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1、习 题 二 解 答1用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间3，4内的根，精确到10-3，即误差不超过。分析：精确到10-3与误差不超过10-3不同。解：因为f(3)-100，f(4)=90，所以，方程在区间3，4上有根。由有2n-11000，又为21010241000，所以n11，即只需要二分11次即可。列表讨论如下：nanbnxnf(xn)的符号1343.50023.50043.75033.5003.7503.62543.6253.7503.68853.6253.6883.65763.6253.6573.64173.6253.6413.63383.6253.6333.62993.62
2、93.6333.631103.6313.6333.632113.6313.6323.632x*x11=3.632。指出：（1）注意精确度的不同表述。精确到10-3和误差不超过10-3是不同的。（2）在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4位小数，结果取3位，则如下表：nanbnxnf(xn)的符号1343.500023.500043.750033.50003.75003.625043.62503.75003.687553.62503.68753.656363.62503.65633.640773.62503.64073.632983.62503.63293.62
3、9093.62903.63293.6310103.63103.63293.6320113.63103.63203.6315（3）用秦九韶算法计算f(xn)比较简单。1*求方程x3-2x2-4x-7=0的隔根区间。解：令，则当时，有。函数单调区间列表分析如下：x(-,)2(2,+)y+00+y15因为，所以方程在区间上无根；因为，而函数在上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无根；因为，函数在(2,+)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-100，所以方程在区间(3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。2证明在0,1内有一个根，使用二分法求误差不大于
4、的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。解：令，因为，则，由零点定理，函数f(x)在0,1区间有一个根。 由有2n-110000，又为2101024，213819210000所以n15，即需要二分15次。指出：要证明的是有一个解而不是唯一解，因此不必讨论单调性。3试用迭代公式，求方程的根，要求精确到。分析：精确到即误差不超过解：令列表进行迭代如下：01-711.538463.7596421.29502-1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.06
5、06771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.36881151.36881指出：精确到可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到，当终止计算。本题采用第一种方法。4将一元非线性方程写成收敛的迭代公式，并求其在附近的根，要求精确到。解：改写为，则，设有在处，因为所以迭代法在的邻域内收敛。列表迭代如下：005107120693069此时。5为求方程
6、在附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。解：（1）因为，所以迭代函数为，则，满足局部收敛性条件，所以迭代公式具有局部收敛性。（2）因为,所以迭代函数为,则,满足局部收敛性条件,所以迭代公式具有收敛性。（3）因为，所以迭代函数为，则，不满足收敛性条件，所以迭代公式不具有收敛性。用迭代公式列表计算如下：015114442148031457414715146261468714648146791465101466111465所以，方程的近似根为。6设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？解：设C为常数，因
7、为，所以，要使迭代公式具有局部收敛性，需，此时即有，也即。即只要C取满足如上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。指出：本题的一般形式为：设，应如何取C才能使迭代公式具有局部收敛性？显然，是迭代格式相应的迭代函数，因此该迭代格式要求解的方程是。也就是说，这是如何选择C，构造一个求解方程f(x)=0的收敛的迭代格式的问题。因为，所以，要使迭代格式收敛，需解之得，即C与异号，且。下面的讨论利用了本题的特殊条件，求出了具体的结果：因为，所以当时，有，则，即函数的不动点为。而，根据局部收敛性定理，当时，迭代格式收敛到；当时，迭代格式收敛到。7用牛顿法求方程在初始值邻近的一个正根，要求。解: 因
8、为所以有，相应的迭代公式为取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：k0123xk21.88891.87951.8794因为,符合计算的精度要求,所以。8用牛顿法解方程，导出计算数c的倒数而不用除法的一种简单的迭代公式。用此公式求0.324的倒数，设初始值，要求计算有5位有效数字。解：对于方程，有，相应的迭代公式为。应用该迭代公式求0.324的倒数，列表计算如下0313084230864330864所以。指出：如果将方程改写为等价的，则有，相应的迭代公式为无法展开迭代。9设a为已知数，试用牛顿法导出求的迭代公式，并求极限。解：设a为正实数，n为自然数，由牛顿法，方程的解为 此即求的迭代
9、公式。由此，则 指出：本题中，表面上是的问题，但实际上却是的问题，才是极限过程中实际的变量。本质上。本题实际上是求极限由于讨论的是型不定式，且不定式的分母上有2次的“0”因子，因此两次应用罗必塔法则。解二：首先证明一个定理：定理：设，又设f(x)在的某个邻域内具有连续的二阶导数，则牛顿迭代法具有局部收敛性，且有。证明：因为所以因为f(x)在邻域内具有连续的二阶导数，所以在邻域内连续，且由局部收敛性定理，牛顿迭代法具有局部收敛性。对求导，根据条件有 由收敛阶定理，若，则，牛顿迭代法二阶收敛，若，则，牛顿迭代法有更高的收敛阶。因为牛顿迭代法有二阶收敛性，所以。显然如果是方程f(x)=0的单根，则，
10、且。此时，则，可见定理中的条件“”可以等价替换为“是方程f(x)=0的单根”对本题来说，是方程的单根，所以则。指出：应用分组分解法进行因式分解，分子、分母约去“0”因子，就可以按连续函数的极限性质求解了。10用快速弦截求方程在初始值邻近的实根（取，要求精确到）。解: 因为所以有，相应的迭代公式为取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：kxk xk-xk-1f(xk)f(xk)- f(xk-1)021119-0.10.159-0.841218811-0.01890.0130-0.146318794-0.00170.0001-0.0129418794因为,符合计算的精度要求,所以。指出：
11、本教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法（割线法），而它所说弦截法是通常的单点弦截法。11、分别用下列方法求方程在邻近的根，要求有三位有效数字。（1）用牛顿法，取；（2）用弦截法，取；（3）用快速弦截法，取。解：方程变形为，则。牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为（1）牛顿法；（2）弦截法；（3）快速弦截法。取3位有效数字，分别计算得kxk牛顿法弦截法快速弦截法0078507850785115915715721411331333139140138413913814051391396138139补充题（一）1、确定方程x5+x-100的根的个数，找出隔根区间。2、用二分法求方程f(x)=x32x-
12、5=0在2，3的根的近似值，要求误差不超过0.005。3、用二分法求方程f(x)=x32x-5=0在2，3的根的近似值，要求误差不超过0.05。4、用二分法求方程的非零实近似根，使误差不超过102。5、分析方程的根的分布情况，并用二分法求正根的近似值，使误差不超过102。6、估计用二分法求方程f(x)=x34x2-10=0在1，2内的根的近似值，为使误差不超过105时所需要的二分次数。分析与解答1、令,显然,而且函数没有不可导点,所以，函数在区间上是单调增的，故方程最多有一个根。因为，所以方程在（0，2）区间有一个根，（0，2）即为方程的隔根区间。2、因为f(2)=70，f(3)=280，实际
13、上本方程在指定范围内无根。但如果不加判定，也可以计算出一个值来。所以，用二分法求方程的根必须先行判定。要特别注意的是，完整的二分法的过程是，第一步代入初值，第二步判断是否有解，第三步在有解的前提下求出解来。不进行判断就形式地套用二分法的过程是不可以的，同样地，如果因为无解就放弃讨论也是不正确的。3、因为f(2)=10，f(3)=160，所以方程在区间上有解。，所以，2n20，n=5。x*2.104、画出y=sinx和的曲线，可以看出，两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于1.5与2之间（显然，21.5，sin(2)=1，所以在2点，f(x)0，而当x2时，sinx1,
14、所以在2点，f(x)0。5、画出y=sinx和的曲线，可以看出，两条曲线除了原点外，在第一象限有且只有一个交点。交点的横坐标介于1.8与1.9之间（根据图像，用计算器计算估计，当sinx的值从大于的值变为小于时，隔根区间就找到了）。要求x*xn0.01，可以求出用二分法计算的次数。在区间1.8，1.9上，因为所以，n=4。具体计算过程如下nanbnxnf(xn)的符号11.81.91.8521.851.91.87531.8751.91.887541.88751.91.89 所以，x*x41.89指出：确定求根区间和根的初始近似值，应用MATLAB工具，用交轨法是重要的途径，可以先确定大致范围，
15、再缩小区间重新画图精细化。在用普通的手工画草图的方法画交轨图的时候，可以借助于计算器使得隔根区间更短，但这种方法只对简单问题有效。6、x*xn105，即 ，所以 2n105。 因为21532768，21665537，217131072，所以n=17。（二）1、对于方程3x2ex0，为求最大正根与最小正根的近似值，试分别确定迭代函数g(x)及区间a,b，使得当x0a,b时，相应的迭代过程xk+1=g(xk)收敛到要求的根。2、证明：当x0=1.5时，迭代法 和 都收敛于方程f(x)=x3+4x2-10=0在区间1，2内的唯一实根x*，分别用上述迭代法求满足精度xk+1xk105的近似根。3、为求
16、方程f(x)=x3x210在x01.5附近的一个根，可将方程改写成下列等价形式，并建立相应的迭代公式1改写成,迭代公式为；2改写成x3=1+x2，迭代公式为；3改写成，迭代公式为。试分析每一种迭代公式的收敛性。分析与解答1、根据3x2和ex的图像可知，方程3x2ex0在实数域上有三个根，分别在区间(1,0)，(0,1)，(3,4)内。其最大正根在3，4区间，最小正根在0，1区间。取迭代函数g(x)=ln3x2，可以得到最大正根，而取迭代函数，可以得到最小正根。2、两种迭代法的迭代函数分别在区间1，2和1，1.5上满足定理2（不动点原理）的条件，故当x0=1.5时两种迭代法都收敛，且分别迭代9次
17、和25，都可得到近似根1.36523。我们讨论第一种迭代法，用定理2证明。它的迭代函数为。首先，g(x)是一个减函数，当x=1时，当x2时，。所以当x1,2时，1g(2)g(x)g(1)2，即g(x)1,2。其次，显然这是一个增函数，当x2时，其函数值为 ，所以，g(x) g(2)1。指出：只给出了含根区间，就只能用定理2证明。3、1给出了初始近似值，也即知道了精确根的大致位置，可以用定理4（局部收敛性定理）证明。由题意，方程有实根。下面证明g(x)连续和g(x*)1（x*是方程的精确根）。方程，可见g(x)在1.5及其附近是连续减函数，因为g(1.5)= 0.59，1.5又在x*的邻域内，由函数g(x)的连续性，g(x*)1，所以此迭代法具有局部的收敛性。指出：一般地说，用定理2（不动点原理）证明只要利用函数的单调性与区间上的最值就可以讨论，而用定理4（局部收敛性定理）则需要用到函数的连续性。