f x x 表达式2ax3 在区间 2,2 上的最大值为 g a ,求 g a 的2a a解 f x x2 234,a其对称轴为 x2. 当对称轴 xa 2在区间 2,2 的右侧,即a 22,a 4 时,f x 在此区间上是减函数所以此时 g a f 2 72a. 当对称轴 xa 2在区间 2,2 内时,假如 2a 20,即 0a4 时, x2 距离对称轴较远,所以此时 f x 在 x2 时取到最大值,为 g a f 2 72a；假如 0a 22,即
31、4a0,72a,a0.四、动函数在动区间上的最值名师归纳总结 - - - - - - -第 17 页,共 23 页精选学习资料 - - - - - - - - - 例 20 设a为实数,函数f x x 解 当 xa 时,2| xa| 1 xR,求 f x 的最小值函数 f x x 2xa1 x1 2 2a3 4,如 a1 2,就函数 f x 在 , a 上单调递减,从而 f x 在 , a 上的最小值为 f a a 21；如 a1 2,就 f x 在 , a 上的最小值为f 1 23 4a. 当 xa 时,f x x 2xa1 x1 2 2a3 4,如 a1 2,就函数 f x 在 a, 上的最小值为f 1 23 4a；如 a1 2,就函数 f x 在 a, 上单调递增,从而函数 f x 在 a, 上的最小值为 f a a 21. 综上,当 a1 2时,函数 f x 的最小值为 3 4a；当1 2a1 2时,函数 f x 的最小值为 a 21；当