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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思例 1已知 tan 2,求（ 1）cos sin；（2）sin 2sin . cos 2 cos 2的值 . cos sinsin解：（ 1）cos sin 1cos 1 tan 1 2 3 2 2；cos sin 1 sin 1 tan 1 2cos2 2 2 sin 2sin cos 2 cos 2 sin sin2 cos2 2 cossin coscos sin 22cos sin 22 cos sin1 2 22 21 2 43 2. 说明：利用齐次式的结构特点（假如不具备,通过构造的方法得到）,
2、进行弦、切互化,就会使解题过程简化；例 2求函数y1sinxcosxsinxcos 2的值域；第 1 页,共 5 页解：设tsinxcosx2 sinx2,2,就原函数可化为4yt2t1 t123,由于t2,2,所以24当t2时,y max32,当t1时,y min3,24所以,函数的值域为y3,2；4例 3已知函数f x 4sin2x2sin 2x2,xR；（1）求f x 的最小正周期、f x 的最大值及此时x 的集合；（2）证明：函数f x 的图像关于直线x对称；8解：f x 4sin2x2sin 2 x22sinx21 2sin2x 2sin 2x2cos 2x22 sin2x41所以f
3、 x 的最小正周期 T ,由于 xR,所以,当 2x2k,即xk3时,f x 最大值为 2 2 ；428名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思2 证 明 ： 欲 证 明 函 数 f x 的 图 像 关 于 直 线 x 对 称 , 只 要 证 明 对 任 意 x R , 有8 f x f x 成立,8 8由于 f x 2 2 sin2 x 2 2 sin 2 2 2 cos2 x ,8 8 4 2 f x 2 2 sin2 x 2 2 sin 2 2 2 cos2 x ,8 8 4 2所以 f x f x
4、成立,从而函数 f x 的图像关于直线 x 对称；8 8 8例 4 已知函数 y= 1 cos 2x+ 3 sinx cosx+1 （xR）, 2 2（1）当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合；（2）该函数的图像可由 y=sinxxR的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到？解：（ 1）y= 1 cos 2x+ 3 sinx cosx+1= 1 2cos 2x1+ 1 + 3 （2sinx cosx ）+1 2 2 4 4 4= 1 cos2x+ 3 sin2x+ 5 = 1 cos2x sin +sin2x cos + 54 4 4 2 6 6 4= 1 sin2x+ + 52 6 4所
5、以 y 取最大值时,只需 2x+ = +2k , （kZ）,即 x= +k , （kZ）；6 2 6所以当函数 y 取最大值时,自变量 x 的集合为 x|x= +k ,k Z 6（2）将函数 y=sinx 依次进行如下变换：（i ）把函数 y=sinx 的图像向左平移,得到函数 y=sinx+ 的图像；6 6（ii ）把得到的图像上各点横坐标缩短到原先的 1 倍（纵坐标不变） ,得到函数 y=sin2x+ 的图像；2 6（iii）把得到的图像上各点纵坐标缩短到原先的 1 倍（横坐标不变） ,得到函数 y= 1 sin2x+ 的图像；2 2 6（iv ）把得到的图像向上平移 5 个单位长度,得到
6、函数 y= 1 sin2x+ + 5 的图像；4 2 6 4综上得到 y= 1 cos 2x+ 3 sinxcosx+1 的图像；2 2说明：此题是 2000 年全国高考试题,属中档偏简单题,主要考查三角函数的图像和性质；这类题一般有两2 2种解法：一是化成关于 sinx,cosx 的齐次式,降幂后最终化成 y= a b sin x+ +k 的形式,二是化成某一个三角函数的二次三项式；此题（1）仍可以解法如下：当 cosx=0 时, y=1；当 cosx 0 时,1cos 2x 3sin x cos x 1 3 tan xy= 22 22 +1= 2 22 +1 sin x cos x 1 t
7、an x名师归纳总结 第 2 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思化简得： 2y 1tan2x3 tanx+2y 3=0 fx 的值tanx R, =3 8y 12y 3 0, 解之得：3 y474ymax=7 ,此时对应自变量 4x 的值集为 x|x=k +6,k Z 例 5已知函数fxx sin3A sincosx3cos2x.33（）将 fx 写成x的形式,并求其图象对称中心的横坐标；（）假如ABC的三边 a、b、c 满意 b 2=ac,且边 b 所对的角为x,试求 x 的范畴及此时函数域. 解：
8、fx1 2sin2x33 2 1cos2x1 2sin2xz 3cos2x3sin2xz33,333232322x（）由sin=0 即2x3kk得x3 k1k332即对称中心的横坐标为3 k1,kz2（）由已知b 2=ac cosxa2c2b2a2c2ac2 acacac1,2ac2 ac221cosx1,0x3,32x35239|32|52|,sin3sin2x31,3sin2x3139332即f x 的值域为31,3. 2综上所述,x0,3,fx值域为31,3 . 2说明：此题综合运用了三角函数、余弦定理、基本不等式等学问,仍需要利用数形结合的思想来解决函数值域的问题,有利于培育同学的运算
9、才能,对学问进行整合的才能；例 6在ABC 中, a、b、c 分别是角 A、B、C 的对边,且cos cosC3ac,A0,所以cosB1 3,Bb1求sin B的值；2如b4 2,且 a=c ,求ABC 的面积；解： 1由正弦定理及cosC3 ac,有cos cosC3sinAsinC,cosBbBsinB即 sinBcosC3sinAcosBsinCcosB ,所以 sinBC3sinAcosB ,又由于 ABC ,sinBCsinA ,所以 sinA3sinAcosB ,由于 sin名师归纳总结 第 3 页,共 5 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - -
10、 - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思又 0B ,所以sinB12 cosB232；2在ABC 中,由余弦定理可得a2c22ac32,又 ac ,0,3所以有4a232,即a224,所以ABC 的面积为3S1acsinB1a2sinB8 2；22例 7已知向量a2cos,2sin, =sin,cos ,xat23 b,ykab ,且x y0,1求函数kf t 的表达式；2如t 1 3, ,求f t 的最大值与最小值；解： 1a24,b21,a b0,又x y0,所以x yat23 kabka2 t23 b2tk t23a b所以k1t33t ,即kf t 1t33t ；44442由1 可
11、得,令f t 导数3t230,解得t1,列表如下：44t 1 1,1 1 1,3 f t 导数0 0 + f t 极大值递减微小值递增而f 11,f11,f39,所以f t max9,f t min1；22222第 4 页,共 5 页例 8已知向量acos,sin , =cos,sin |,ab|2 5,5（1）求 cos 的值；2如0,0,且sin5,求sin的值；2213名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 读书之法 ,在循序而渐进 ,熟读而精思解： 1由于acos,sin , =cos,sin ,22 5 5,第 5 页,共 5 页所以
12、abcoscos,sinsin,又由于|ab|2 5,所以coscos2sinsin5即22cos4,cos3；55,632 0,0 0,22又由于cos3,所以sin 4,55sin5,所以cos12,所以sinsin136513例 9平面直角坐标系有点P ,1cosx ,Qcosx 1, ,x4,4（1）求向量 OP 和 OQ 的夹角的余弦用 x 表示的函数fx；（2）求的最值 . 解：（ 1）OPOQOPOQcos,cosxcosx 12 cosxcoscos12cosxx2 cos即fx12cosxx4x42cos（2）coscosx21x,又cosx1x2 ,32cos2. cos2cos2321,min0,maxarccos23说明：三角函数与向量之间的联系很紧密,解题时要时刻留意；名师归纳总结 - - - - - - -