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1、淄博市第一中学2021-2022学年高二下学期期中考试数学试题一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）1. 设的分布列为，则（ ）A. B. C. D. 【1题答案】【答案】A【解析】【分析】根据求解即可.【详解】.故选：A2. 乒乓球单打决赛在甲、乙两名运动员间进行，决赛采用局胜制即先胜局者获胜，比赛结束，已知每局比赛中甲获胜的概率为，则在本次决赛中甲以的比分获胜的概率为( )A. B. C. D. 【2题答案】【答案】C【解析】【分析】甲以的比分获胜，甲只能在、次中失败次，第次胜，根据独立事件概率即可计算【详解】甲以的比分获胜，则甲只能在第、次中失败次，第次获胜，因此所求概率：故选：C3
2、. 若函数，则（ ）A. B. C. D. 【3题答案】【答案】C【解析】【分析】求导，判定的单调性，即可比较大小【详解】解：，令，解得：，故在递增，故，故选：C4. 一盒中装有10张彩票，其中2张有奖，8张无奖，现从此盒中不放回地抽取2次，每次抽取一张彩票.若已知有一次为有奖，则另一次也是有奖的概率为（ ）A. B. C. D. 【4题答案】【答案】C【解析】【分析】设事件A为“有一次有奖”，事件B为“2张均有奖”，根据条件概率公式计算即可.【详解】设事件A为“有一次有奖”，事件B为“2张均有奖”，.故选：C.5. 某市政府决定派遣名干部分成两个小组，到该市甲、乙两个县去检查扶贫工作，若要求
3、每组至少人，则不同的派遣方案共有（ ）A. 种B. 种C. 种D. 种【5题答案】【答案】C【解析】【分析】由题意可得分组中两组的人数分别为、或、，然后根据分步乘法原理和分类加法原理可求得结果.【详解】两组至少都是人，则分组中两组的人数分别为、或、，两组的人数为和的方法数为（种），两组的人数都是的方法为（种），则不同的派遣方案种数为（种)故选：C6. 等比数列中，函数，则A. B. C. D. 【6题答案】【答案】C【解析】【分析】将函数看做与的乘积，利用乘法运算的求导法则，代入可求得；根据等比数列性质可求得结果.【详解】又本题正确选项：【点睛】本题考查导数运算中的乘法运算法则的应用，涉及到等
4、比数列性质应用的问题，关键是能够将函数拆解为合适的两个部分，从而求解导数值时直接构造出数列各项之间的关系.7. 设某医院仓库中有10盒同样规格的X光片，已知其中有5 盒、3盒、2盒依次是甲厂、乙厂、丙厂生产的.且甲、乙、丙三厂生产该种X光片的次品率依次为，现从这10盒中任取一盒，再从这盒中任取一张X光片，则取得的X光片是次品的概率为（ ）A. 0.08B. 0.1C. 0.15D. 0.2【7题答案】【答案】A【解析】【分析】利用条件概率公式即可求解.【详解】以A1，A2，A3分别表示取得的这盒X光片是由甲厂、乙厂、丙厂生产的，B表示取得的X光片为次品，P=，P=，P=，P=，P=，P=；则由
5、全概率公式，所求概率为P=P+P+P=+=0.08.故选：A8. 已知函数f(x)x(lnxax)有两个极值点，则实数a的取值范围是( )A. (，0)B. C. (0,1)D. (0，)【8题答案】【答案】B【解析】【详解】函数f（x）=x（lnxax），则f（x）=lnxax+x（a）=lnx2ax+1，令f（x）=lnx2ax+1=0得lnx=2ax1，函数f（x）=x（lnxax）有两个极值点，等价于f（x）=lnx2ax+1有两个零点，等价于函数y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点，在同一个坐标系中作出它们的图象（如图）当a=时，直线y=2ax1与y=lnx的图象相切，由图可知，
6、当0a时，y=lnx与y=2ax1的图象有两个交点则实数a的取值范围是（0，）故选B二、多选题（本大题共4小题，共20.0分）9. 设离散型随机变量的分布列为若离散型随机变量满足，则下列结果正确的有（ ）A B. ，C. ，D. ，【9题答案】【答案】CD【解析】【分析】根据频率和为1，求出，再根据离散型随机变量的分布列的性质求出，从而可进行判断【详解】解：由离散型随机变量的分布列的性质得，离散型随机变量满足，故选：CD10. 已知数列的前项和为，下列说法正确的是（ ）A. 若，则是等差数列B. 若，则是等比数列C. 若是等差数列，则D. 若是等比数列，且，则【10题答案】【答案】BC【解析】
7、【分析】A.先根据求解出在时的通项，然后验证是否符合，由此即可判断；B.同A，先根据计算出的通项公式，然后根据通项即可判断；C.根据等差数列的前项和公式进行化简计算并判断；D.采用作差法化简计算的结果，根据结果进行判断即可.【详解】若，当时，不满足，故A错误.若，当时，且，则，又满足，所以是等比数列，故B正确.若是等差数列，则，故C正确.，故D错误.故选：BC.11. 在的展开式中，下列说法正确的是（ ）A. 各项系数和为1B. 第2项的二项式系数为15C. 含的项的系数为D. 不存在常数项【11题答案】【答案】AC【解析】【分析】由题意利用二项式系数的性质，二项展开式的通项公式，逐一判断各个
8、选项是否正确，从而得出结论【详解】在的展开式中,令，可得所有项的系数和为，故A正确；展开式的第二项的二项式系数为，故B错误；它的通项公式为，令，可得，故含的项的系数为，故C正确；令，可得，故第5项为常数项，故D错误，故选：AC12. 一盒中有个乒乓球，其中个未使用过，个已使用过.现从盒子中任取个球来用，用完后再装回盒中.记盒中已使用过的球的个数为，则下列结论正确的是( )A. 的所有可能取值是3、4、5B. 最有可能的取值是C. 等于的概率为D. 的数学期望是【12题答案】【答案】AD【解析】【分析】取出的三个球可能是：1个未使用过的和2个使用过的、2个未使用过的和1个使用过的、3个未使用过的
9、，故放回盒中后已使用过的球的个数X可能是3、4、5，根据古典概型概率计算方法分别计算出概率及X的分布列和数学期望逐项判断即可【详解】由题意可得：的所有可能取值为3、4、5，且，最有可能的取值是，故选：AD三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）13. 函数的极小值为_【13题答案】【答案】0【解析】【分析】利用导数研究函数的单调性，由此可求得该函数的极小值.【详解】，定义域为，令，可得或，当或时，此时，函数单调递增；当时，此时，函数单调递减，所以，函数在处取得极小值，且极小值为.故答案为：.14. 中国古代数学著作算法统宗中有这样一个问题：“三百七十八里关，初行健步不为难，次日脚痛减一半，六
10、朝才得至其关，要见次日行里数，请公仔细算相还.”其意思是有一个人走378里路，第一天健步行走，从第二天起脚痛，每天走的路程为前一天的一半，走了6天后到达目的地，请问这个人最后一天走了_里路.【14题答案】【答案】6【解析】【详解】由题意可知,此人每天走的路程构成了公比的等比数列,设该数列为,其前项和为则有,解得,故.15. 在航天员进行的一项太空实验中，要先后实施6个程序，其中程序只能出现在第一或最后一步，程序和在实施时必须相邻，则实验顺序的编排方法共有_种（用数字作答）【15题答案】【答案】96【解析】【详解】先排程序有两种方法，再将和捆一起后排，有种方法，因此共有种方法.考点：排列与计数原
11、理.16. 已知对任意恒成立，且，则_；_.【16题答案】【答案】 . . 【解析】【分析】先换元，令，把原等式变为，通过、求得和，然后将等式两端求导之后再赋值可得结果.【详解】设，则，由此得，解得，另一方面，等式两边对求导，得，再令，得.故答案为:；四、解答题（本大题共6小题，共70.0分）17. 已知(，)的展开式的第五六七项的二项式系数成等差数列.（1）求；（2）设，求：(其中为小于等于的最大奇数).【17题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】(1)利用第五、六、七项的二项式系数成等差数列列出方程求解即得；(2)对于给定展开式中x赋值，再经计算即可作答.【详解】(1)第五六七项
12、的二项式系数分别是，则，即，整理可得，解得或，而，所以；(2)由(1)知，即，令，可得，令，可得，两式相减，得，即，所以.18. 已知数列为公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且、成等比数列，.设数列的前项和为，且满足.（1）求数列、的通项公式；（2）令，证明：.【18题答案】【答案】（1）,（2）证明见解析【解析】【分析】（1）利用首项和公差构成方程组，从而求解出的通项公式；由的通项公式求解出的表达式，根据以及，求解出的通项公式；（2）利用错位相减法求解出的前项和，根据不等关系证明即可.【详解】（1）设首项为，公差为.由题意，得，解得，当时，.当时，满足上式.（2），令数列的前项和为.两式
13、相减得恒成立，得证.【点睛】本题考查等差数列、等比数列的综合应用，难度一般.（1）当用求解的通项公式时，一定要注意验证是否成立；（2）当一个数列符合等差乘以等比的形式，优先考虑采用错位相减法进行求和，同时注意对于错位的理解.19. 已知函数的图象经过点，曲线在点处的切线恰好与直线垂直.（1）求实数，的值；（2）若函数在区间上单调递增，求的取值范围.【19题答案】【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）M点坐标代入函数解析式，得到关于的一个等式；曲线在点处的切线恰好与直线垂直可知,列出关于的另一个等式，解方程组，求出的值.（2）求出，令，求出函数的单调递增区间，由题意可知是其子集，即可求
14、解.【详解】（1）的图象经过点,因，则,由条件，即，由解得.（2），令得或，函数在区间上单调递增，,或，或【点睛】本题主要考查了函数导数的几何意义，直线垂直的充要条件，利用导数确定函数的单调区间，属于中档题.20. 在中国足球超级联赛中，甲、乙两队将分别在城市、城市进行两场比赛根据两队之间的历史战绩统计，在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为；在城市比赛时，甲队胜乙队的概率为，平乙队的概率为，两场比赛结果互不影响规定每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分（1）求两场比赛甲队恰好负一场的概率；（2）求两场比赛甲队得分的分布列和期望【20题答案】【答案】（1） （2）分布列见解析，期望为
15、【解析】【分析】（1）分别计算出甲队在城市、比赛时负于乙队的概率，然后利用互斥事件和独立事件的概率公式可求得所求事件的概率；（2）分析可知随机变量的可能取值有、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【小问1详解】解：设事件表示在城市比赛时甲队负，事件表示在城市比赛时甲队负，则，两场比赛甲队恰好负一场的概率为.【小问2详解】解：两场比赛甲队得分的可能取值为、，两场比赛甲队得分的分布列为： 所以，.22. 设是等比数列，公比大于，其前项和为，是等差数列已知，（1）求和的通项公式；（2）设数列的前项和为，求；求：【22题答案】【答案】（1）； （2）；【解析】
16、【分析】（1）根据题意分别求出等比数列的公比，和等差数列的首项和公差，即可得出答案；（2）利用分组求和法即可得出答案；利用裂项相消法求解即可.【小问1详解】解：设等比数列的公比为，由，可得，可得故设等差数列的公差为，由，即，得，由，即，得，故；【小问2详解】解：由（1），可得，故； ，24. 已知函数（1）设曲线在点处的切线为l，求l的斜率的最小值；（2）若对恒成立，求a的取值范围【24题答案】【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）求出导函数，即斜率，引入函数，利用导数的知识求得最小值；（2）问题变形为在上恒成立，引入函数，由导数求得的最小值后可得的范围【详解】解：（1），则，设，则，当时，；当时，所以，即l的斜率的最小值为（2）由题知，在上恒成立，令，则，因为，所以设，易知在上单调递增因为，所以存在，使得，即当时，在上单调递减；当时，在上单调递增所以，从而，故a的取值范围为【点睛】关键点点睛：本题考查用导数的几何意义，用导数求函数的最值，研究不等式恒成立问题解决不等式恒成立的方法是分离参数后转化为求函数的最值，然后解相应的不等式得出结论问题的转化是解题关键16