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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载全国高中数学竞赛专题 - 不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归,而变形的依据是不等式的性质,不等式的性质分类排列如下：不等式的性质 ：abab0 ,abab0.这是不等式的定义,也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）abba（对称性）. （2）abacbc（加法保序性）（3）ab ,c0acbc ;ab,c0acbc .（4）ab0anbn,nanbnN*.对两个以上不等式进行运算的性质. （1）ab ,bcac（传递性） .这是放缩法的依据（2）ab ,cdacbd.（3）
2、ab ,cdacbd.（4）ab0 ,dc0 ,ab,adbc .cd含肯定值不等式的性质：2 2（1）| x | a a 0 x a a x a .2 2（2）| x | a a 0 x a x a 或 x a .（3）| a | | b | | a b | | a | | b |（三角不等式）. （4）| a 1 a 2 a n | | a 1 | | a 2 | | a n .|证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等 .当然在证题过程中,常可“ 由因导果” 或“ 执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法 .综合法和分析法是解决一切数
3、学问题的常用策略,分析问题时,我们往往用分析法,而整理结果时多用综合法,这两者并非证明不等式的特有方法,只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外,详细地证明一个不等式时,可能交替使用多种方法.因此,要娴熟把握不等式的证明技巧,必需从学习这些基本的常用方法开头；1比较法（ 比较法可分为差值比较法和商值比较法；）（1）差值比较法（原理：A B0AB）第 1 页,共 11 页例 1 设 a, b, cR+,名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 试证：对任意实数x, y, z, 有 x2+y2+z22优秀学习资料欢迎下载acbxybacyzcbax
4、z.abccaab bc证明：左边 -右边 = x2+y2+z2 2abxy2bccayz2 azcaccxzbbz2 bc ca ab cb bbbc2 x2abxycaay2cay22abcayz bc cab caaabz 22acac xzbccx2z2aab20.b bcaay2cbbcxyabbccxab所以左边 右边,不等式成立；（2）商值比较法（原理：如1,且 B0,就 AB；）例 2 如 axlog 1-x1-x=1 解：由于 1-x1,所以 log a1-x0, |loga 1x|=|log1-x1+x|=-log 1-x 1+x=log 1-x|loga1x|（由于 01
5、-x 2|log a1-x|. 1-x0, 01-x1 ） . 2分析法（ 即从欲证不等式动身,层层推出访之成立的充分条件,直到已知为止,表达方式为：要证 ,只需证 ；）.,例 3 已知 a, b, cR+,求证： a+b+c-33 abc a+b2 ab证明：要证a+b+c3 3caba+b2 ab.3 3abc只需证c2ab33abc,由于c2abcabab3 3cab所以原不等式成立；名师归纳总结 例 4 已知实数 a, b, c 满意 0abc1 ,求证：2c2ca1bb 11a.第 2 页,共 11 页 1 1证明：由于00 ,求证： abca+b -cb+c-ac+a-b；0, b
6、证明: a+b -c+b+c-a=2b 0, b+c-a+c+a-b=2c0,c+a-b+a+b-c=2aa+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正 .ca1 当 a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时, 原不等式明显成立 . 2 a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时 , 就abcbcaabc2b同理abcacba,bcaacbc,三式相乘得 abca+b -cb+c-ac+a-b 例 6 已知 ABC的外接圆半径 R=1,S ABC=,a,b,c是 ABC的三边长,令 S=,t=；求证： tS；解：由三角形面积公式:1 2bcsinA . 正弦定理： a/
7、sinA=2R. 可得 abc=1. a +b +c =2s.所以 2t=2bc+2ac+2ab. 由由于 a.b.c均大于 0；所以 2t=2abc +2bac +2cab =2aabc +2babc +2cabc =2所以 ts ；4反证法例 7 设实数 a0, a1, ,an 满意 a0=an=0,且 a0-2a1+a20, a1-2a2+a30, , an-2-2an-1+an0,求证 ak0k=1, 2, , n-1. 证明：假设 akk=1, 2, ,n-1 中至少有一个正数, 不妨设 ar 是 a1, a2, , an-1 中第一个显现的正数, 就 a10, a20, , ar-
8、10, ar0. 于是 ar-ar-10,依题设 ak+1-akak-ak-1k=1, 2, , n-1；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载所以从 k=r 起有 an-ak-1an-1-an-2 ar-ar-10. 由于 anak-1 ar+1ar 0 与 an=0 冲突；故命题获证；5数学归纳法例 8 对任意正整数 n3,求证： n n+1n+1 n. 证明： 1）当 n=3 时,由于 34=8164=4 3,所以命题成立；k+1,即k1k21. 2）设 n=k 时有 kk+1k+1k,当
9、n=k+1 时,只需证 k+1 k+2k+2k2 k1由于 k k k1 1k 1,所以只需证 k k 12 kk 21 k k k1 1 k,即证 k+1 2k+2kk+2 k+1,只需证 k+1 2kk+2 ,即证 k 2+2k+1k所以由数学归纳法,命题成立；6.分类争论法例 9 已知 x, y, zR+,求证：x2y2y2z2z2x2.0yzzxxy证明：不妨设xy, xz. 2+2k. 明显成立；） xyz,就x1yxx1zy1z, x2y2z 2,由排序原理可得yx2xyxx2y,原不等式成立；y2z22z2yzyzzzx） xzy,就x1zzx1y21z, x2z2y 2,由排序
10、原理可得yx2yxx2y,原不等式成立；22yz2yzzxxyyzzx7.放缩法（ 即要证 AB ,可证 AC 1, C1C2, ,Cn-1Cn, CnBn N +.）例 10 已知 a, b, c 是 ABC 的三条边长, m0,求证：aam1bbmcm.cmccmc证明：a ba m b m a（由于 a+bc）,得证；amabmaabbmamm1bbbm8.引入参变量法名师归纳总结 例 11 已知 x, y R+, l, a, b 为待定正数,求fx, y=a3k3 b的最小值；a3+b3+3a2b+3ab2=alb3,第 4 页,共 11 页x2y2解：设yk,就x1lk,y1klk,
11、 fx,y= 1l2a33 bx21k21a3b3a3k3 akb313 b1b3a3k21l2k2klkl22b3等号当且仅当ab时成立；所以fx, y min=a.xy2- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载例 12 设 x 1x2x 3x42, x2+x 3+x 4x1,求证： x 1+x 2+x 3+x 4 24x1x 2x 3x 4. 证明：设 x1=kx 2+x 3+x 4,依题设有1 k1, x 3x44,31k2x 2+x 3+x 4 x2x3x4,原不等式等价于1+k2x 2+x 3+x 4 24kx 2x 3x 4
12、x 2+x 3+x 4,即4k由于 fk=k+1 在 k11,上递减,23x2=4x2x2x3x4. 3所以14k2x 2+x 3+x 4=1k12313x 2+x 3+x 4k4k4所以原不等式成立；9.局部不等式例 13 已知 x, y, zR+,且 x2+y2+z2=1,求证：1x2y21z2323.x1y2z证明：先证1x2323x2.x323, 由于 x1-x2=12x2 1x22123223所以1x2xx2x2x2323x2.x12z233.33同理1y233y2,1z2323z2,y2z所以1x21y21z233x2y2xyz2例 14 已知 0a, b, c1,求证：a1b1c
13、12；bccaab证明：先证a1a2 ac.bcb即 a+b+c2bc+2. 即证 b-1c-1+1+bc a. 由于 0a, b, c1,所以式成立；b 2 b c同理 ,ca 1 a b c ab 1三个不等式相加即得原不等式成立；a2 cc.b10.利用函数的思想名师归纳总结 例 15 已知非负实数a, b, c 满意 ab+bc+ca=1,求 fa, b, c=a1bb11的最小值；第 5 页,共 11 页cca解：当 a, b, c 中有一个为0,另两个为1 时, fa, b, c=5 ,以下证明 25 fa, b, c 2. - - - - - - -精选学习资料 - - - -
14、- - - - - 不妨设 abc,就 0c3 3优秀学习资料欢迎下载b., fa, b, c=c2c1ab12c21a由于 1=a+bc+ab ab2+a+bc ,4解关于 a+b 的不等式得a+b2c21-c. cc0 c3.考虑函数 gt=c2t11, gt在c2,1）上单调递增；t又由于 0c3 ,所以 3c 321. 所以 c2+a4c2. 所以 2c21c c2.1所以 fa, b, c=c2c1aba1bc2c12c21c2c2112c212c21=c2c1c221c2c11=2c11c21c3c222234c32 c122531c21c.222下证3 1c21 c0 3c3c2
15、1c2+6c+9 9c 2+9c44由于c33,所以式成立；所以fa, b, c 5 ,所以 fa, b, c min=25.34211. 构造法例 16 证明：；提示：构造出（ x,0）到两定点的距离之差,并利用数形结合的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值,从而结论得证；12.运用闻名不等式名师归纳总结 （1）平均值不等式：第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 设 a1, a2, ,anR+,记 H n=11优秀学习资料欢迎下载a n, A n=a 1a2na n,n, Gn=na 1a 21a 1 a 2 a n2 2
16、 2Q n a 1 a 2 a n就 HnGnA nQn. 即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均；n其中等号成立的条件均为 a1=a2= =an. 当 n=2 时,平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式 ,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得 A nQn,再由 GnA n 可得 HnGn,以下仅证 GnA n. 1）当 n=2 时,明显成立；2）设 n=k 时有 GkA k,当 n=k+1 时,记1ka 1a 2kaa kak1=G k+1. 2 G kk2kGk+1, 由于 a1+a2+ +ak+ak+1+k-1G k+1kka 11G k k1a 2akka
17、k12 k2ka 1a 2k1k G k12 k2k11所以 a1+a2+ +ak+1 k+1G k+1,即 A k+1Gk+1. 所以由数学归纳法,结论成立；名师归纳总结 - - - - - - -例 17 利用基本不等式证明a2b2c2abbcca.【思路分析】左边三项直接用基本不等式明显不行,考察到不等式的对称性,可用轮换的方法 . 【略解】a2b22ab, 同理b2c32bc ,c2a22ca；三式相加再除以2 即得证 . 【评述】（1）利用基本不等式时,除了此题的轮换外,一般仍须把握添项、连用等技巧. 如2 x 12 x 22 x nx 1x 2xn,可在不等式两边同时加上x2x 3
18、xnx1 .x2x 3x 1再如证a1 b1 ac3bc3256a2b2c3a,b,c0 时,可连续使用基本不等式. （2）基本不等式有各种变式如a2b2a22b2等.但其本质特点不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2,系数和为1. 例 18 已知ab,1a ,b0,求证：a4b41.8【思路分析】不等式左边是a 、 b 的 4 次式,右边为常数1 ,如何也转化为 8a 、 b 的 4 次式呢 . 【略解】要证a4b41,即证a4b41ab4.88（2）柯西（ Cavchy）不等式： 设a 、a 、a , ,a 是任意实数,就a1 b 1a2b2anbn22 a 1a2a22
19、 b 1b22 b n.2n2等号当且仅当bikaik为常数,i,12 ,n 时成立 . 证明：不妨设aii,12 ,n不全为 0,ib 也不全为 0（由于ia 或ib 全为 0 时,不等式明显成立）. 第 7 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 记 A=2 a 12 a 22 a n优秀学习资料2 b 2欢迎下载. 且令x iai,yib ii,12,n ,B=2 b 12 b nAB就2 x 1x2x2,1y2y2y21.原不等式化为x 1y 1x2y2xnyn1. 2n12n即2x1y 1x2y2x nynx2x2x2y2y2y2. 12n12n它等价于x
20、1y12x2y22xnyn20 .其中等号成立的充要条件是xiyii1 2,n.从而原不等式成立,且等号成立的充要条件是b i1aka i kA .Bai=bi,i=1, 2, , n；变式 1：如 aiR, biR, i=1, 2, , n,就ina2ni21iibi2.等号成立条件为bnii1变式 2：设 ai, bi 同号且不为0i=1, 2, , n,就in1ain1ai2.等号成立当且仅当b1=b2= =b n. ib inaibii1例 19 设x1,x2,xnR,求证：2 x 1x2 22 x n1x2 nx 1x2xn.x 2x 3xnx 1【思路分析】留意到式子中的倒数关系,
21、考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】留意到式子中的倒数关系,考虑应用柯西不等式来证之. 【详解】x1,x2,xn0,故由柯西不等式,得x2x 3x nx 12 x 12 x 2x2 n12 x nx 2x3x nx 1x2x 1x 3x 2x nxn1x 1x n2x1x2x n1xn2,x 2x 3x nx 12 x 12 x 22 x n1x2 nx 1x 2x n.x 2x 3x nx 1【评述】 这是高中数学联赛题,仍可用均值不等式、数学归纳法、 比较法及分别系数法和构造函数法等来证之（3）排序不等式 ：（又称排序原理）设有两个有序数组a 1a2an及b 1b2bn.名师归纳总结 -
22、- - - - - -第 8 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 就a 1b 1a2b2优秀学习资料欢迎下载j1a2bj2anbjn（乱序和）anb n（同序和）a 1b名师归纳总结 - - - - - - -a 1b na2bn1anb 1（逆序和）其中j1,j2,nj是 1,2, , n 的任一排列 . 当且仅当a 1a 2an或b 1b2bn时等号（对任一排列j1,j2,nj）成立 . 证明：不妨设在乱序和S 中j nn时（如j nn,就考虑nj1）,且在和 S 中含有项akb nkn,就akbna nbjnanbjnanbn.事实上,左右=anakb nb
23、nj0 ,由此可知,当j nn时,调换Sa 1bj 1a kbj kanbjn（j nn）中b 与nj位置（其余不动） ,所得新和S 1S .调整好a 及b 后,接着再仿上调整an1与b n1,又得S 2S 1.如此至多经n1次调整得次序和a1 b 1a2b 2anb na 1bj1a2bj2anbjn这就证得 “ 次序和不小于乱序和”.明显, 当a1a2an或b 1b2bn时中等号成立 .反之,如它们不全相等,就必存在nj 及 k,使b nb n,anak.这时中不等号成立.因而对这个排列中不等号成立. 类似地可证“ 乱序和不小于逆序和”. 例 20 a,b,cR,求证abca22b2b22
24、 ac2c22a2a3b3c3.cbbccaab【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和,将它们拆开,再用排序不等式证明. 【略解】不妨设abc ,就a2b2c2,111,cba就2 a1b21c21（乱序和）a21b21c21（逆序和）,cababc同理a21b21c21（乱序和）a21b21c21（逆序和）cb 3c 3 及 1bc11,cabab两式相加再除以2,即得原式中第一个不等式.再考虑数组a3acab仿上可证其次个不等式. 例 21 设a 1,a2,anN*,且各不相同,求证：1111a 1a2a 3an.23n222 3n2【思路分析】不等式右边各项aia ii1；可懂得为两
25、数之积,尝试用排序不等式. i22【略解】设b 1,b2,b n是a1,a2,an的重新排列,满意b 1b2bn,又1111.222 3n2第 9 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 所以a1a2a3an优秀学习资料b3欢迎下载n.由于b 1,b2,bn是互不相同的正整数,b1b 2b2232n2232n2故b 11 ,b22 ,b nn .从而b 1b2b 3bn111,原式得证 . 3abc .2232n22n【评述】排序不等式应用广泛,例如可证我们熟识的基本不等式,a2b2abba,a3b3c3a2bb2cc2aaabbbcccaabcbaccab例 22
26、在 ABC 中,试证：3aAbBcC2.abc3【思路分析】可构造ABC 的边和角的序列,应用排序不等式来证明之. 【详解】不妨设abc,于是ABC.由排序不等式,得aAbBcCaAbBcC,aAbBcCbAcBaC,aAbBcCcAaBbC.相加,得3 aAbBcCabcABCabc,得aAbBcCabc又由0bca,0abc,0acb ,有0aAb2caCabcc BacbaBCA bACBcABCAb2B3 Cabc2aAbBcC.得aAbBcC2.abc由、得原不等式成立. 例 23 设b 1,b 2,bn是正数a 1,a2,an的一个排列,求证a 1a 2a nn .b 1b 2b
27、n【思路分析】应留意到ai11 i,12 ,n ai【略证】不妨设a 1a2an,由于a 1,a2,an都大于 0. 所以有111,a 1a2a n又1,1,1是1,1,1的任意一个排列,于是得到b 1b2bna 1a2anna 11a21an1a11a21an1.a 1a2anb 1b 2bn例 24 设正数a ,b ,c的乘积abc1,试证：a11 b11c111.bca名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 【略解】设ax,by,cz,这里优秀学习资料欢迎下载x ,y ,z都是正数,yzx就原需证明的不等式化为 x y z y z x z x y xyz , 明显 x y z , y z x , z x y中最多只有一个非负数 .如 x y z , y z x , z x y 中恰有一个非正数,就此时结论明显成立 .如x y z , y z x , z x y 均为正数,就 x , y ,