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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案高等数学辅导要点 一 、函数、极限、连续、1. 懂得函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性；2. 懂得复合函数 （复合过程、复合最终结果）和反函数的概念；3. 熟识基本初等函数的性质及其图形；4. 会建立简洁实际问题中的函数关系式；5. 懂得极限的概念,把握极限四就运算法就及换元法就；6. 懂得子数列的概念,把握数列的极限与其子数列的极限之间的关系（证明极限不存在两个子数列趋向不同！）；7. 懂得极限存在的夹逼准就（证明和式极限一方法）,明白实数域的完备性 确界原理、单界有界数列必有极限的原理,柯西 Cauchy ,审
2、敛原理、区间套定理、致密性定理 ；会用两个重要极限求极限；8. 懂得无穷小、无穷大、以及无穷小的阶的概念；会用等价无穷小求极限（代换规就） ；9. 懂得函数在一点连续和在一个区间上连续的概念,明白间断点的概念,并会判别间断点的类型；10. 明白初等函数的连续性和闭区间上连续函数的性质 理 零点定理与罗尔定理判定方程根的不同 ； 二 、一元函数微分学 介值定理,最大最小值定1. 懂得导数和微分的概念,懂得导数的几何意义及函数的可导性与连续性之间的关 系；会用导数描述一些物理量；2. 把握导数的四就运算法就和复合函数的求导法,把握基本初等函数、双曲函数的 导数公式；明白微分的四就运算法就和一阶微分
3、形式不变性；3. 明白高阶导数的概念；4. 把握初等函数一阶、二阶导数的求法；5. 会求隐函数和参数式所确定的函数的一阶、二阶导数；会求反函数的导数；名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 6. 懂得罗尔 Rolle 名师精编精品教案 Cauchy 定定理和拉格朗日 Lagrange 定理,明白柯西理和泰勒 Taylor 定理；法就求不定式的极限；三个准时：准时用等价无穷7. 会用洛必达 LHospital 小代换！准时剥离极限非零因子！准时整理！8. 懂得函数的极值概念,把握用导数判定函数的单调性和求极值的方法；会求解较
4、简洁的最大值和最小值的应用问题；9. 会用导数判定函数图形的凹凸性,会求拐点,会描画函数的图形 包括水平和铅直渐进线 ； 三 、一元函数积分学1. 懂得原函数与不定积分的概念及性质,把握不定积分的基本公式、换元法和分步积分法；会求简洁的有理函数及三角函数有理式的积分；2. 懂得定积分的概念及性质,明白函数可积的充分必要条件；3. 懂得变上限的积分作为其上限的函数及其求导,把握牛顿 Newton 莱布尼兹Leibniz 公式；4. 把握定积分的换元法和分步积分法；三问题 1. 定积分换元先换限；2. 对称区间奇偶函数积分；3. 定积分变量代换等式证明；两公式：0sin 2 nxdx ; a a
5、nTf x dx5. 明白广义积分的概念及广义积分的换元法和分步积分法；6. 明白 函数及其主要性质；7. 把握用定积分表达一些几何量与物理量 方法； 四 、常微分方程 如面积、体积、弧长、功、引力等 的1. 明白微分方程、 解、阶、通解、 初始条件和特解等概念（通解 =全部解？不！ ）；2. 把握 变量可分别的方程、齐次方程、两个可化为！及一阶线性方程的 解法；会解齐次方程和伯努利 Bernoulli 方程,明白用变量代换求解方程的思想；3. 会解全微分方程,能观看出最简洁的积分因子；名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - -
6、- 名师精编 精品教案4. 会用降阶法解以下方程：yn =fx , y =fx,y 无 y 和 y =fy,y （无 x）. 同时有 x、y？换元！ 同时无 x、y？都可！但是 . 5. 懂得线性微分方程解的结构,明白常数变易法；6. 把握常系数齐次线性方程的解法,会求自由项形如和 的常系数非齐次线性方程的特解；7. 明白幂级数、傅立叶级数解法及勒让德 Legendre 函数；8. 会用微分方程解一些简洁的几何问题和物理问题； 五 、空间解析几何与向量代数 1. 懂得空间直角坐标系；2. 懂得向量的概念及其表示,把握向量的运算 线性运算、 数量积、向量积、混合积 ,把握两个向量垂直、平行的条件
7、；3. 把握单位向量、 方向余弦、 向量的坐标表达式以及用坐标表达式进行向量运算的 方法；4. 把握平面的方程和直线的方程及其求法,会利用平面、 直线的相互关系解决有关问题；平面方程一般式（缺项时特点）、点法式（求平面方程的主要方法主要工作求法向量）；直线方程一般式、点向式 、参数式 （之间的相互转化）5. 懂得曲面方程的概念,明白常用二次曲面的方程及其图形,重点 - 以坐标轴为旋转轴的旋转曲面 （空间曲线绕z 坐标轴旋转 - 两要素 - 到坐标轴距离、 竖坐标不变）及母线平行于坐标轴的柱面方程；6. 明白空间曲线的参数方程和一般方程；（相互转化 -查找平方和、确定xyz之一为参数）7. 明白
8、曲面的交线在坐标平面上的投影（有轴平面束）； 六 、多元函数微分学1. 懂得多元函数的概念；名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编精品教案（二2. 明白二元函数的极限与连续性的概念,以及有界闭区域上连续函数的性质；元函数极限的求法（无限多种靠近方式）迫敛、一元函数极限的求法洛必达法就不能用！证明不存在！- ）明白全微分存在的必要条件和充分条件,明白一阶3. 懂得偏导数和全微分的概念,全微分形式的不变性；（全微分的定义！可微的必要条件！（偏导数存在、连续）充分条件（偏导数连续）！充要条件！）重点题型二元分段函数在分
9、断点处的极限、连续性、偏导数、可微、二阶偏导数！4. 明白方向导数与梯度的概念及其运算方法（之间的关系？）；可微、偏导数存在方向导数存在5. 把握复合函数一阶偏导数的求法,会求复合函数的二阶偏导数；（抽象复合函数的偏导数！表示方法、符号、技巧！）6. 会求隐函数 包括由两个方程组成的方程组确定的隐函数 的偏导数；（确定函数条件？偏连、非空、非零）（一个 2、3 元方程确定一个 1、2 元函数、两个三元方程确定两个一元函数、两个四元方程确定两个二元函数）7. 明白曲线的切线和法平面及曲面的切平面与法线,并会求它们的方程；8. 懂得多元函数极值与条件极值的概念,会求多元函数的极值；明白求条件极值的
10、拉格朗日乘数法,会求解一些较简洁的最大值和最小值的应用问题； 七 、多元函数积分学1. 懂得二重积分 （补充对称性！）、三重积分的概念及性质；2. 把握二重积分的运算方法 对称性图形关于 x 轴对称 函数？、直角坐标 x型 y 型图形特点？极坐标圆环扇形积分区域、换元法 - 换积分区域！ ,明白三重积分的运算方法 对称性！直角坐标、柱面坐标、球面坐标 思路：分析积分区域 1. 对称性 .2. 分析被积函数与积分区域是否用柱面坐标、球面坐标 .3. 被积函数只是关于 z 的一元函数？截面积易求？- 截面法！ 4. 投影法 -用形心坐标运算一次被积函数的二、三重积分！；明白重积分的换元法；3. 懂
11、得两类曲线积分的概念、性质及相互间关系,把握两类曲线积分的运算方法；名师归纳总结 （第一类曲线积分运算思路-1.对称性：平面曲线关于坐标轴对称、空间曲线关第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案于坐标平面对称；2. 换元：平面曲线直角坐标参数方程极坐标三种方程下的弧微分公式、空间曲线参数方程 一般式 - 化为参数式？其它技巧？）（其次类曲线积分：留意积分弧段的方向！依据所给曲线段的方程,代入！）（二者关系 - ！ds dx dy）4. 把握格林 Green 公式（ - 平面曲线段上的其次类曲线积分！两条件！- 区域 D
12、由分段光滑的闭合曲线围成- 不满意 - 如何？ - 补充！； P、Q在区域 D内一阶偏导数连续不满意补充！求曲线积分什么情形下用格林公式？常数！）及平面曲线积分与路径无关的条件（全微分方程求积方法！）；5. 懂得两类曲面积分的概念、性质及相互间的关系,会运算两类曲面积分（第一类曲面积分运算对称性- 曲面关于 xoy 坐标平面对称、被积函数关于 z 为奇函数！；三换积分曲面换投影、换函数、换 DS！）；6. 把握高斯公式（两条件！ - 区域由分片光滑的闭合曲面（外侧！）围成- 不满意 - 如何？ - 补充！； P、Q、R在区域内一阶偏导数连续不满意补充！求曲面积分什么情形下用高斯公式？常数！ -
13、 最难题两个条件都不满意！）,明白曲面积分与曲面外形无关的条件；7. 明白斯托克斯 Stokes 公式； （- 空间曲线段上的其次类曲线积分！两个条件！公式的两个形式！- 重在其次种等于第一类曲面积分！转化为求积分曲面的面积！环流量、旋度！）8. 明白数量场、向量场及向量微分算子的概念,明白散度、旋度的概念及其计算公式,明白无源场、无旋场及调和场的概念；9. 会用重积分和曲线积分以及曲面积分求一些几何量与物理量 如体积、曲面面积、弧长、质量、重心、转动惯量、引力、功、通量等 ； 八 、无穷级数名师归纳总结 1. 懂得无穷级数收敛、 发散以及和函数的概念,熟识无穷级数基本性质（线性性质、第 5
14、页,共 8 页加上、转变去掉有限多项、加括号等）及收敛的必要条件；2. 把握几何级数和 p- 级数的收敛性；- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案3. 明白正项级数的比较审敛法和极限审敛法,把握正项级数的比值审敛法； 正项级数敛散性判定：1. 一般项趋向于0？ 2. 比值、根植 =1？3. 比较审敛、定义！ 4. 明白交叉级数的莱布尼兹定理,会估量交叉级数的截断误差；5. 明白无穷级数肯定收敛与条件收敛的概念以及肯定收敛与收敛的关系；明白肯定 收敛级数的一些基本性质；（任意项级数- 肯定收敛！）6. 懂得函数项级数的收敛域及和函数的概念；
15、7. 把握比较简洁的幂级数收敛域的求法（况用？标准形式？缺项？）收敛半径二公式：比值、根植分别情8. 明白幂级数在其收敛区间内的基本性质；9. 明白函数绽开为泰勒级数的充分必要条件 接绽开！）（余项趋向于零！）（直接绽开！间10. 会利用 ex,sinx,cosx,ln1+x 和 1+xu 的马克劳林 Maclaurin 绽开式将一些简洁的函数间接绽开成幂级数；11. 明白幂级数在近似运算上的简洁应用；名师归纳总结 12. 明白函数绽开为傅里叶 Fourier 级数的狄利克雷 Dirichlet 条件,会将第 6 页,共 8 页定义在和 -L,L 上的函数绽开为傅里叶级数,并会将定义在 0,L
16、 上的函数绽开为正弦或余弦级数；（求系数！狄利克雷 Dirichlet 条件！）- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案上册复习问题1、 两个函数在什么条件下可以复合为一个函数？2、 分段函数肯定不是初等函数吗？3、 隐函数、参数方程确定函数的二阶导数会求吗？4、 夹逼定理适用于什么问题的证明？单调有界定理呢？5、 未定式极限的七种类型是什么？求的方法呢？用洛必达法就求极限要留意什么（三个准时？）？八个等价无穷小记得吗？6、 怎么判定间断点（大致的步骤是？）？7、 零点定理怎么用？判定什么？8、 导数定义的两种极限形式记得吗？几何意义呢？基
17、本公式没问题吧？9、 罗尔定理怎么用？跟零点定理的区分是？10、拉格朗日中值定理主要用于什么？怎么证明不等式？11、高阶导数的莱布尼兹公式能用吧？常见函数的绽开式仍能写出来吗？12、三种渐近线四个极限知道吗？13、单调极值凹凸拐点的判定不是问题吧？14、曲率的运算公式能写出来吗？15、不定积分与微分之间的关系不会不知道吧？16、凑微分大致的类型能写出几种？17、换元积分的核心是去掉什么？平常常常用几种换法？什么情形下用？18、分部积分依据什么次序确定 U、dv？19、记住分子是分母的导数或者凑分子为分母的导数的情形！20、定积分定义中平分区间时的极限形式是？为什么要记住这种形式？21、变上限函
18、数求导的公式记得吗？跟微分方程联系起来里面的初始条件能找出来吗？名师归纳总结 22、定积分里面的偶倍奇零、周期函数积分的问题等三个公式要记住啊！第 7 页,共 8 页23、定积分等式不等式的证明往往是换元、或者化为函数,这仍清晰吧？- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师精编 精品教案24、旋转体的体积几种转法,公式记住了吗？25、反常积分几种类型？里面有几个重要结论？26、一阶方程一共几种？解法呢？公式记住了吗？27、二阶呢？可降阶的类型几种？对应的解法？转化为特点方程？通解分别是？特解的设法？记得边解方程边定常数啊！名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页