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1、学习必备欢迎下载第24章解直角三角形知识点强化记忆知识点 1：正弦、余弦、正切、余切的概念（ 1）锐角 A、 B（ A+ B=90）的三角函数：互余两角的三角函数关系取值范围全称简写锐角 A 的正弦 sinA=斜边的对边A=cosB 0sinA 1 sine sin 锐角 A 的余弦 cosA=斜边的邻边A=sinB 0cosA1 cosine cos 锐角 A 的正切 tanA=的邻边的对边AA=cotB tanA0 tangent tan( 或 tg)锐角 A 的余切 cotA=的对边的邻边AA=tanB cotA0 cotangent cot( 或 ctg 、ctn)注：对于锐角A 的每
2、一个确定的度数，其对应的三角函数值也是唯一确定的。（）正弦、余弦、正切、余切都是在直角三角形中给出的，要避免应用时对任意的三角形随便套用定义；（）不是与的乘积，是三角形函数记号，是一个整体。“”表示一个比值，其他三个三角函数记号也是一样的；（）锐角三角函数值与三角形三边长短无关，只与锐角的大小有关。知识点 2：同角三角函数的关系：（ 1）平方关系：sin2A+cos2A =1 （ 2）商数关系：tanA=AAcossin，cotA=AAsincos（ 3）倒数关系：tanA =Acot1，tanA cotA=1 tanA tanB=1 cotAcotB=1 （）注：同一锐角的正弦和余弦的平方和
3、等于，同一锐角的正弦与余弦的商等于正切，同一锐角的余弦与正弦的商等于余切。同一锐角的正切与余切的积为，互为倒数；互余两角正切值的积为1；互余两角余切值的积为1（）这些关系式都是恒等式，正反均可运用，同时还要注意它们的变形，如：sin A21cos A，2cos1sinAA；因为 A为锐角，所以0sinA 1,0 cosA1 所以其中的负值舍去（）2是（ ）2的简写，读作“”的平方；不能将2写成 2，前者是 的正弦值的平方，后者表示2的正弦值。图 19.3.1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 8 页学习必备欢迎下载知识点
4、3： 、互为余角的三角函数之间的关系（诱导公式）若，则（），（），（），（）。即任意锐角的正弦值等于它的余角的余弦值；任意锐角的余弦值等于它的余角的正弦值；任意锐角的正切值等于它的余角的余切值；任意锐角的余切值等于它的余角的正切值。知识点 4：三角函数值的变化范围及规律锐角三角函数的变化情况：在090之间，锐角A 的正弦值随着角度的增大而增大。在 090之间，锐角A 的余弦值随着角度的增大而减小。在 090之间，锐角A 的正切值随着角度的增大而增大。在 090之间，锐角A 的余切值随着角度的增大而减小。即（）当 时，、 随着 的增大而增大， 、 随着 的增大而减小；（）当 时， 。 0、 0
5、注： (1)sinA的值从 0 增加 到 1 (2)cosA 的值从 1 减小 到 0（3） tanA 的值从 0 开始 增大 ，tan90 的值 不存在 。（ 4）cotA 的值逐渐 减小 到 0, cot0的值 不存在知识点 5：特殊角的三角函数值特殊角有、，它们的三角函数值如下表：三角函数值sin122232cos322212tan333不存在cot不存在333注意：记忆特殊角的三角函数值，可用下述方法：、的正弦值分别是精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 8 页学习必备欢迎下载02、12、22、32、42，而它们的余弦
6、值分别是42、32、22、12、02；、的正切值分别是13、22、31，而它们的余切值分别是31、22、13。知识点 6：用计算器计算三角函数值用计算器求已知锐角的三角函数值和由三角函数值求对应的锐角是必须掌握的。知识点 7：解直角三角形的类型与解法：已知条件解法步骤Rt ABC ， C=90图 19.3.1 计算边的口诀：有斜求对乘正弦有斜求邻乘余弦无斜求对乘正切无斜求邻乘余切两边两直角边（ a，b）1、由 tanA =ba求 A 2、 B90 A 3、c22ba斜边 c,直角边 a 1、由 sinA =ca求 A 2、 B90 A 3、b22ac一边一角直角边、一锐角锐角 A、锐角 A 的
7、邻边 b 1、 B90 A 2、由 tanA =baabtanA 3、由 cosA =cbc=cosAb锐角 A、锐角 A 的对边 a 1、 B90 A 2、由 cotA =abbacotA 3、由 sinA =cac=sinAa斜边 c、锐角 A 1、 B90 A 2、由 sinA =caa=csinA 3、由 cosA =cbb=ccosA 已知一锐角、斜边，求对边，用锐角的正弦 ；求邻边，用锐角的余弦已知一锐角、邻边，求对边，用锐角的正切 ；求斜边，用锐角的余弦 。已知一锐角、对边，求邻边，用锐角的余切 ；求斜边，用锐角的正弦 。解直角三角形口诀( 一 ) 已知一边一锐角，求其余边和余角
8、求出它们很是绕，概括三句口诀妙已知与解法三角形类型精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 8 页学习必备欢迎下载图 19.4.3 图 19.4.5 求直角边用乘，求斜边用除灵是对边用正，是邻边用余有斜边用弦，无斜边用切 注 余边、余角即其余边和其余角已知角的三角函数，求直角边用乘，求斜边用除当已知边为斜边时，求对边用正弦，求邻边用余弦已知一直角边求另一直角边用正切和余切口诀 ( 二) 选用关系式归纳为口诀：已知斜边求直边，正弦余弦很方便；已知直边求直边，正切余切理当然；已知两边求一边，勾股定理最方便；已知两边求一角，函数关系要选
9、好；已知锐角求锐角，互余关系要记好；已知直边求斜边，用除还需正余弦；计算方法要选择，能用乘法不用除。注：直角三角形的边角关系可以从以下几个方面加以归纳：（）三边之间的关系：222abc（勾股定理）；（）锐角之间的关系：；（）边角之间的关系：ac，bc，ab，ba。“有斜（斜边）用弦（正弦、余弦），无斜用切（正切、余切，宁乘毋除，取原避中）， ”这几句话的意思是：当已知或求解中有斜边时，就用正弦或余弦，无斜边时，就用正切或余切；当所求的元素既可用乘法又可用除法时，则用乘法，不用除法；既可以由已知数据又可由中间数据求解时，则用已知数据，尽量避免用中间数据。对于非直角三角形，往往要通过作辅助线构造直
10、角三角形来解，作辅助线的一般思路是：（）作垂线构成直角三角形；（）利用图形本身的性质，如等腰三角形顶角平分线垂直于底边。知识点 8：有关名词、术语的意义及高度的测量的方法1、 铅垂线：重力线方向的直线。2、 水平线：垂直于铅垂线的一条直线。3、 仰角与俯角：在进行测量时，从下向上看，视线与水平线的夹角叫做仰角；从上往下看，视线与水平线的夹角叫做俯角。4、 坡面的坡度（或坡比） ：坡面的铅垂高度（h）和水平长度（l）的比叫做坡面坡度（或坡比）。记作 i,即i=lh. 5、坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a，有ilh=tan a6、高度的测量的方法：构造两个相似的直角三角形，利用相似三角形的
11、对应边成比例。（ 1） 、利用平行的太阳光线（2） 、利用标杆与量角仪（3） 、利用物理的光学知识与平面镜精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 8 页学习必备欢迎下载知识点 8：三角形的面积公式：已知ABC中， A、 B、 C的对应边分别是a、b、c，如图 2，过点 A作 AD BC于点 D。在Rt ABD中，sinADBAB，即：sinsinADABBcB111sinsin222ABCSBC ADa cBacB（其中： B为a、c的夹角）同理可得：111sinsinsin222ABCSacBbcAabC（三角形的面积公式）注
12、：三角形的面积等于两边与夹角正弦乘积的一半补充：知识点 9：正弦定理、余弦定理由面积公式可得：11sinsin22acBbcA两边同时除于12c得：sinsinsinsinabaBbAAB同理可得，正弦定理：sinsinsinabcABC正弦定理：在任一个三角形中，各边和它所对角的正弦的比相等。即Aas i n=Bbsin=Ccsin=2R（R 为 ABC 外接圆半径）余弦定理 : 如图 2：sinADbC，cosBDBCCDabC，在 RtABD中，由勾股定理得：222222(sin)(cos)ABADBDcbCabC整理得：22222222222sin2coscos(sincos)2cos
13、cbCaabCbCcbCCaabC2222coscbaabC整理得到余弦定理：2222coscababC（ C为a、b的夹角）同理可得：（余弦定理及其变形）2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac111(1)2()()()222abcSSa hb hc hSp papbpc基本公式：（ ）海伦公式：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 8 页学习必备欢迎下载DABC2222coscababC222cos2abcCab余弦定理：对于任意三角形，任何一边的平方等于其他
14、两边平方的和减去这两边与他们夹角的余弦的两倍积知识点 10：三角函数与相似三角形、射影定理：如图 5，可以利用相似进行求解，也可以利用三角函数进行求解：3.2cos610ADABxxAAEAC如图 6，6tan48DEBCxAAEAB备注：三角函数，在解决直角三角形的一些问题中，有时候会比相似书写更简洁一些三角函数与直角三角形的射影定理：直角三角形与射影定理：2CDAD BD2ACADAB2tantanCDBDABCDCDAD BDADCD2cosACADAACAD ABABAC2cosBCBDBBCBDABABBC射影定理： 直角三角形中 , 斜边上的高线是两条直角边在斜边上的射影的比例中项
15、, 每一条直角边是这条直角边在斜边上的射影和斜边的比例中项. 知识点 11： 、三角函数与一次函数设一次函数ykxb经过点11(,)A xy与22(,)B xy那么我们可以列出方程组：1122ykxbykxb则可以得到：2121yykxx如图所示：tank2BCBD AB精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 8 页学习必备欢迎下载知识点 12：三角函数的高中定义：（图中的圆半径为单位1）如图 3，sinyyr同理可得：cosx，tanyx，cotxy如图 4，也可以得到相同的结论，但是此时要特别注意三角函数的符号所发生的变化，
16、从而使三角函数摆脱仅限于锐角的尴尬境地。知识点 13：解直角三角形的几种基本图形补充练习1、 （2009?芜湖）已知锐角A 满足关系式2sin2A7sinA+3=0 ，则 sinA 的值为。2、已知： A 为锐角，且sinA=，则 tanA 的值为_3、 （2009?济南）如图，AOB 是放置在正方形网格中的一个角，则cosAOB 的值是_4、 （2007?遵义）如图所示是重叠的两个直角三角形将其中一个直角三角形沿BC 方向平移得到DEF如果 AB=8cm ，BE=4cm，DH=3cm ，则图中阴影部分面积为_cm2精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - -
17、 - - -第 7 页，共 8 页学习必备欢迎下载5.（2009?吉林）将宽为2cm 的长方形纸条折叠成如图所示的形状，那么折痕PQ 的长是。6、 （2009?荆州）安装在屋顶的太阳能热水器的横截面示意图如图所示已知集热管AE 与支架 BF 所在直线相交于水箱横截面O 的圆心 O，O 的半径为0.2m，AO 与屋面 AB 的夹角为32 ，与铅垂线OD 的夹角为 40 ，BFAB 于 B，ODAD 于 D，AB=2m ，求屋面AB 的坡度和支架BF 的长（ 参考数据： tan18 ，tan32 ，tan40 ） 7、 （2007?乐山）如图，小山上有一棵树现有测角仪和皮尺两种测量工具，请你设计一
18、种测量方案，在山脚水平地面上测出小树顶端A 到水平地面的距离AB 要求： （1）画出测量示意图； （2）写出测量步骤（测量数据用字母表示）； （3）根据（ 2）中的数据计算AB8、 （2009?株洲）如图1，RtABC 中， A=90 ，tanB= ，点 P 在线段 AB 上运动，点Q、R 分别在线段BC、AC 上，且使得四边形APQR 是矩形设AP 的长为 x，矩形 APQR 的面积为y，已知 y 是 x 的函数，其图象是过点（ 12，36）的抛物线的一部分（如图2 所示）（1）求 AB 的长；（2）当 AP 为何值时，矩形APQR 的面积最大，并求出最大值为了解决这个问题，孔明和研究性学习小组的同学作了如下讨论：张明：图2 中的抛物线过点（12，36）在图 1 中表示什么呢？李明：因为抛物线上的点（x，y）是表示图1中 AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系，那么，（12，36）表示当AP=12 时， AP 的长与矩形APQR 面积的对应关系赵明：对，我知道纵坐标36 是什么意思了！孔明：哦，这样就可以算出AB，这个问题就可以解决了请根据上述对话，帮他们解答这个问题精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 8 页