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1、一、 直角三角形的性质: 1、两个锐角互余 C=90 A+B=902、在直角三角形中,30角所对的直角边等于斜边的一半。 C=90 A=30 BC=21AB 3、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半 ACB=90 D 为 AB的中点 CD=21AB=BD=AD 4、勾股定理:222cba:222abc还可以变形为222acb,222bca5、射影定理: 在直角三角形中,斜边上的高线是两直角边在斜边上的射影的比例中项,每条直角边是它们在斜边上的射影和斜边的比例中项 ACB=90 CD AB BDADCD?2ABADAC?2ABBDBC?26、常用关系式由三角形面积公式可得:AB?CD=AC?BC
2、 二、锐角三角函数1、锐角三角函数定义:在RT ABC中, C=90,a、b、c分别是 A、 B 、 C的对边,则:sinAaAc的对边斜边cosAbAc的邻边斜边tanAaAAb的对边的邻边cotAbAAa的邻边的对边常用变形:sinacAg;sinacA等,由同学们自行归纳2、锐角三角函数的有关性质:(1)当 0 A90时,0sin1A;0cos1A;tan0A;cot0A(2)在 0:90之间,正弦、正切(sin、tan)的值,随角度的增大而增大;余弦、余切(cos、cot)的值,随角度的增大而减小。3、同角三角函数的关系:A C B D 精选学习资料 - - - - - - - - -
3、 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 6 页22sincos1AAtancot1AAgsintancosAAAcoscotsinAAA常用变形:2sin1cosAA2cos1sinAA(用定义证明,易得,同学自行完成)4、正弦与余弦,正切与余切的转换关系:如图 1,由定义可得:sincoscos(90)aABAc同理可得:sincos(90)AAcossin(90)AAtancot(90)AAcottan(90)AA5、特殊角的三角函数值:三角函数030456090sincostan-cot-二、有关三角函数计算(计算器、特殊角)三、解直角三角形已知的一些边、角求 另一些边
4、、角1、解直角三角形的基本类型及其解法总结:类型已知条件解法两边两直角边a、b22cab,tanaAb,90BA直角边a,斜边c22bca,sinaAc,90BA一边一锐角直角边a,锐角 A90BA,cotbaA,sinacA斜边c,锐角 A90BA,sinacAg,cosbcAg例 1:在 RtABC中, C=Rt ,a,b,c是 ABC的三边 ,a=6, B=30求 A,b,c. 在 RtABC中 , C=Rt,a,b,c是 A,B,C的对边 ,a=5,b=35, 求 c, A, B. 6030321BCA45222BCA精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 -
5、- - - - - -第 2 页,共 6 页例 2: 在 RtABC中, C=Rt,a,b,c是三边 , 且83ctgA,a=6. 求 c. 在 RtABC中, C=Rt, B=30,a-b=2. 求 c. 在 Rt ABC中, B=45, C=60,BC=326. 求 SABC及 ABC的周长 . 在 Rt ABC中, C=Rt,58AC, A的平分线 AD的长是31516解直角三角形. 在 Rt ABC中, C=90,310AB,53cosABC.D 是 AC上一点 DBC=30 . 求BC,AD. 2、解直角三角形的实际运用(1) 仰角:视线在水平线上方的角;俯角:视线在水平线下方的角。
6、仰角铅垂线水平线视线视线俯角(2) 坡面的铅直高度h和水平宽度l的比叫做坡度( 坡比 )。用字母i表示,即hil。坡度一般写成1: m的形式,如1:5i等。把坡面与水平面的夹角记作( 叫做坡角 ) ,那么tanhil。(3) 从某点的指北方向按顺时针转到目标方向的水平角,叫做方位角。如图3,OA 、OB 、OC 、 OD的方向角分别是:45、 135、 225。(4) 指北或指南方向线与目标方向线所成的小于90的水平角, 叫做方向角。 如图 4,OA、OB 、 OC 、OD的方向角分别是:北偏东30(东北方向),南偏东 45(东南方向) ,南偏西 60(西南方向) ,北偏西 60(西北方向)
7、。补充: 在两个直角三角形中,都缺解直角三角形的条件时,可用列方程的办法解决。有关公式(1)1sin2SabC=1sin2bcA=1sin2acB:ihlhl精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 6 页(2)Rt面积公式:1122SabchV(3)结论:直角三角形斜边上的高abhc(4)测底部不可到达物体的高度如右图,在 Rt ABP中,BP=xcot在 Rt AQB中,BQ=xcotBQ BP=a ,即 xcot -xcot =a解直角三角形的知识的应用,可以解决:(1) 测量物体高度(2) 有关航行问题(3) 计算坝体或边
8、路的坡度等问题3、三角形的面积公式:已知ABC中, A、 B、 C的对应边分别是a、b、c,如图 2,过点 A作 AD BC于点 D。在RTABD中,sinADBAB,即:sinADABBg(sinADcBg)111sinsin222ABCSBC ADa cBacBgg g(其中: B为a、c的夹角)同理可得 :111sinsinsin222ABCSacBbcAabC(三角形的面积公式)由面积公式可得:11sinsin22acBbcA两边同时除于12c得:sinsinsinsinabaBbAAB同理可得, 正弦公式:sinsinsinabcABC余弦定理如图 2:sinADbCg,cosBDB
9、CCDabCg,在直角三角形ABD 中,由勾股定理得:222222(sin)(cos )ABADBDcbCabCgg整理得:2222222222sin2coscos(sincos)2coscbCaabCbCbCCaabC2222coscbaabC整理得到余弦定理:2222coscababC( C 为a、b的夹角)ABPQxa精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 6 页DABC同理可得:(余弦定理及其变形)2222cosabcbcA222cos2bcaAbc2222cosbacacB222cos2acbBac2222coscab
10、abC222cos2abcCab四、三角函数与相似:如图 5,可以利用相似进行求解,也可以利用三角函数进行求解:3.2cos610ADABxxAAEACsinDEBCAAEAC如图 6,6tan48DEBCxAAEAB备注:三角函数,在解决直角三角形的一些问题中,有时候会比相似书写更简洁一些五、三角函数与一次函数设一次函数ykxb经过点11(,)A xy与22(,)B xy那么我们可以列出方程组:1122ykxbykxb则可以得到:2121yykxx如下图所示:tanky2-y1x2-x1y2y1x2x1B(x2,y2)A(x1,y1)O精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 6 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 6 页