2022年解直角三角形知识点强化记忆.docx

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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载第24章 解直角三角形学问点强化记忆学问点 1：正弦、余弦、正切、余切的概念（ 1）锐角 A、 B（ A+ B=90 ）的三角函数：互余两角的三角函数关系取值范畴全称简写sin cos tan 或 tgcot 或 ctg 、ctn锐角 A 的正弦 sinA=A 的对边=cosB 0sinA 1 sine 斜边锐角 A 的余弦 cosA=A 的邻边=sinB 0cosA1 cosine 斜边锐角 A 的正切 tanA=A 的对边=cotB tanA0 tangent A 的邻边锐角 A 的余切 cotA=A 的邻边=tanB c

2、otA 0 cotangent A 的对边注：对于锐角A 的每一个确定的度数,其对应的三角函数值也是唯独确定的；（）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的,要防止应用时对任意的三角形任凭套用定义；（）不是与的乘积,是三角形函数记号,是一个整体；“ ” 表示一个比值,其他三个三角函数记号也是一样的；（）锐角三角函数值与三角形三边长短无关,只与锐角的大小有关；学问点 2：同角三角函数的关系：（ 1）平方关系：sin 2A+cos2A =1 cosA图 19.3.1 （ 2）商数关系：tanA=sinA,cotA=cosAsinA（ 3）倒数关系：tanA =1A,tanAcotA=1 co

3、ttanAtanB=1 cotAcotB=1 （ ）注：同一锐角的正弦和余弦的平方和等于,同一锐角的正弦与余弦的商等于正切,同一锐角的余弦与正弦的商等于余切；同一锐角的正切与余切的积为,互为倒数；互余两角正切值的积为1；互余两角余切值的积为1（）这些关系式都是恒等式,正反均可运用,同时仍要留意它们的变形,如： sin A 12 cos A,cosA1sin2A ；由于 A 为锐角,所以0sinA 1,0 cosA1 所以其中的负值舍去名师归纳总结 （）2 是（ ）2 的简写,读作“ ” 的平方；不能将2 写成第 1 页,共 8 页 2,前者是 的正弦值的平方,后者表示2的正弦值；- - - -

4、 - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点 3：、互为余角的三角函数之间的关系（诱导公式）如 ,就（ ）,（ ）,（ ）,（ ）；即任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值；学问点 4：三角函数值的变化范畴及规律锐角三角函数的变化情形：在0 90 之间,锐角A 的正弦值随着角度的增大而增大；在 0 90 之间,锐角在 0 90 之间,锐角在 0 90 之间,锐角A 的余弦值随着角度的增大而减小；A 的正切值随着角度的增大而增大；A 的余切值随

5、着角度的增大而减小；即（）当 时, 、 随着 的增大而增大, 、 随着 的增大而减小；（）当 时, , ； 0、 0 注： 1sinA 的值从 0 增加 到 1 2cosA 的值从 1 减小 到 0（3） tanA 的值从 0 开头 增大 ,tan90 的值 不存在 ；（ 4）cotA 的值逐步 减小 到 0, cot0 的值 不存在学问点 5：特殊角的三角函数值特殊角有 、 、 、 、 ,它们的三角函数值如下表：三角函数值123sin222cos321222tan3不存在33cot不存在333留意：记忆特殊角的三角函数值,可用下述方法： 、 、 、 、 的正弦值分别是名师归纳总结 - - -

6、 - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 0、1、2、3、4学习必备欢迎下载4、3、2、1、0；,而它们的余弦值分别是2222222222 、 、 的正切值分别是1、2、3,而它们的余切值分别是3、2、1 3；32112学问点 6：用运算器运算三角函数值用运算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必需把握的；学问点 7：解直角三角形的类型与解法：三角 形类型 已 知 与 解 法两已知条件解法步骤两直角边（ a,b）1、由 tanA =a求 A b2、 B90 A 3、ca2b2 Rt ABC , C=90边斜边 c,直角边 a 1、由

7、 sinA =a求 A c2、 B90 A 图 19.3.1 一锐角 A、3、bc2a2 1、 B90 A 2、由 tanA =aabtanA b运算边的口诀：锐角 A 的邻边 b 3、由 cosA =bc=b直角边、ccosA有斜求对乘正弦一锐角1、 B90 A 有斜求邻乘余弦b 2、由 cotA = aba cotA 无斜求对乘正切边锐角 A、无斜求邻乘余切一锐角 A 的对边 a 3、由 sinA =ac=a角csinA1、 B90 A 斜边 c、锐角 A 2、由 sinA =aa=csinA 第 3 页,共 8 页c3、由 cosA =bb=ccosA c已知一锐角、斜边,求对边,用锐角

8、的正弦 ；求邻边,用锐角的余弦已知一锐角、邻边,求对边,用锐角的正切 ；求斜边,用锐角的余弦 ；已知一锐角、对边,求邻边,用锐角的余切 ；求斜边,用锐角的正弦 ；解直角三角形口诀 一 已知一边一锐角,求其余边和余角求出它们很是绕,概括三句口诀妙名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载求直角边用乘,求斜边用除灵是对边用正,是邻边用余有斜边用弦,无斜边用切 注 余边、余角即其余边和其余角已知角的三角函数,求直角边用乘,求斜边用除当已知边为斜边 时,求对边用正弦,求邻边用余弦已知始终角边求另始终角边用正切和余切口诀 二 选用关系式归

9、纳为口诀：已知斜边求直边,正弦余弦很便利；已知直边求直边,正切余切理当然；已知两边求一边,勾股定理最便利；已知两边求一角,函数关系要选好；已知锐角求锐角,互余关系要记好；已知直边求斜边,用除仍需正余弦；运算方法要挑选,能用乘法不用除；注：直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（）三边之间的关系：a2b22 c （勾股定理）；（）锐角之间的关系： ；（）边角之间的关系：“ 有斜（斜边）用弦（正弦、余弦）a,b,a,b；ccba,无斜用切（正切、余切,宁乘毋除,取原避中）,” 这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时,就用正弦或余弦,无斜边时,就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用

10、除法时,就用乘法,不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时,就用已知数据,尽量防止用中间数据；对于非直角三角形,往往要通过作帮助线构造直角三角形来解,作帮助线的一般思路是：（）作垂线构成直角三角形；（）利用图形本身的性质,如等腰三角形顶角平分线垂直于底边；学问点 8：有关名词、术语的意义及高度的测量的方法 1、 铅垂线：重力线方向的直线；2、 水平线：垂直于铅垂线的一条直线；3、 仰角与俯角：在进行测量时,从下向上看,视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看,视线与水平线的夹角叫做俯角；4、 坡面的坡度（或坡比） ：；图 19.4.3 坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（

11、或坡比）图 19.4.5 记作 i,即 i=h . l5、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角,记作a,有 ih =tan a l6、高度的测量的方法：构造两个相像的直角三角形,利用相像三角形的对应边成比例；名师归纳总结 （ 1）、利用平行的太阳光线（2）、利用标杆与量角仪（3）、利用物理的光学学问与平面镜第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点 8：三角形的面积公式：已知 ABC中, A、 B、 C的对应边分别是 a 、 b 、 c ,如图 2,过点 A 作 ADBC于点 D；在 Rt ABD 中, sin B A

12、D,即：AD AB sin B c sin BABS ABC 1BC AD 1a c sin B 1ac sin B （其中： B 为 a 、 c 的夹角）2 2 2同理可得：SABC1acsinB1bcsinA1absinC （三角形的面积公式）222注：三角形的面积等于两边与夹角正弦乘积的一半补充：1 基本公式：SS1a h a1b h b1c h c（ ）海伦公式：Sp papbpc222学问点 9：正弦定理、余弦定理由面积公式可得：1ac sin B 1bc sin A2 2两边同时除于 1c 得：a sin B b sin A a b2 sin A sin B同理可得,正弦定理：a

13、b csin A sin B sin C正弦定理：在 任一个三角形中,各边和它所对角的正弦的比相等；即 a = b = c =2R（R 为 ABC 外接圆半径）s i n sin B sin C余弦定理 : 如图 2：ADbsinC ,BDBCCDabcos C ,在 Rt ABD中,由勾股定理得：AB2AD2BD2c2bsinC2abcosC2整理得：c2b2sin2Ca22abcosCb2cos2Cc2b2sin2C2 cosCa22abcosCc2b2a22 abcosC整理得到余弦定理：c2a2b22 abcosC （ C为 a 、 b 的夹角）同理可得：（余弦定理及其变形）名师归纳总

14、结 a2b2c22bccosAcosA2 bc2a2第 5 页,共 8 页2 bcb2a2c22accosBcosBa2c2b22ac- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - c2a2b22abcosC学习必备2欢迎下载2cosCab2c2ab余弦定理：对于任意三角形,任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积学问点 10：三角函数与相像三角形、射影定理：如图 5,可以利用相像进行求解,也可以利用三角函数进行求解：cosAADABxx3.2如图 6,tanADEBCx6AEAC610AEAB48备注：三角函数,在解决直角三角形的一些问

15、题中,有时候会比相像书写更简洁一些三角函数与直角三角形的射影定理：直角三角形与射影定理：CD2AD BDAC2ADABCBC2BD ABDBtanACDtanBCDBDCD2AD BDAADCDcosAACADAC2AD ABcosBBCBDBC2BDABABACABBC射影定理： 直角三角形中 , 斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项, 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 学问点 11：、三角函数与一次函数设一次函数ykxb 经过点A x 1,y 1与B x2,y 2那么我们可以列出方程组：第 6 页,共 8 页y 1kx 1b就可以得到：ky 2x 2y

16、1如下列图：ktany 2kx 2bx 1名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载学问点 12：三角函数的高中定义： （图中的圆半径为单位 1）如图 3,sinyy同理可得： cosx , tany, cotx如图 4,也可以得到相同的结论,rxy但是此时要特殊留意三角函数的符号所发生的变化,从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地；学问点 13：解直角三角形的几种基本图形补充练习A 满意关系式2sin2A 7sinA+3=0 ,就 sinA 的值为；1、（2022.芜湖）已知锐角名师归纳总结 2、已知： A 为锐角,且sinA

17、=,就 tanA 的值为_3、（2022.济南）如图,AOB 是放置在正方形网格中的一个角,就cosAOB 的值是_4、（2007.遵义）如下列图是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到cm 2DEF假如 AB=8cm ,BE=4cm ,DH=3cm ,就图中阴影部分面积为_第 7 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 5.（2022.吉林）将宽为学习必备欢迎下载PQ 的长是；2cm 的长方形纸条折叠成如下列图的外形,那么折痕6、（2022.荆州）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如下列图已知集热管 AE 与支架 B

18、F 所在直线相交于水箱横截面O 的圆心 O,O 的半径为 0.2m,AO 与屋面 AB 的夹角为 32,与铅垂线 OD 的夹角为 40,BFAB 于 B,OD AD 于 D,AB=2m ,求屋面 AB 的坡度和支架 BF 的长（ 参考数据： tan18 ,tan32 ,tan40 ）7、（2007.乐山）如图,小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具,请你设计一种测量方案,在山脚水平地面上测出小树顶端 A 到水平地面的距离 AB 要求：（1）画出测量示意图； （2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）；（3）依据（ 2）中的数据运算 AB 8、（ 2022.株洲）如图 1,Rt ABC 中,

19、A=90 ,tanB= ,点 P 在线段 AB 上运动,点 Q、R 分别在线段 BC、AC 上,且使得四边形 APQR 是矩形设 AP 的长为 x,矩形 APQR 的面积为 y,已知 y 是 x 的函数,其图象是过点（ 12,36）的抛物线的一部分（如图 2 所示）（1）求 AB 的长；（2）当 AP 为何值时,矩形APQR 的面积最大,并求出最大值为明白决这个问题,孔明和争论性学习小组的同学作了如下争论：张明：图 2 中的抛物线过点（12,36）在图 1 中表示什么呢？李明：由于抛物线上的点（x,y）是表示图1中 AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系,那么, （12,36）表示当 AP=12 时, AP 的长与矩形APQR 面积的对第 8 页,共 8 页应关系赵明：对,我知道纵坐标36 是什么意思了！孔明：哦,这样就可以算出AB ,这个问题就可以解决了请依据上述对话,帮他们解答这个问题名师归纳总结 - - - - - - -