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1、|一 单项选择题(每小题 2 分, 共 40 分) 1. 下列四个微分方程中, 为三阶方程的有( )个. (1) (2) (3) (4) A. 1 B. 2 C. 3 D. 42. 为确定一个一般的 n 阶微分方程 =0 的一个特解, 通常应给出的初始条件是( ). A. 当 时, B. 当 时, C. 当 时, D. 当 时, 3. 微分方程 的一个解是( ). A. B. C. D. |4. 下列方程中, 既是齐次方程又是线性方程的是( ). A. B. C. D. 5. 若方程 是恰当方程, 则 （ ）. A. B. C. D. 6. 若方程 有只与 y 有关的积分因子 , 则可取 为(
2、 ). A. B. C. D. 7. 可用变换( )将伯努利方程 化为线性方程. A. B. C. D. 8. 是满足方程 和初始条件( )的唯一解. A. B. C. D. 9. 设 是 n 阶齐线性方程 的解, |其中 是某区间中的连续函数. 如下叙述中, 正确的是( ). A. 若 的伏朗斯基行列式为零, 则 线性无关 B. 若 的伏朗斯基行列式不为零, 则 线性相关C. 若 的伏朗斯基行列式不为零, 则 线性无关D. 由 的伏朗斯基行列式是否为零, 不能确定 的线性相关性10. 设线性无关的函数 和 是方程 的解,则方程的通解是( )A. ( 是任意常数, 下同) B. C. D. 1
3、1. 三阶系数齐线性方程 的特征根是( ). A. 0, 1, 1 B. 0, 1, -1 C. 1, D. 1, 12. 方程 的基本解组是( ). |A. B. C. D. 13. 方程 的待定特解可取如下( )的形式: A. B. C. D. 14. 已知 是某一三阶齐线性方程的解, 则 和 的伏朗斯基行列式 ( ). A. 3 B. 2 C. 1 D. 015. 可将三阶方程 化为二阶方程的变换为( ). A. B. C. D. 16. 方程组 满足初始条件 的解为( ). A. B. C. D. 17. n 阶函数方阵 在 上连续, 方程组 有基解矩阵 , |如下叙述中, 正确的是(
4、 ).A. 的每个列向量是该方程组的解向量且 在某一点 为零B. 的每个行向量是该方程组的解向量且 C. 的每个列向量是该方程组的解向量且 恒不为零 D. 的每个行向量是该方程组的解向量且 恒不为零18. 设 A 是 n 阶常数方阵, 是 A 的一个特征值, 则方程组 有解为 , 其中 是( )A. 矩阵 A 的对应于 的特征向量 B. 任意向量 C. 矩阵 A 任意一个行向量 D. 矩阵 A 的任意一个列向量19. n 阶函数方阵 在 上连续, 方程组 有两个基解矩阵 和 , 如下叙述中, 正确的是( ).A. 存在非奇异的常数矩阵 C, 使得 B. 存在非奇异的常数矩阵 C, 使得 C.
5、存在非奇异的常数矩阵 C, 使得 |D. 存在非奇异的常数矩阵 C, 使得 20. 设 和 都是由方程组 的 n 个解向量所组成的方阵, 其中 是在 上连续的函数方阵, 是连续的列向量, 则如下断言中正确的为( ). A. 必是方程组 的基解矩阵B. 仍是方程组 的解矩阵C. 是方程组 的解矩阵D. 也是方程组 的解矩阵. 二 简答题(每小题 3 分, 共 15 分)21. 写出把方程 化为变量分离方程的变换, 并将变换后的方程进行变量分离. 22. 试写出二阶欧拉方程 的一个基本解组 23. 写出初值问题 的第二次近似解. |24. 函数 和 都是初值问题 的解. 试用解的唯一存在性 定理解
6、释这个初值问题的解存在但不唯一的原因.25. 已知三阶方阵 的特征值为 1, 1, 2, 对应的特征向量分别为 试写出 方程组 的标准基解矩阵(既当 t=0 时为单位矩阵的基解矩阵) . 三 计算题(一) (每小题 5 分, 共 15 分)26. 解方程 . 27. 解方程 . 28. 求解方程 , 其中 . 四 计算题(二) (每小题 6 分, 共 18 分)29. 解方程 . 30. 求方程组 的一个基解矩阵, 其中 . 31. 求解方程 . |五 应用题 (6 分)32. 求平面上过原点的曲线方程, 该曲线上任一点处的切线与切点和点(1,0)的连线相互 垂直. 六 证明题 (6 分) 3
7、3. 设 都是区间 上的连续函数, 且 是二阶线性方程 的一个基本解组. 试证明: (i) 和 都只能有简单零点(即函数值与导函数值不能在一点同时为零); (ii) 和 没有共同的零点;(iii) 和 没有共同的零点.一. 求解下列常微分方程: (每小题 10 分, 共 50 分) (1) .(2) .(3) .|(4) .(5) .二. (15 分) 求二阶常系数微分方程的通解 . 三. (15 分) 设 , , . (1) 求齐线性方程组的基解矩阵 ；(2) 求非齐线性方程组 满足初始条件的 的解 .四. (10 分) 设有方程 , 其中 在 中连续且 .(1) 试写出此方程的通解 的表达式.(2) 设 ，证明 存在并求出极限值.五. (10 分) 设 是连续的 阶方阵, 又 和 分别是方程组和 的解矩阵，证明 .