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1、1,拉普拉斯变换法 /Laplace Transform /,2,拉普拉斯变换,含义： 简称拉氏变换 从实变量函数到复变量函数间的一种函数变换 用途与优点 对一个实变量函数作拉氏变换，并在复数域中进行运算，再将运算结果作拉普拉斯反变换来求得实数域中的相应结果，往往比直接在实数域计算容易得多。 应用： 求解线性微分方程 在经典控制理论中，对控制系统的分析和综合,3,拉普拉斯变换法用于求解常微分方程的基本思路： 对常微分方程进行拉氏变换法，得代数方程，求解 再反变换获取原方程的解,问题： 1. 什么是拉氏变换 2. 拉氏变换的基本性质 3. 什么是拉氏逆变换 4. 如何用拉氏变换求解微分方程,4,
2、若,1拉普拉斯变换定义(简称拉氏变换),对于在,上有定义的函数,对于已给的S（一般为复数）存在，则称,为函数,的拉普拉斯变换，记为,f (t)称为Laplace Transform 的原函数，F(s)称为f (t)的象函数.,5,拉普拉斯变换法存在性,6,例1,当,即,拉普拉斯变换实例,7,例2 ( 是给定的实数或复数 ),8,常用函数拉氏变换表 利用拉氏变换进行计算时，可直接查变换表得结果,9,2 拉普拉斯变换的基本性质,1 线性性质,如果,是原函数,和,是任意两个常数(可以是复数)，则有,10,2 原函数的微分性质,如果,都是原函数，则有,或,11,3 象函数的微分性质,12,3 拉普拉斯
3、逆变换,已知象函数，求原函数,也具有线性性质,13,由线性性质可得,如果,的拉普拉斯变换,可分解为,并假定 的拉普拉斯变换容易求得，即,则,14,例3 求 的Laplace 反变换,解,拉普拉斯逆变换实例,15,例4 求,的Laplace 反变换,解,16,4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 ),步骤：,17,4 拉普拉斯变换法(求非齐次线性方程的特解 ),为常数,令,18,给(4.32)两端施行Laplace Transform,19,解 令,例5,满足初始条件,求,的特解,用拉氏变换求微分方程实例,20,令,例 6 求,满足初始条件,的特解,解,21,22,例 7 求,满足初始条件,的特解,令,解,23,作业 求下列初值问题的解：,