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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数 学问讲解一般地,假如y=ax2+bx+c （a,b, c 是常数且a 0）,那么 y 叫做 x 的二次函数,它是关于自变量的二次式,二次项系数必需是非零实数时才是二次函数,这也是判定函数是不是二次函数的重要依据当 b=c=0 时,二次函数y=ax2是最简洁的二次函数二次函数 y=ax2+bx+c （a,b,c 是常数, a 0）的三种表达形式分别为：一般式：y=ax 2+bx+c ,通常要知道图像上的三个点的坐标才能得出此解析式；顶点式：y=a（xh）2+k,通常要知道顶点坐标或对称轴才能求出此解析式；交点式：y=a
2、（xx 1）（x x2）,通常要知道图像与其顶点坐标为（x 轴的两个交点坐标x1,x 2 才能求出此解析式；对于y=ax2+bx+c 而言,b,4acab2）对于 y=a（xh）2+k 而言其顶点坐标为（h,k）,.42a由于二次函数的图像为抛物线,因此关键要抓住抛物线的三要素：开口方向,对称轴,顶点二次函数y=ax2+bx+c 的对称轴为x=b,最值为4acb2,（ k0 时为最小值,2 a4 ak0）个单位得到函数 y=ax2 k,将 y=ax2沿着 x 轴（右“ ” ,左“ ” ）平移 h（h0）个单位得到 y=a（ x h）2 .在平移之前先将函数解析式化为顶点式,再来平移,如沿 y.
3、轴平移就直接在解析式的常数项后进行加减（上加下减）,如沿 x 轴平移就直接在含 x 的括号内进行加减（右减左加）在画二次函数的图像抛物线的时候应抓住以下五点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与 y 轴的交点抛物线 y=ax2+bx+c 的图像位置及性质与a,b,c 的作用： a 的正负打算了开口方向,名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载当 a0 时,开口向上, 在对称轴 x= b 的左侧, y 随 x 的增大而减小； 在对称轴 x=b2 a 2 a2 2的右侧, y 随 x 的增大而增大,
4、此时 y 有最小值为 y= 4 ac b,顶点（b,4 ac b）4 a 2 a 4 ab为最低点；当 a0 时,开口向下,在对称轴 x=的左侧, y 随 x 的增大而增大,在对2 a2称轴 x=b 的右侧, y 随 x 的增大而增大,此时 y 有最大值为 y= 4 ac b,顶点（,2 a 4 a24 ac b）为最高点a 的大小打算了开口的宽窄,a 越大,开口越小,图像两边4 a越靠近 y 轴, a 越小,开口越大,.图像两边越靠近 x 轴； a,b 的符号共同打算了对称轴的位置, 当 b=0 时,对称轴 x=0,即对称轴为即对称轴在y 轴左侧,垂直于x 轴负半轴,当y 轴,当 a,b 同
5、号时, 对称轴 x=b 0,即对称2 a轴在 y 轴右侧,垂直于 x 轴正半轴； c.的符号打算了抛物线与 y 轴交点的位置,c=0 时,抛物线经过原点,c0 时,与 y 轴交于正半轴；c0,开口向上,又 y=x2 x+m=x 2x+（1 2）21+m= （x1 2）2+4m144对称轴是直线x=1 2,顶点坐标为（1,4 m41）2第 2 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - （2）顶点在x 轴上方,学习必备欢迎下载顶点的纵坐标大于0,即4 m410 m1 4m1 4时,顶点在x 轴上方（3）令 x=0 ,就 y=m 即抛物线 y=x2x+m 与 y 轴交点的坐标
6、是A （0,m）AB x 轴B 点的纵坐标为 m当 x 2 x+m=m 时,解得 x 1=0,x2=1A（0,m）,B（1,m）在 Rt BAO 中, AB=1 ,OA= m SAOB =1 2OA AB=4 2x+8 或 y=x 2x81 2 m 1=4, m= 8 故所求二次函数的解析式为y=x【点评】正确懂得并把握二次函数中常数 解答此题的关键之处a,b,c.的符号与函数性质及位置的关系是例 2 （2006,重庆市）已知：m,n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根,且mn,抛物线 y= x2+bx+c 的图像经过点A（m,0）,B（0,n）,如下列图（1）求这个抛物线的解析式；（2）
7、设（1）中的抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D 的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点,过点P 作 PH x 轴,与抛物名师归纳总结 线交于 H 点,如直线BC.把 PCH 分成面积之比为2：3 的两第 3 页,共 15 页部分,恳求出P 点的坐标- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载【分析】（1）解方程求出 m,n 的值用待定系数法求出 b,c 的值（ 2）过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于点 M,可求出DMC ,梯形 BDBO , BOC 的面积,.用割补法可求出BCD 的面积（
8、 3）PH 与 BC 的交点设为E 点,就点 E 有两种可能：EH=3 2EP, EH=2 3EP【解答】（1）解方程 x26x+5=0,得 x 1=5,x2=1由 mn ,有 m=1,n=5所以点 A ,B 的坐标分别为 分别代入 y=x2+bx+c ,A（1,0）,B（0,5）将 A（1,0）,B（0,5）的坐标得c1bc0,解这个方程组,得b54,5c所以抛物线的解析式为y=x24x+5 （2）由 y= x24x+5,令 y=0,得 x24x+5=0 解这个方程,得 x 1=5,x2=1所以点 C 的坐标为（ 5,0）,由顶点坐标公式运算,得点 过 D 作 x 轴的垂线交 x 轴于 M
9、,如下列图就 SDMC=1 9 （ 52）=272 2D（ 2, 9）S梯形MDBO =1 2 2 （ 9+5）=14,25 2=15SBDC =1 2 5 5=25 2所以 SBCD =S梯形MDBO +SDMC SBOC =14+27 2（3）设 P 点的坐标为（ a,0）名师归纳总结 - - - - - - -由于线段 BC 过 B,C 两点,所以BC 所在的直线方程为y=x+5 那么, PH 与直线 BC 的交点坐标为E（a,a+5）,PH 与抛物线y=x2+4x+5. 的交点第 4 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载坐标为 H（a,
10、a24a+5）2 m2由题意,得 EH=3 2EP,即（ a24a+5）（ a+5）= 3 2（a+5）解这个方程,得a=3 2或 a= 5（舍去）EH=2 3EP,得（ a 24a+5）（ a+5）=32（a+5）解这个方程,得a=2 3或 a= 5（舍去）P 点的坐标为（3,0）或（2 3,0）2例 3 （2006,山东枣庄）已知关于x 的二次函数y=x2mx+m21与 y=x2 mx22,这两个二次函数的图像中的一条与x 轴交于 A,B 两个不同的点（1）试判定哪个二次函数的图像经过A,B 两点；（2）如 A 点坐标为（ 1,0）,试求 B 点坐标；（3）在（ 2）的条件下,对于经过A
11、,B 两点的二次函数,当x 取何值时, y 的值随x.值的增大而减小？名师归纳总结 【解答】（1）对于关于x 的二次函数y=x2mx+2 m21第 5 页,共 15 页由于 b 24ac=（ m） 4 12 m21=m220,2所以此函数的图像与x 轴有两个不同的交点m22故图像经过A,B 两点的二次函数为y=x2mx2（ 2）将 A （ 1, 0）代入 y=x2mx2 m22得 1+m 2 m2=02整理,得 m22m=0解得 m=0 或 m=2当 m=0 时, y=x21令 y=0,得 x21=0解这个方程,得 x 1=1,x2=1此时,点 B 的坐标是 B（1,0）当 m=2 时, y=
12、x 22x3令 y=0,得 x 22x 3=0解这个方程,得 x 1=1, x2=3此时,点 B 的坐标是 B（3,0）（ 3）当 m=0 时,二次函数为 y=x 21,此函数的图像开口向上,对称轴为 x=0,所以当 x0 时,函数值 y 随 x 的增大而减小当 m=2 时,二次函数为 y=x 22x3=（x1）2 4,此函数的图像开口向上,对称轴为 x=1 ,所以当 x1 时,函数值 y 随 x 的增大而减小【点评】此题是一道关于二次函数与方程、不等式有关学问的综合题,但它仍旧是反映函数图像上点的坐标与函数解析式间的关系,抓住问题的实质,敏捷运用所学学问,这类综合题并不难解决名师归纳总结 -
13、 - - - - - -第 6 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 强化训练一、填空题1（2006,大连）右图是二次函数y 1=ax2+bx+c 和一次函数y 2=mx+n 的图像, .观看图像写出 y2y 1 时, x 的取值范围 _2（2005,山东省）已知抛物线y=a2+bx+c 经过点 A（ 2,7）,B（6, 7）,C（3, 8）,.就该抛物线上纵坐标为8 的另一点的坐标是 _3已知二次函数 y=x 2+2x+c 2 的对称轴和 x 轴相交于点（ m,0）,就 m 的值为 _4（2005,温州市）如二次函数 y=x 24x+c 的图像
14、与 x 轴没有交点,其中 c 为整数, .就c=_ （只要求写出一个） 5（2005,黑龙江省）已知抛物线 是 _y=ax2+bx+c 经过点（ 1,2）与（ 1,4）,就 a+c.的值6甲,乙两人进行羽毛球竞赛,甲发出一非常关键的球,出手点为 P,羽毛球飞行的水平距离 s（ m）与其距地面高度 h（m）之间的关系式为 h=1 s 2+2 s+3如下左图所12 3 2示, .已知球网 AB 距原点 5m,乙（用线段 CD 表示）扣球的最大高度为 9m,设乙的4起跳点 C 的横坐标为 m,如乙原地起跳,因球的高度高于乙扣球的最大高度而导致接球失败,就 m.的取值范畴是 _7（2005,甘肃省）二
15、次函数 y=x22x 3 与 x 轴两交点之间的距离为 _名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载8（2022,甘肃庆阳）兰州市“ 安居工程” 新建成的一批楼房都是 8 层高, .房子的价格 y（元 /m2）随楼层数 x（楼）的变化而变化（x=1 ,2,3,4,5, 6,7,8）,已知点（ x,y） .都在一个二次函数的图像上（如上右图）,就 6 楼房子的价格为 _元/m2二、挑选题9（2022,长沙）二次函数y=ax2+bx+c 的图像如下列图,.就以下关系式不正确选项（）A a0 Ca+b+c0 第
16、 15 题 第 9 题 第 12 题 10（2022,威海）已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像过点 A（1,2）,B（ 3,2）,C（ 5,7）如点 M （ 2,y 1）,N（ 1,y 2）,K（8,y3）也在二次函数 y=ax 2+bx+c 的图像上,就以下结论中正确选项（）A y1y 2y 3 By2y 1y 3 Cy3y1y 2 Dy1y 30）交 x 轴 A ,B 两点,交y 轴于点 C,抛物线的对称轴交 x 轴于点 E,点 B 的坐标为（ 1,0）（1）求抛物线的对称轴及点 A 的坐标；（2）过点 C 作 x 轴的平行线交抛物线的对称轴于点 P,你能判定四边形 ABCP.
17、是什么四边形？并证明你的结论；（3）连接 CA 与抛物线的对称轴交于点D,当 APD= ACP 时,求抛物线的解析式名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 18（ 2006,重庆）如下列图,学习必备欢迎下载mn,.抛物线m,n 是方程 x26x+5=0 的两个实数根,且y=x2+bx+c 的图像经过点A（ m, 0）,B（0, n）（1）求这个抛物线的解析式；（2）设（ 1）中抛物线与 x 轴的另一交点为 C,抛物线的顶点为 D,试求出点 C,D的坐标和BCD 的面积；（3）P 是线段 OC 上的一点,过点 P 作 PH
18、x 轴,与抛物线交于点 H,如直线 BC.把 PCH 分成面积之比为 2：3 的两部分,恳求出点 P 的坐标19（ 2006,太原市）某地方案开凿一条单向行驶（从正中通过）的隧道,.其截面是抛物线拱形 ACB ,而且能通过最宽3m,最高 3.5m 的厢式货车 按规定, .机动车通过隧道名师归纳总结 - - - - - - -时车身距隧道壁的水平距离和铅直距离最小都是0.5m.为设计这条能使上述厢式货车恰好完全通过的隧道,在图纸上以直线AB 为 x 轴,线段 AB 的垂直平分线为y 轴, .建立如下列图的直角坐标系,求抛物线拱形的表达式,隧道的跨度AB 和拱高 OC第 10 页,共 15 页精选
19、学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载20（ 2005,河南省）已知一个二次函数的图像过如下列图三点（1）求抛物线的对称轴；（2）平行于 x 轴的直线 L 的解析式为 y=25,抛物线与 x 轴交于 A,B 两点 .在抛物4线的对称轴上找点 P,使 BP 的长等于直线 L 与 x 轴间的距离求点 P 的坐标21（ 2005,吉林省）如图 576 所示,二次函数 y=ax2+bx+c （a 0）的图像与 x.轴交于A ,B 两点,其中A 点坐标为（ 1,0）,点 C（0, 5）,D（1, 8）在抛物线上,M为抛物线的顶点（ 1）求抛物线的解析式； （2）求 MCB 的面
20、积名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载22（ 2005,长春市）如下列图,过 y 轴上一点 A（0,1）作 AC 平行于 x 轴,交抛物线y=x 2（x0）于点 B,交抛物线 y=1 x 2（x0）于点 C；过点 C 作 CD 平行于 y 轴,2交抛物线 y=x2于点 D；过点 D 作 DE 平行于 x 轴,交抛物线 y=1 x2 于点 E4（ 1）求 AB ：BC；（ 2）判定 O,B,E 三点是否在同始终线上？假如在,写出直线解析式；假如不在,请说明理由名师归纳总结 - - - - - - -
21、第 12 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载答案1 2x1 2（1, 8）31 4答案不唯独（略）53 65m4+ 7 74 82080 9C 10B 11B 12 D 13D 14B 15B 16D 17（ 1）对称轴是直线 x=2 ,A 点坐标为（ 3,0）（ 2）四边形 ABCP 是平行四边形（ 3） ADE CDP,PE PD=1 23 3 ADE PAE, 12=t 3t, t=3将 B（ 1,0）代入 y=ax2+4ax+t 得 t=3a,a=抛物线解析式为y=3x2+4 3 3x+23 318（ 1）y= x24x+5 名师归纳总
22、结 - - - - - - -（2）C（ 5,0）,D（ 2, 9）SBCD=15 （3）设 P（a, 0）, BC 所在直线方程为y=x+5 PH 与直线 BC 的交点坐标为E（a,a+5）PH 与抛物线 y=x24x+5 的交点坐标为H（a, a24a+5）如 EH=3 2EP就（ a24a+5）（ a+5） = 3 2（a+5）,就 a=3 2或 a=5（舍）如 EH=2 3EP,就（ a24a+5）（ a+5） = 2 3（a+5）,就 a=2 3或 a=5（舍）P（3 2,0）或（2 3,0）19如下列图,由条件可得抛物线上两点的坐标分别为M （3 2,4）,N（2,7 2）,设抛物
23、线的表达式为y=ax2+c,就9 4ac4,4ac7 2.第 13 页,共 15 页精选学习资料 - - - - - - - - - 解这个方程组,得a2 , 7学习必备欢迎下载c6514y=2 x 2+65,当 x=0 时, y=65,7 14 14C（0,65）,OC=6514 14当 y=0 时,2 x2+65 =0,解得 x=657 14 2A（65,0）, B（65,0）,AB= 65 2 2所以,抛物线拱形的表达式为 y=2 x 2+657 14隧道的跨度 AB 为 65 m,拱高 OC 为65 m1420（ 1）设二次函数的解析式为 y=ax 2+bx+c c 3 a 1依据题意
24、,得 a b c 2,解得 b 616 a 4 b c 5 c 3即 y=x 2+6x 3=（ x3）2+6抛物线的对称轴为直线 x=3（2）解得点 B（3+ 6 ,0）设点 P 的坐标为（ 3,y）,如图,名师归纳总结 由勾股定理,得BP2=BC2+PC2,第 14 页,共 15 页即 BP2=（3+6 3）2+y2=y2+6L 与 x 轴的距离是25,4- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载abc0,解得a41y2+6=（25 4）2,解 y=234所求点 P 为（ 3,23 4）或（ 3,23 4）21（ 1）设抛物线的解析式为y=a
25、x2+bx+c ,依据题意得c5b所求抛物线的解析式为y=x2+4x+5 c8abc5（2） C 点坐标为（ 0,5）, OC=5 ,令 y=0就 x 2+4x+5=0 ,解得 x 1=1,x2=5B 点坐标为（ 5, 0）, OB=5 y=x2+4x+5= （ x2）2+9,顶点 M 的坐标为（ 2,9）过点 M 作 MN AB 于点 N,就 ON=2 ,MN=9 S MCB =S梯形 OCMN +S BNM S OBC =1 2（5+9） 2+1 2 9（52）1 2 5 5=1522（ 1） A （0,1）B 点纵坐标为 1,1=x 2,x0,x=1, B（1,1）,AB=1 C 点纵坐标为 1,1=1 x2,x2=4,x0,x=2 4 C（2, 1）,BC=1, AB ：BC=1： 1名师归纳总结 （2）D 点的横坐标为2,D 在 y=x2 上,就 D（2,4）并且直线解析式为y=xE 点的纵坐标为4,E 在 y=1 4x2,就 E（4,4）过 O（0,0）,B（1,1）的直线解析式为y=x E（ 4,4）在这条直线上, 所以 O,B,E 三点在同一条直线上,第 15 页,共 15 页- - - - - - -