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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载中考数学分类解析旋转题旋转变换定义 设 是一个定角, O 是一个定点, R 是平面上的一个变换,它把点 O 仍变到O（不动点）,而把平面图形 F 上任一点 X 变到 X ,使得 OX=OX,且 XOX=,就 R叫做绕中心 O,旋转角为 的旋转变换；记为 X X ,图形 F F ；其中 0时,为逆时针方向；主要性质 : 在旋转变换下,对应线段相等,对应直线的夹角等于旋转角；应用：求角度、求弧长、求面积、证明线段相等、证明角相等、证明位置关系解题关键：要抓住图形变换过程中的几何不变性即旋转不变性、数值不变性等等例题分析：1（
2、2005 江苏苏州）右图可以看作是一个等腰直角三角形旋转如干次而生成的就每次旋转的度数可以是（C）0 0 A 90 B600 0C45 D3022005 山东威海 如下列图,在图甲中,Rt OAB 绕其直角顶点 O 每次旋转 90.,旋转三次得到右边的图形在图乙中,四边形 OABC 绕 O 点每次旋转 120.,旋转二次得到右边的图形B A3 B C B C A2 B O A B3 A2 O A B1 O A B2O AC1A1C2甲以下图形中,不能通过上述方式得到的是A1 乙B1 B2 D A B C D 4 cm ,宽为 3 cm 的长方形木板,在桌面上做无32005 湖北荆州 如图,王虎
3、使一长为名师归纳总结 滑动的翻动（顺时针方向）木板上点A 位A B A1A 2第 1 页,共 7 页置变化为AA 1A ,其中其次次翻动被桌面上一小木块拦住,使木板与桌面成30 角, 就点 A 翻动到 A 2位置时共走过的 30路径长为（C ）A 10 cmB 4 cmC - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - C7 2cmD5 2cm优秀学习资料欢迎下载42005 无锡 已知,点 P 是正方形 ABCD 内的一点,连PA、PB、PC. AD（1）将 PAB 绕点 B 顺时针旋转90 到 PCB 的AD位置（如图1）. 设 AB 的长为 a,PB 的长为 b
4、（ba）,求 PAB 旋转到PCB 的过程中边PA 所扫过区域（图1 中阴P图 2 PC影部分）的面积；如 PA=2, PB=4, APB=135 ,求 PC 的长 . BCB（2）如图 2,如 PA2+PC2=2PB2,请说明点P 必图 1P在对角线 AC 上. 解：（1） S 阴影=4a2b2P连结 PP ,证PBP 为等腰直角三角形,从而PC=6; （2）将 PAB 绕点 B 顺时针旋转90 到 PCB 的位置,由勾股逆定理证出CP=90 ,再证 BPC+ APB=180 ,即点 P 在对角线 AC 上. 42005 福建漳州 如图：已知在（1） 求边 AC和 BC的值；Rt ABC中,
5、 ABC=90 , C60 ,边 AB=6cm. （2） 求以直角边AB所在的直线l 为轴旋转一周所得的几何体的侧面积. 结果用含 的代数式表示 解：（1）AC 4 3 cm,BC 2 3 cm （2）所求几何体的侧面积 S1 2 2 3 4 3 24（cm ）2252005 江西 如下图所示,按以下方法将数轴的正半轴绕在一个圆上（该圆周长为 3 个单位长,且在圆周的三等分点处分别标上了数字 0、1、2）上：先让原点与圆周上 0 所对应的点重合,再将正半轴按顺时针方向绕在该圆周上,使数轴上1、 2、3、4、 所对应的点分别与圆周上 1、2、0、1、 所对应的点重合；这样,正半轴上的整数就与圆周
6、上的数字建立了一种对应关系；（1）圆周上数字 a 与数轴上的数 5 对应,就 a_；（2）数轴上的一个整数点刚刚绕过圆周 n 圈（ n 为正整数）后,并落在圆周上数字 1 所对应的位置,这个整数是 _（用含 n 的代数式表示） ；解：（1）a=2,（2）3n+1 .52005 河北课改区 试验与推理 如图 141,14 2,四边形 ABCD是正方形,名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载M是 AB延长线上一点； 直角三角尺的一条直角边经过点 D,且直角顶点 E 在 AB边上滑动（点E 不与点 A,
7、B重合）,另一条直角边与CBM的平分线 BF相交于点 F；如图 14 1,当点 E 在 AB边的中点位置时：通过测量DE,EF的长度,猜想DE与 EF满意的数量关系是；连接点 E 与 AD边的中点 N,猜想 NE与 BF满意的数量关系是请证明你的上述两猜想；如图 14 2,当点 E在 AB边上的任意位置时, 请你在 AD边上找到一点 N,使得 NE=BF,进而猜想此时 DE与 EF 有怎样的数量关系；解： DE=EF； NE=BF；证明：四边形 ABCD是正方形, N, E分别为 AD,AB的中点,DN=EB BF 平分 CBM,AN=AE, DNE=EBF=90 +45 =135 NDE+D
8、EA=90 , BEF+DEA=90 , NDE=BEF DNE EBF DE=EF,NE=BF 在 DA边上截取DN=EB（或截取AN=AE）,连结 NE,点 N就使得 NE=BF成立（图略）此时, DE=EF；72005 泰州 图 1 是边长分别为 4 3 和 3 的两个等边三角形纸片 ABC 和 CDE叠放在一起（ C 与 C重合） . （1）操作：固定 ABC,将 CDE绕点 C 顺时针旋转 30 得到CDE,连结 AD、BE,CE 的延长线交 AB 于 F（图 2）；探究： 在图 2 中,线段 BE 与 AD 之间有怎样的大小关系？试证明你的结论 .（4 分）（2）操作： 将图 2
9、中的 CDE ,在线段 CF 上沿着 CF 方向以每秒 1 个单位的速度平移,平移后的CDE 设为 PQR（图 3）；探究：设PQR 移动的时间为 x 秒, PQR 与 ABC 重叠部 分的面积为 y,求 y与 x 之间的函数解析式,并写出函数自变量 x 的取值范畴 .（5 分）（3）操作：图 1 中 CDE固定,将ABC 移动,使顶点 C 落在 CE的中点,边 BC 交 DE于点 M,边 AC 交 DC于点 N,设 AC C= （30 90 （图 4）；名师归纳总结 B探究：在图4 中,线段 CN EM 的值是否随 的变化而变化？假如没有变化,C C/ 第 3 页,共 7 页请你求出 CNE
10、M 的值,假如有变化,请你说明理由.（4 分）AAAADFEDFPRBDN图1E（C/） CB图2 图 2 C（C/）BQCEMG 图 4 图4图3 图 3 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载解：（1）BE=AD 证明：ABC 与 DCE 是等边三角形 BCE= ACD BCE ACB= DCE=60 CA=CB ,CE=CD ACD （ 2）如图在 BE=AD （也可用旋转方法证明BE=AD ）AS RCCQT 中 TCQ=30 RQT=60 QTC=30 QTC= TCQ QT=QC=x RT=3x FQT RTS R=90
11、RST=90 Py=332 33x2=33x29 3 40x3 B图3488（3）CNEM 的值不变证明： ACC =60 MCE NCC=120 CNC NCC =120 MCE =CNC E=C EMCCCN / E M/ E CCNEM=C C EC=3 23 2=9 4/ C C/ C N82005 湖北武汉课改区 将两块含 30 角且大小相同的直角三角板如图1 摆放；（1）将图 1 中A B C 绕点 C 顺时针旋转45 得图 2,点P 1 是A C与AB 的交点,求证：CP 12AP 1；2（2）将图 2 中A B C 绕点 C 顺时针旋转30 到A B C（如图 3）,点P 2是
12、A C与 AB 的交点；线段CP 1 与P P 2之间存在一个确定的等量关系,请你写出这个关系式并说明理由；（3）将图3 中线段CP 绕点 C 顺时针旋转P DA 是直角三角形,且A60 到CP （如图 4）,连结P P ,求证：P P AB. 解：（1）证明：过点1P 作 CA 的垂线,垂足为 D 易知：CDP 为等腰直角三角形,D 30 ,名师归纳总结 所以CP 12PD 1,PD 11AP 1故CP 12 2AP 1P EP 为等腰直角三角形（其第 4 页,共 7 页2（2）解：过点1P 作 CA2的垂线,垂足为E 易知：- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - -
13、 - - 中 2 A P CA 45 优秀学习资料欢迎下载, 所 以）1P CE是 直 角 三 角 形 , 且 1 30 CP 12P E ,P E2P P 2CP 绕点 C 顺时针旋转60 到CP ,易证：2故CP 1 2 PP 2（3）证明：将图3 中线段CPP CP P ,于是CP P CP P 45 ,故P P AB.92005 无锡 已知正方形ABCD 的边长 AB= k（k 是正整数）,正 PAE 的顶点 P 在正方形内,顶点 E 在边 AB 上,且 AE=1. 将 PAE 在正方形内按图1 中所示的方式,ADBPE图 1 C沿着正方形的边AB 、BC、CD、DA 、AB 、 连续
14、地翻转n 次,使顶点P第A一次回到原先的起始位置. B（1）假如我们把正方形ABCD 的边绽开在始终线上,那么这一翻转过程可以看作是PAE 在直线上作连续的翻转运动. 图 2 是 k=1 时, PAE 沿正方形的边连续翻转过程的绽开示意图. 请你探究：如k=1,就PAE 沿正方形的边连续翻转的次数n= 时,顶点P第一次回到原先的起始位置. DPCABECDABCDABCDABCD图 2n= （2）如 k=2,就 n= 时,顶点P第一次回到原先的起始位置；如k=3,就时,顶点P第一次回到原先的起始位置. （3）请你推测：使顶点 P第一次回到原先的起始位置的 k 的代数式表示 n）. 解：（1）1
15、2 次（2）24 次； 12 次 当 k 是 3 的倍数时, n=4k；当 k 不是 3 的倍数时, n=12k. n 值与 k 之间的关系（请用含10 2004 山东青岛 操作：在ABC 中, AC BC2, C 90 0,将一块等腰三角形板的直角顶点放在斜边 AB 的中点 P 处,将三角板绕点 P 旋转,三角板的两直角边分别交射线AC 、CB 于 D、E 两点；图,是旋转三角板得到的图形中的 3 种情形；讨论：（1）三角板绕点 P 旋转,观看线段 PD 和 PE 之间有什么数量关系？并结合图加以证明；（2）三角板绕点P 旋转,是否能居为等腰三角形？如能,指出全部情形（即写出PBE 为等腰三
16、角形时CE 的长）；如不能,请说明理由；名师归纳总结 （3）如将三角板的直角顶点放在斜边AB 上的 M 处,且 AM ：MB 1：3,和前面一第 5 页,共 7 页样操作,试问线段MD 和 ME 之间有什么数量关系？并结合图加以证明；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料欢迎下载P 是 AB 的中点, CPPB,解：（1）连结 PC, ABC 是等腰直角三角形,CPAB , ACP1 ACB 45 20, ACP B450,又 DPCA E B CPE BPE DPC BPECPE DPC BPE PCD PBED P PDPE （2）共有四种
17、情形,C 当点 C 与点 E 重合,即 CE0 时, PEPB CE22 ,此时 PBBE 当 CE1 时,此时 PEBE 当 E 在 CB 的延长线上,且CE22 时,此时 PBEB （3）MD ：ME 1：3过点 M 作 MF BC ,垂足分别是F、HMH AC ,MF BC四边形 CFMH 是平行四边形,C900, CFMH 是矩形, FMH 900,MF CE CH AM 1 MF 1HB MHHB MB 3 MH 3D MF D MH D MH E MH 90D M F E M HMF D MH E 90MD F MH EMD MF 1ME MH 3练习： 1、（2005 江苏杨州课
18、改）等腰ABC ,AB=AC= , BAC=12 0 ,P为 BC的中点,小慧拿着含 30 0 角的透亮三角板,使 30 0角的顶点落在点 P,三角板绕 P 点旋转（1）如图 a,当三角板的两边分别交 AB 、AC 于点 E、F 时求证：BPE CFP；（2）操作：将三角板绕点 P 旋转到图 b 情形时,三角板的两边分别交BA 的延长线、边AC 于点 E、FBEAFCBAECP探究：BPE 与 CFP仍F相像吗？（只需写出结论）P探究：连结EF, BPE图 b 图 a 与 PFE是否相像？请说明理由；设 EF=m, EPF 的面积为 S,试用 m 的代数式表示S解：名师归纳总结 - - - -
19、 - - -第 6 页,共 7 页精选学习资料 - - - - - - - - - 优秀学习资料 欢迎下载2、2005 沈阳课改 如图 6,在方格纸中如何通过平移或旋转这两种变换,由图形 A得到图形 B,再由图形 B 得到图形 C（对于平移变换要求回答出平移的方向和平移的距离；对于旋转变换要求回答出旋转中心、旋转方向和旋转角度）；如图 6,假如点 P、P3 的坐标分别为（0,0）、（2,1）,写出点 P2 的坐标；图 7 是某设计师设计图案的一部分,请你运用旋转变换的方法,在方格纸中将图形绕点 O 顺时针依次旋转90 、 180 、 270 ,依次画出旋转后所得到的图形,你会得到一个漂亮的图案,但涂阴影时不要涂错了位置,否就不会显现抱负的成效,你来试一试吧！名师归纳总结 注：方格纸中的小正方形的边长为1 个单位长度 . 图 BP1P3P2 图 CO第 7 页,共 7 页解：略图 AP图 7图 6- - - - - - -