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1、优秀学习资料欢迎下载全国高中数学竞赛专题 - 不等式证明不等式就是对不等式的左右两边或条件与结论进行代数变形和化归，而变形的依据是不等式的性质，不等式的性质分类罗列如下：不等式的性质：.0,0babababa这是不等式的定义，也是比较法的依据. 对一个不等式进行变形的性质：（1）abba（对称性）（2）cbcaba（加法保序性）（3）.0,;0,bcaccbabcaccba（4）*).(,0Nnbababannnn对两个以上不等式进行运算的性质. （1）cacbba,（传递性） .这是放缩法的依据. （2）.,dbcadcba（3）.,dbcadcba（4）.,0,0bcaddbcacdba含
2、绝对值不等式的性质：（1）.)0(|22axaaxaax（2）.)0(|22axaxaxaax或（3）|bababa（三角不等式）. （4）. |2121nnaaaaaa证明不等式的常用方法有：比较法、放缩法、变量代换法、反证法、数学归纳法、构造函数方法等.当然在证题过程中，常可“由因导果”或“执果索因”.前者我们称之为综合法；后者称为分析法.综合法和分析法是解决一切数学问题的常用策略，分析问题时，我们往往用分析法，而整理结果时多用综合法，这两者并非证明不等式的特有方法，只是在不等式证明中使用得更为突出而已.此外，具体地证明一个不等式时，可能交替使用多种方法.因此，要熟练掌握不等式的证明技巧，
3、必须从学习这些基本的常用方法开始。1比较法（ 比较法可分为差值比较法和商值比较法。）（1）差值比较法（原理：A B0AB）例 1 设 a, b, cR+，精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载试证：对任意实数x, y, z, 有 x2+y2+z2.)()(2xzbacyzacbxycbaaccbbaabc证明：左边 -右边 = x2+y2+z2222()()()()()()abbccaxyyzxzbc caab caab bc222222()()()()babacbcbxxyyyyzzbcbc ca
4、cacaab caab222()()acaczxzxabab bcbc2220.bacbacxyyzzxbccacaababbc所以左边 右边，不等式成立。（2）商值比较法（原理：若1，且 B0，则 AB 。）例 2 若 axlog(1-x)(1-x)=1 （因为 01-x21-x0, 01-x|loga(1-x)|. 2分析法（即从欲证不等式出发，层层推出使之成立的充分条件，直到已知为止，叙述方式为：要证，只需证。）例 3 已知 a, b, cR+，求证： a+b+c-33abc a+b.2 ab证明：要证a+b+c33bac a+b.2 ab只需证332abcabc，因为33332abcb
5、acababcabc，所以原不等式成立。例 4 已知实数a, b, c 满足 0a b c21，求证：.)1(1)1(1)1(2abbacc证明：因为00 ，求证： abc(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b)。证明: (a+b -c)+(b+c-a)=2b0, (b+c-a)+(c+a-b)=2c0,(c+a-b)+(a+b-c)=2a0, a+b-c,b+c-a,c+a-b中至多有一个数非正 .(1) 当 a+b-c,b+c-a,c+a-b中有且仅有一个数为非正时, 原不等式显然成立 . (2) a+b-c,b+c-a,c+a-b均为正时 ,则2abcbcaabcbcab同理,abc
6、acbabcaacbc三式相乘得 abc(a+b -c)(b+c-a)(c+a-b) 例 6 已知ABC的外接圆半径 R=1 ，SABC=，a,b,c是ABC的三边长，令 S=，t=。求证： tS。解：由三角形面积公式:1sin2bcA. 正弦定理： a/sinA=2R. 可得 abc=1. 所以 2t=2bc+2ac+2ab. 由因为 a.b.c均大于 0。所以 2t=2abc +2bac +2cab =2aabc +2babc +2cabc =2(a +b +c )=2s.所以 ts 。4反证法例 7 设实数 a0, a1,an满足 a0=an=0，且 a0-2a1+a2 0, a1-2a
7、2+a3 0, , an-2-2an-1+an 0，求证 ak 0(k=1, 2, , n-1). 证明：假设 ak(k=1, 2, ,n-1) 中至少有一个正数， 不妨设 ar是 a1, a2, an-1中第一个出现的正数， 则 a1 0, a2 0, ar-1 0, ar0. 于是 ar-ar-10，依题设ak+1-ak ak-ak-1(k=1, 2, , n-1)。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载所以从 k=r 起有 an-ak-1 an-1-an-2 ar-ar-10. 因为 an a
8、k-1 ar+1 ar 0 与 an=0 矛盾。故命题获证。5数学归纳法例 8 对任意正整数n( 3)，求证： nn+1(n+1)n. 证明： 1）当 n=3 时，因为34=8164=43，所以命题成立。2）设 n=k 时有 kk+1(k+1)k，当 n=k+1 时，只需证 (k+1)k+2(k+2)k+1，即12)2() 1(kkkk1. 因为1) 1(1kkkk，所以只需证12)2() 1(kkkkkkkk)1(1，即证 (k+1)2k+2k(k+2)k+1，只需证 (k+1)2k(k+2) ，即证 k2+2k+1k2+2k. 显然成立。所以由数学归纳法，命题成立。6.分类讨论法例 9 已
9、知 x, y, zR+，求证：. 0222222yxxzxzzyzyyx证明：不妨设x y, x z. ） x y z，则zyzxyx111， x2 y2 z2，由排序原理可得yxxxzzzyyyxzxzyzyx222222，原不等式成立。） x z y，则zyyxzx111， x2 z2 y2，由排序原理可得yxxxzzzyyyxzxzyzyx222222，原不等式成立。7.放缩法（ 即要证 AB ，可证 AC1, C1 C2,Cn-1 Cn, CnB(nN+).）例 10 已知 a, b, c 是ABC 的三条边长，m0，求证：.mccmbbmaa证明：mbammbabambabmbaam
10、bbmaa1mccmcm1（因为 a+bc） ，得证。8.引入参变量法例 11 已知 x, yR+, l, a, b 为待定正数，求f(x, y)=2323ybxa的最小值。解：设kxy，则kklyklx1,1， f(x,y)=23322)1(kbalk22333233333211111lkakbkbkbkakabal(a3+b3+3a2b+3ab2)=23)(lba，等号当且仅当ybxa时成立。所以f(x, y)min=.)(23lba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载例 12 设 x1 x2
11、 x3 x4 2, x2+x3+x4 x1，求证： (x1+x2+x3+x4)2 4x1x2x3x4. 证明：设x1=k(x2+x3+x4)，依题设有31 k 1, x3x4 4，原不等式等价于(1+k)2(x2+x3+x4)2 4kx2x3x4(x2+x3+x4)，即kk4)1 (2(x2+x3+x4) x2x3x4，因为 f(k)=k+k1在1 ,31上递减，所以kk4)1 (2(x2+x3+x4)=)21(41kk(x2+x3+x4)42313 3x2=4x2 x2x3x4. 所以原不等式成立。9.局部不等式例 13 已知 x, y, zR+，且 x2+y2+z2=1，求证：222111
12、zzyyxx.233证明：先证.233122xxx因为 x(1-x2)=3323221)1(2213222xx, 所以.233332)1 (122222xxxxxxx同理222331yyy，222331zzz，所以.233)(233111222222zyxzzyyxx例 14 已知 0 a, b, c 1，求证：111abccabbca 2。证明：先证.21cbaabca即 a+b+c 2bc+2. 即证 (b-1)(c-1)+1+bc a. 因为 0 a, b, c 1，所以式成立。同理.21,21cbacabccbabcab三个不等式相加即得原不等式成立。10.利用函数的思想例 15 已知
13、非负实数a, b, c 满足 ab+bc+ca=1，求 f(a, b, c)=accbba111的最小值。解：当 a, b, c 中有一个为0，另两个为1 时， f(a, b, c)=25，以下证明f(a, b, c) 25. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载不妨设 a b c，则 0 c33, f(a, b, c)=.111222bacbacc因为 1=(a+b)c+ab4)(2ba+(a+b)c，解关于 a+b 的不等式得a+b 2(12c-c). 考虑函数g(t)=tct112, g(t
14、)在, 12c）上单调递增。又因为 0 c33，所以 3c2 1. 所以 c2+a 4c2. 所以 2)1(2cc. 12c所以 f(a, b, c)=bacbacc111222)1(211)1(2122222ccccccc=1112222ccccc=21321112222cccc231422cc253(11).222cc下证cc)11 (320 1332ccc2+6c+9 9c2+9cc43 0 .43c因为4333c，所以式成立。所以f(a, b, c) 25，所以 f(a, b, c)min=.2511. 构造法例 16 证明：。提示：构造出（ x，0）到两定点的距离之差，并利用数形结合
15、的方法得知两边差小于第三边且三点共线时取最大值，从而结论得证。12.运用著名不等式（1）平均值不等式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载设 a1, a2,anR+，记 Hn=naaan11121, Gn=nnaaa21, An=12,naaan22212nnaaaQn则 Hn Gn An Qn. 即调和平均 几何平均 算术平均 平方平均。其中等号成立的条件均为a1=a2=an. 当 n=2 时，平均值不等式就是已学过的基本不等式及其变式,所以基本不等式实际上是均值不等式的特例证明：由柯西不等式得
16、An Qn，再由 Gn An可得 Hn Gn，以下仅证Gn An. 1）当 n=2 时，显然成立；2）设 n=k 时有 Gk Ak，当 n=k+1 时，记kkkaaaa1121=Gk+1. 因为 a1+a2+ak+ak+1+(k-1)Gk+1kkkkkkGakaaak11121kkkkkkkGkGaaak221211121222kGk+1, 所以 a1+a2+ak+1 (k+1)Gk+1，即 Ak+1 Gk+1. 所以由数学归纳法，结论成立。例 17 利用基本不等式证明.222cabcabcba【思路分析】左边三项直接用基本不等式显然不行，考察到不等式的对称性，可用轮换的方法 . 【略解】ca
17、acbccbabba2,2,2223222同理；三式相加再除以2 即得证 . 【评述】（1）利用基本不等式时，除了本题的轮换外，一般还须掌握添项、连用等技巧. 如nnxxxxxxxxx2112322221，可在不等式两边同时加上.132xxxxn再如证)0,(256)()(1)(1(32233cbacbacbcaba时，可连续使用基本不等式. （2）基本不等式有各种变式如2)2(222baba等.但其本质特征不等式两边的次数及系数是相等的.如上式左右两边次数均为2，系数和为1. 例 18 已知,0, 1baba求证：.8144ba【思路分析】不等式左边是a、b的 4 次式，右边为常数81，如何
18、也转化为a、b的 4 次式呢 . 【略解】要证,8144ba即证.)(81444baba（2）柯西（ Cavchy）不等式： 设1a、2a、3a，na是任意实数，则).)()(222212222122211nnnnbbbaaabababa等号当且仅当kkabii(为常数，),2, 1ni时成立 . 证明：不妨设),2, 1(niai不全为 0，ib也不全为0（因为ia或ib全为 0 时，不等式显然成立）. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载记 A=22221naaa，B=22221nbbb. 且
19、令),2, 1(,niBbyAaxiiii则.1, 12222122221nnyyyxxx原不等式化为.12211nnyxyxyx即)(22211nnyxyxyx2222122221nnyyyxxx. 它等价于.0)()()(2222211nnyxyxyx其中等号成立的充要条件是).,2 ,1(niyxii从而原不等式成立，且等号成立的充要条件是).(BAkkabii变式 1：若 aiR, biR, i=1, 2, , n，则.)()()(212112niiniiniiibaba等号成立条件为ai= bi,(i=1, 2, , n)。变式 2：设 ai, bi同号且不为0(i=1, 2, ,
20、n)，则.)(1211niiiniiniiibaaba等号成立当且仅当b1=b2=bn. 例 19 设Rxxxn,21，求证：.211221322221nnnnxxxxxxxxxxx【思路分析】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之. 【评述】注意到式子中的倒数关系，考虑应用柯西不等式来证之. 【详解】0,21nxxx，故由柯西不等式，得)(1221322221132xxxxxxxxxxxxnnnn2111323212)(xxxxxxxxxxxxnnnn2121)(nnxxxx，.211221322221nnnnxxxxxxxxxxx【评述】 这是高中数学联赛题，还可用均值不等式、数
21、学归纳法、 比较法及分离系数法和构造函数法等来证之. （3）排序不等式： （又称排序原理）设有两个有序数组naaa21及.21nbbb精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载则nnbababa2211（同序和）jnnjjbababa2211（乱序和）1121bababannn（逆序和）其中njjj,21是 1，2， n 的任一排列 . 当且仅当naaa21或nbbb21时等号（对任一排列njjj,21）成立 . 证明：不妨设在乱序和S中njn时（若njn，则考虑1nj） ，且在和S 中含有项),(nk
22、bank则.nnjnnjnnkbabababan事实上，左右=,0)(njnknbbaa由此可知，当njn时，调换nkjnjkjbababaS11（njn）中nb与nj位置（其余不动） ，所得新和.1SS调整好na及nb后，接着再仿上调整1na与1nb， 又得.12SS如此至多经1n次调整得顺序和nnbababa2211jnnjjbababa2211这就证得 “顺序和不小于乱序和”.显然， 当naaa21或nbbb21时中等号成立 .反之，若它们不全相等，则必存在nj及 k，使nb.,knjaabn这时中不等号成立.因而对这个排列中不等号成立. 类似地可证“乱序和不小于逆序和”. 例 20 .
23、222,333222222abccabbcabacacbcbacbaRcba求证【思路分析】中间式子中每项均为两个式子的和，将它们拆开，再用排序不等式证明. 【略解】不妨设abccbacba111,222则，则bcabca111222（乱序和）ccbbaa111222（逆序和），同理bcabca111222（乱序和）ccbbaa111222（逆序和）两式相加再除以2，即得原式中第一个不等式.再考虑数组abacbccba111333及，仿上可证第二个不等式. 例 21 设*21,Naaan，且各不相同，求证：.32131211223221naaaann【思路分析】不等式右边各项221iaiaii
24、；可理解为两数之积，尝试用排序不等式. 【略解】设nnaaabbb,2121是的重新排列，满足nbbb21，又.131211222n精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载所以223221232213232nbbbbnaaaann.由于nbbb,21是互不相同的正整数，故.,2,121nbbbn从而nnbbbbn121132223221，原式得证 . 【评述】排序不等式应用广泛，例如可证我们熟悉的基本不等式，,22abbaba.3222333abcabcacbbcacacbcbabaaccbbacba
25、例 22 在 ABC 中，试证：.23cbacCbBaA【思路分析】可构造 ABC 的边和角的序列，应用排序不等式来证明之. 【详解】不妨设cba，于是.CBA由排序不等式，得.,bCaBcAcCbBaAaCcBbAcCbBaAcCbBaAcCbBaA相加，得)()()(3cbaCBAcbacCbBaA，得3cbacCbBaA又由,0,0,0bcacbaacb有).(2)()3()2()2()()()()()()(0cCbBaAcbaCcBbAaCBAcBCAbACBabcaBcbaCacbA得.2cbacCbBaA由、得原不等式成立. 例 23 设nbbb,21是正数naaa,21的一个排列
26、，求证.2211nbababann【思路分析】应注意到),2, 1(11niaaii【略证】不妨设naaa21，因为naaa,21都大于 0. 所以有naaa11121，又nnaaabbb1,1,11,1,12121是的任意一个排列，于是得到.11111122112211nnnnbababaaaaaaan例 24 设正数cba,的乘积1abc，试证：.1)11)(11)(11(accbba精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 11 页优秀学习资料欢迎下载【略解】设xzczybyxa,，这里zyx,都是正数，则原需证明的不等式
27、化为yxzxzyzyxxyzyxzxzyzyx,)()(显然中最多只有一个非负数.若yxzxzyzyx,中恰有一个非正数，则此时结论显然成立.若yxzxzyzyx,均为正数，则zyx,是某三角形的三边长. 容易验证).()()(31)()(222zyxzyxzyxzyxyxzxzyzyx故得.)()(xyzyxzxzyzyx【评述】利用上述换元的方法可解决同类的问题.见下题：设正数a、b、c的乘积, 1abc证明.23)(1)(1)(1222bacacbcba证明：设1,1,1,1xyzzcybxa则，且所需证明的不等式可化为23222yxzxzyzyx，现不妨设zyx，则yxzxzyzyx，
28、据排序不等式得yxzxzyzyx222yxzyxzyxzyxz及yxzxzyzyx222yxzxxzyzzyxy两式相加并化简可得)(2222yxzxzyzyx. 333xyzzyx（4）切比雪夫不等式：若naaa21，nbbb21， 则.21212211nbbbnaaanbababannnn证明：由题设和排序不等式，有nnbababa2211=nnbababa2211，132212211babababababannn，.11212211nnnnnbabababababa将上述 n 个不等式叠加后，两边同除以n2，即得欲证的不等式. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 11 页