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1、1 不等式的性质与不等式的解法1、比较两数的大小1差值比较法baba0baba0baba02商值比较法0a，0b则baba1baba1baba12、不等式的性质性质 1：对称性abba性质 2： 传递性bacbca性质 3：可加性bacbca性质 4：可乘性ba0cbcac；ba0cbcac性质 5：同向可加性badcdbca性质 6：同向可乘性0ba0dcbdac性质 7：乘方法则0bannba性质 8：开方法则0bannba3、基本不等式1abba222当且仅当ba时“ =”成立2abba2当且仅当ba时“ =”成立3 | | a | b | | | a b | | a | | b |；|
2、 | a | b | | | a b | | a | | b |4、不等式的解法1 、一元一次不等式2 、指数不等式与对数不等式不等式bax解集0aabxx0aabxx0a0b0a0bR 不等式同解不等式xgxfaa)(1a时)()(xgxf10a时)()(xgxf)(log)(logxgxfaa1a时)()(0)(0)(xgxfxgxf10a时)()(0)(0)(xgxfxgxf精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 9 页2 3 、一元二次不等式20axbxc(0a) 0002142bbacxa2142bbacxa122bx
3、xa2yaxbxc(0a) 20axbxc12x xxxx或1x xxR 20axbxc12x xxxx或R R 20axbxc12x xxx20axbxc12x xxx1x(4) 、简单分式不等式的解法：转化成不等式组或用序轴标根法(1)变形 ?f xg x 0 ( )0( )0( )0( )0f xf xg xg x或(2) 变形?f xg x 0 ( )0( )0( )0( )0f xf xg xg x或(5)、绝对值不等式的解法0aaxaxaaxax或ax| f ( x ) | g ( x ) ?g ( x ) f ( x ) g ( x ) ?f ( x ) g ( x ) 或 f
4、( x ) g(x)(无论 g(x)是否为正 )(0)axbc ccaxbc(0)axbc caxbcaxbc或xaxbcxaxbc和5、不等式的证明：基本方法有1比较法2综合法3分析法4反证法x2 x1 x1=x2 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 9 页3 【例题 1】不等式的性质1、(2010 广东卷 )“x0”是“3x20”成立的(A) A充分非必要条件B必要非充分条件C非充分非必要条件D充要条件2、设 a、 b为非零实数，假设a b，则以下不等式成立的是(C) Aa2b2B ab2a2bC.1ab21a2bD.b
5、aab3、 假设 a、 b、 c 为实数，则以下命题正确的选项是(B) A假设 ab，则 ac2bc2 B假设 a b0，则 a2 abb2C假设 ab0，则1a1bD假设 ab0，则baab4、已知 a、 b、cR，则以下推理：ac2bc2? ab ；a3b3；ab0?1a1b；a2b2，ab0?1a1b；0ab 1? loga(1a)logb11a. 其中正确的个数是(C)A1 B 2 C3 D4 5、 (2010 江西卷 )对于实数a，b，c，“ ab”是“ ac2bc2”的(B) A充分不必要条件B必要不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件6、f(x)3x2x1，g(x)2x2x1
6、，则有(A) Af(x)g(x) Bf(x)g(x) Cf(x)g(x) D不能确定f(x)与 g(x)的大小关系7、“ acb d”是“ ab 且 cd”的(A) A必要不充分条件B充分不必要条件8、假设 a b0，则以下关系中不成立的是(D) A.1a1bBa2b2 Ca3b3Da2ab9、(2011 兰州)假设 ba0，则以下不等式中正确的选项是(C)A.1a1bB|a|b| C.baab2 Dabab 10、已知 0 xy a1，则有(D) Aloga(xy)0 B0loga(xy)1 C1loga(xy)2 Dloga(xy)2 11、设 0ab，则以下不等式中正确的选项是(B) A
7、a babab2Baabab2bCaabbab2 D.abaa b2b12、(2014 四川，文 5)假设 ab 0，cd 0，则一定有(B) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 9 页4 AabdcBabdcCabcdDabcd【例题 2】均值不等式1、 已知 a0，b0，ab2，则 y1a4b的最小值是C A.72B4 C.92D5 2、假设函数f(x)x1x2(x2)在 xa 处取最小值，则aC A12 B13C3 D4 3、假设四个正数a、b、c、d 成等差数列， x 是 a，d 的等差中项，y 是 b、c 的等比中
8、项，则x，y 的大小关系是(D) A xyBxyCxyDxy4、假设122yx,则yx的取值范围是D A2,0B0,2C),2D2,(5、假设实数x、y 满足1x21y21，则 x22y2有B A最大值 322B最小值 32 2 C最大值6 D最小值 6 6、某车间分批生产某种产品，每批的生产准备费用为800 元假设每批生产x 件，则平均仓储时间为x8天，且每件产品每天的仓储费用为1 元为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小，每批应生产产品B A60 件B80 件C100 件D120 件7、已知0 x，0y，228xyxy，则yx2的最小值是B A3 B4 C29D2118、 假设
9、正数x， y 满足 x+3y=5xy ，则 3x+4y 的最小值是C A. 245B. 2859、(2013 山东，文12)设正实数x，y，z 满足x23xy 4y2zzxy取得最小值时，x2yz 的最大值为(C)A0 B98C2 D9410、函数log (3) 1ayx(01)aa且，的图象恒过定点A，假设点A在直线10mxny上，其中0mn，则12mn的最小值为 _ 【答案】 : 8。11、(2011 北京 ) 设x，y是满足 2xy4 的正数，则lg xlg y的最大值是 _答案lg 2 12、(2011 浙江 )假设正数x，y 满足 x2y2xy1，则 x y 的最大值是 _2 33精
10、选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 9 页5 【例题 3】不等式的解法1、(2011 广东 )不等式 2x2x10 的解集是D A. 12，1B(1， ) C( ， 1) (2， ) D.，12(1 ， )2、不等式 (1x)(2x)0 的解集为(C) A(， 1)(2， ) B(， 2)(1， ) C(1,2) D(2,1) D.(-2,1) 3、解以下不等式18x116x2；22x24x30；(3)3x22x80. 4、已知不等式x2ax40 的解集为空集，则a 的取值范围是(A) A 4a4 B 4a4 C a 4 或
11、a4 Da 4 或 a4 5、已知二次函数yx2pxq，当 y0 时，有12x13，解不等式qx2px 10. 8、设二次不等式ax2bx10 的解集为x|1 x13，则 ab 的值为(C) A 6 B 5 C6 D 5 9、不等式x2axb0 的解集为 x|2x0 的解集为(C) Ax|2x3 B. x13x12C. x12x13D.x| 3x210、设函数f(x)2x1，x1，x22x2， x1，假设 f(x0)1，则 x0的取值范围为 _答案： (， 1)1， ) 11、设函数f(x)x24x6，x 0 x 6，x0，则不等式f(x)f(1)的解集是( A) A(3,1)(3， ) B(
12、3,1)(2， ) C (1,1)(3， ) D(， 3)(1,3) 12、已知函数f(x)x21，x01， x0，则满足不等式f(1x2)f(2x)的 x 的范围是 _答案： (1，21) 13、不等式x2x10 的解集是D A(， 1)(1,2B 1,2 C(， 1)2， ) D (1,2 14、不等式x 5x122 的解集是(D) A.3，12B.12，3C.12，1 (1,3 D. 12，1 (1,3 15、不等式x1x3 的解集为 _答案x x12或x03不等式组(2)01x xx+，的解集为(C) 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - -
13、- -第 5 页，共 9 页6 Ax|2x 1 Bx|1 x0 Cx|0 x1 Dx|x1 16、 在 R 上定义运算 ?： x?yx(1y) 假设不等式 (xa)?(xb) 0 的解集是 (2,3)， 则 ab 的值是(C) A 1 B2 C4 D8 17、在 R 上定义运算：abab2a b，则满足x(x2)0 的实数 x 的取值范围为(B) A(0,2) B(2,1) C (， 2)(1， ) D( 1,2) 18、已知不等式x24x30 和 x26x80 及 2x29xm0，假设同时满足的x 也满足，则有(C) Am9 Bm9 Cm9 D0m9 19、假设不等式x2ax20 在区间 1
14、,5上有解，则a 的取值范围是 _答案：235，20、不等式2x122x的解集是 _答案： x| 1x0 或 0 x1 21、关于x的不等式22280 xaxa(0a) 的解集为12(,)x x, 且:2115xx, 则aA A52B72C154D152【例题 4】恒成立问题1、对于 xR，不等式 (a2)x22(a2)x40 恒成立，则a 的取值范围是 _ 答案： 2,2 2、假设不等式x2ax10 对于一切x(0,2成立，则a的取值范围是 _(， 23、已知f(x) x22ax2，当x 1， ) 时，f(x) a恒成立，则a的取值范围是 _ 3a1. 4、假设不等式mx22mx42x24x
15、 对任意实数x 均成立，则实数m 的取值的范围是(B) A(2,2) B(2,2 C(， 2)2， ) D(， 2 5、已知函数f(x) x22x b2 b1(bR)，假设当x1,1时， f(x)0 恒成立，则b 的取值范围是_答案： b2 或 b 1 【例题 5】绝对值不等式的解法1、(2010 陕西卷 )不等式 |2x1|3 的解集为 _答案： (1,2) 2、不等式1|x1|3的解集为 _答案： (4， 2)(0,2) 3、解不等式 |x3|2x1|x21. x|x25或x 2.4、不等式 |x2| |x|的解集为 _答案： x|x 1 5、假设不等式|ax 2|6 的解集为 (1,2)
16、，则实数a 等于 _答案： 4 6、对于xR，不等式1028xx的解集为 _ 答案 ：0 xx7、不等 式222x的解集是D A-1,1B-2,2C-1,00,1D-2,00,2【例题 6】含参数绝对值问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 9 页7 1、已知关于x 的不等式 |x 1|x| k 无解，则实数k 的取值范围是_答案： k2, 则关于实数x的不等式 |2xaxb的解集是 _. 【答案】R 7、定义运算xyxxy ，yxy ，假设 |m1|m|m1|则 m 的取值范围是_答案： 12， ) 8、假设函数f(x)|
17、x1|2xa|的最小值为3，则实数a 的值为(D) A5 或 8 B 1 或 5 C 1 或 4 D 4 或 8 【例题 7】三角不等式的应用1、对任意实数x，假设不等式 |x2|x 1|k 恒成立，则实数k 的取值范围是 _答案： (，1) 2、假设存在实数x使|xa|+|x1|3 成立，则实数a的取值范围是 _24a3、设 a， bR，|ab|2，则关于实数x 的不等式 |xa|xb|2 的解集是 _答案： (， ) 4、对于实数x，y，假设 |x1|1，|y2|1，则 |x2y1|的最大值为 _答案5 5、设 f(x)x2 xb，|xa|1，求证： |f(x)f(a)|2(|a|1)【例
18、题 8】综合题1、设函数f(x)|2x4|1. (1)画出函数yf(x)的图象；(2)假设不等式子f(x)ax 的解集非空，求a 的取值范围2、已知函数( )223f xxx1解不等式( )6f x答案),35 1,(2假设关于x 的不等式( )21f xa的解集不是空集，试求a 的取值范围3、如图， O 为数轴的原点，A、B、M 为数轴上三点，C 为线段 OM 上的动点设x 表示 C 与原点的距离，y 表示 C 到 A 距离的 4 倍与 C 到 B 距离的 6 倍的和(1)将 y 表示为 x 的函数；(2)要使 y 的值不超过70，x 应该在什么范围内取值？精选学习资料 - - - - -
19、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 9 页8 4、设不等式 |2x1|1 的解集为M. (1)求集合 M；(2)假设 a，bM，试比较ab1 与 ab 的大小5、已知关于x 的不等式 |x 3|x4|a，(1)当 a2 时，解上述不等式；(2)如果关于x的不等式 |x3|x4| a的解集为空集，求实数a 的取值范围6、已知函数f(x)|x2|x5|. (1)证明： 3f(x) 3；(2)求不等式f(x)x28x15 的解集7、设函数f(x)|xa|3x，其中 a0. (1)当 a1 时，求不等式f(x) 3x2 的解集；(2)假设不等式f(x)0 的解集为
20、x|x 1，求 a 的值8、设函数( )|31|3.f xxax1假设 a=1，解不等式( )5fx；2假设函数( )f x有最小值，求实数a 的取值范围。9、已知函数( )122f xxx(1) 解不等式( )3f x; (2)假设不等式( )fxa的解集为空集，求实数a的取值范围 .10、已知函数Raaxxxf,3)( ) 当0a时，解关于x的不等式4)(xf；假设,Rx使得不等式43axx成立，求实数a的取值范围 .11、已知函数( )f x=|2 |xax. ()当3a时，求不等式( )f x3 的解集；() 假设( )f x|4 |x的解集包含1,2，求a的取值范围 . 12、已知实
21、数0a且函数2fxxaxa的值域为2233yaya求实数a的值；假设至少存在一个实数m使得1fmfmn成立，求实数n的取值范围。13、已知函数( )| 21| 2|f xxxa，( )3g xx。当2a时，求不等式( )( )f xg x的解集；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 9 页9 设1a，且当1,)2 2ax时，( )( )f xg x，求a的取值范围。14、已知函数f(x)|xa|，其中 a1. (1)当 a2 时，求不等式f(x)4|x4|的解集；(2)已知关于x 的不等式 |f(2xa)2f(x)|2 的解集为 x|1x2 ，求 a 的值15. 已知函数12)(xaxxf，xxf2)(的解集为 A 假设3 ,21A , 求a的取值范围答案23,2a16、假设 a0，b0，且11abab. (1)求 a3b3的最小值；(2)是否存在a，b，使得 2a 3b6？并说明理由精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 9 页