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1、习 题 五 解 答1、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比拟结果。(1)，(2)(3)，(4)1*、用矩形公式、梯形公式、抛物线公式计算下列积分，并比拟结果。(1)解：解：将区间0，14等分，5个分点上的被积函数值列表如下（取2位小数）x00.250.50.751y0006012016020(1)矩形法。用矩形法公式计算（取2位小数）或者 (2)梯形法用梯形法公式计算（取2位小数）：(3)抛物线法用抛物线法公式计算（取2位小数）：2、用复化梯形公式计算积分，由此计算ln2（注：），精度要求为。解：，要求精度为，即误差不超过。将积分区间4，8n等份，则步长在本题中，复化梯形公式的余
2、项为留意到所以在4，8区间上，则，要使，需有。3、用复合梯形公式计算积分，问将积分区间a,b分成多少等份，才能保证误差不超过（不计舍入误差）？解：对于复合梯形公式来说，假设在积分区间上连续，则其余项为设，则令，得即当时，能保证计算的精度要求。4、已知飞机在高度H的上升速度v(H)如下：H(km)0246810v(km/s)50.046.040.032.222.510.0求从地面(H=0km)上升到H=10km高空所须要的时间。(分别用复合梯形公式与高阶牛顿柯特斯公式)指出：求给定函数的数值积分套用公式即可但须留意给出的数据表不是要求积分的函数表，要求积分的函数表为H(km)0246810v(k
3、m/s)50.046.040.032.222.510.01/v5、用龙贝格方法计算下列积分，要求误差不超过105。(1) (2)解: (1)依次应用龙贝格积分的四个公式进展计算：计算结果列表如下：i007717433107280699071351212071698280713287007132720307142019071327260713271707132717所以。6、分别用下列方法计算积分，并比拟计算结果的精度(I=1.098612)：(1)复合梯形法(n=16)；(2)复合抛物线法(n=8)；(3)龙贝格方法，求至；(4)三点高斯勒让德公式。指出：干脆套公式计算。计算结果的精度比拟，通
4、过各计算解和准确解比拟，求出相应的误差，再比拟误差大小的方法进展。三点高斯勒让德公式为当积分区间不是1，1而是a,b时，为应用高斯勒让德公式，须要作变量代换，将a,b化为1，1。石瑞民数值计算中没有给出三点高斯勒让德公式，但给出了3、4、5点公式系数表。7、试确定下列求积公式中的待定参数，使其代数精度尽量高，并指明所构造出的求积公式具有的代数精度：(1) ；(2) ；(3) ；(4) 。解：(1) 求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)1，x，x2准确成立，即解之得 ，所以，数值求积公式为 ，而 ，所以上述积分公式具有3次代数精度（事实上这是抛物线公式）。(2) 求积公式中有三个待定
5、系数，故令求积公式对f(x)1，x，x2准确成立，即解之得 ，所以，数值求积公式为 ，而 ，所以上述积分公式具有3次代数精度。指出：由于本题的节点事实上仅分布在半个积分区间，因此积分精度低。(3)求积公式中有2个待定参数，须要列两个方程组成的方程组。当f(x)=1时，有因此需令求积公式对f(x)x，x2准确成立，即化简得解之得 或所以，数值求积公式为或对第一个积分公式，当时，所以上述积分公式具有2次代数精度。指出：求出的是两个积分公式，不能认定两个节点有大小依次规定而只取一个，事实上仅仅是两个点必需是按求出的成对。(4)求积公式中仅含有一个待定参数c。令f(x)=1，有令f(x)=x，有令时公
6、式准确成立，则则求积公式为将代入求积公式，有所以，求积公式具有2次代数精度。指出：可否认为，或是否有必要认为a和b是未知待定的？8、试构造高斯型求积公式，使之对于均能成立。解：求积公式中有4个待定的未知数，故令求积公式对f(x)1，x，x2，x3准确成立，即从前两式从解出（用矩阵方程形式）有对后两式有故有化简得令则上述方程组化为解之得，于是有故所求的积分公式为指出：留意方程组的解法。，与相对应（由前两个方程确定）。方程组中是一次的，而且前两个方程中也是0次、1次的，因此从前两个方程中解出（用表示）代入后两个方程中求就是比拟简洁想到的方法。而用矩阵格式简化计算，用变量代换简化方程则是数学的技巧。
7、9、利用下表求x=0.6处的一阶导数。x0.40.50.60.70.8f(x)1.58364941.79744262.04423762.32750542.6510818指出：没有限定方法，就可以用任何适宜的方法。可用中点公式，只用0.5、0.7两点函数值。可以构造4阶拉格朗日插值多项式。可以用三次样条插值。可以用待定系数法构造数值微分公式。补充题(一)1、用三种根本积分公式计算（四等分积分区间）。分析与解答1、解：将区间4等分，5个分点上的函数值为（取2位小数）x11.251.5y0.500.390.31x1.752y0.250.20（1）矩形法用矩形法公式计算（取2位小数）或者(2)梯形法用
8、梯形法公式计算（取2位小数）(3)抛物线法用抛物线法公式计算（取2位小数）补充题(二)1、试确定一个具有三次代数精度的公式。2、确定求积公式的代数精度。3、确定下列求积公式的待定系数，使其代数精度尽可能地高。4、确定求积节点，使得求积公式具有尽可能高的代数精度。5、确定下面求积公式中的参数，使得其代数精度尽量高，并指出求积公式所具有的代数精度。分析与解答1、解：分别取f(x)1，x，x2，x3，使求积公式准确成立，则得下面的方程组。解之得A038，A198，A298，A338。由此得求积公式为当将f(x)=x4，代入时，上式不能准确成立，故所得公式具有3次代数精度。2、解：取f(x)=xk代入
9、求积公式，得简洁验证，R(x0)=R(x)=R(x2)=R(x3)=0，但是R(x4)=8450，所以求积公式的代数精度为3。（干脆取f(x)1，x，x2，x3，x4验证也可）3、解：求积公式中有三个待定系数，故令求积公式对f(x)1，x，x2准确成立，得解之得A1=A1= 8h3 ，A0= 4h3 ，所以，数值求积公式为而所以上述积分公式具有3次代数精度（事实上这是抛物线公式）。4、解：明显，解答本题须要确定三个参数h、x0、x1，那么，我们须要三个方程。令求积公式对f(x)1，x，x2准确成立，得解之得，所以求积公式为此求积公式具有3次代数精度，求积节点为 。(验证从略)。指出：第3题中h是作为已知量的，这样得出的求积公式有更广泛的应用性。本题中，因为右端的两个积分系数都是1，当f(x)=1时必定可以得出h=1，即使假设h已知也是一样的。而当假设h已知，仅要求求积公式对f(x)1，x准确成立时，因为当f(x)=1时确定了h的值，对求节点不起作用，不能实现求解点的目的，因此还是须要列第3个方程。5、解：求积公式中含有两个待定参数，故须要两个方程。当f(x)=1时，因为所以故。故令求积公式对于准确成立，则有由第一式解得，代入第二式，得解之得所以求积公式为或将代入已确定的求积公式，可以验证所以求积公式中所求的未知节点为且求积公式具有2次代数精度。第 8 页