数值计算课后习题答案(全).pdf

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1、习 题 一 解 答1.取3.14,3.1 5,22,注355作 为n的近似值，求各自的绝对误差，相对误差和有效数字的位数。7 113分析：求绝对误差的方法是按定义直接计算。求相对误差的一般方法是先求出绝对误差再按定义式计算。注意，不应先求相对误差再求绝对误差。有效数字位数可以根据定义来求，即先由绝对误差确定近似数的绝对误差不超过那一位的半个单位，再确定有效数的末位是哪一位，进一步确定有效数字和有效数位。有 了 定 理2后，可以根据定理2更规范地解答。根 据 定 理2,首先要将数值转化为科学记数形式，然后解答。解：(1)绝对误差：e(x)=n-3.14=3.14159265-3.14=0.001

2、59-0.0016。相对误差：3=3=0 51x10-3r x 3.14有效数字：因为=3.14159265=0.314159265X 10,3.14=0.314X10,m=lo而 n-3.14=3.14159265-3.14=0.00159-所以|n-3.14|=0.00159-0,005=0.5X102=-X10-2=-X101-32 2所以，3.14作 为”的近似值有3个有效数字。(2)绝对误差：e(x)=n-3.15=3.14159265-3.14=0.008407-0.0085相对误差：侬=型箜 27x10-2x 3.15有效数字：因为 n=3.14159265=0.31415926

3、5X 10,3.15=0.315X10,m=lo而 n-3.15=3.14159265-3.15=-0.008407-所以|n-3.15|=0.008407.0.05=0.5X 10-1=ixlO-1=-x l01-22 2所以，3.15作 为 的近似值有2个有效数字。(3)绝对误差：22e(x)=万一亍=3.14159265.一3.142857143=0.001264493。0.0013相对误差：，(X)=3=一0*3.41X10-3x 22T有效数字：因为 n=3.14159265=0.314159265-X 10,22=3.142857143=0.3142857143x10,m=l072

4、2而乃=3.14159265-3.142857143=-0.001264493-7所以22=|3.14159265 -3.142857143|=0.001264493 0.005=0.5x10-2=J_xio-2=_Lxio-2 2所以，42?作为n 的近似值有3 个有效数字。7(4)绝对误差：355e(x)=1-=3.14159265-3.14159292=0.0000002705=-0.000000271 相对误差：113e X x)=(x)=-0.000000271 g_0 8 6 3 x l0.7x 355113有效数字：因为 n=3.14159265=0.314159265-X 10

5、,355 =3.14159292=0.314159292x10，m=lo113355而不-=3.14159265-3.14159292=-0.0000002705 113所以355兀-113=|3.14159265-3.14159292|=0.0000002705 0.0000005=0.5X10-6=-X10-6=-X101-72 2所以，巨ass作 为 n 的近似值有7 个有效数字。1132、用四舍五入原则写出下列各数的具有五位有效数字的近似数。346.7854,7.000009,0.0001324580,0.600300分析：本题实际上指出，按要求截取的近似数符合有效数字定义，相关数位上

6、的数字都是有效数字。解答方法简单，直接写出就可以，不需要也不应该做形式转化（化为科学计数法形式）解：346.7854心346.79,7.0000097.0000,0.00013245800.00013246,0.6003000.60030o指出：3、下列各数都是对准确数进行四舍五入后得到的近似数，试分别指出他们的绝对误差限和相对误差限和有效数字的位数。%1 =0.0315,x2=0.3015,=31.50,x4=5000。分析：首先，本题的准确数未知，因此绝对误差限根据四舍五入规则确定。其次，应当先求绝对误差限，再求相对误差限，最后确定有效数字个数。有效数字由定义可以直接得出。解：由四舍五入的

7、概念，上述各数的绝对误差限分别是（玉）=0.00005,（X2）=0.00005,（X3）=0.005,r（x4）=0.5由绝对误差和相对误差的关系,、区）0.00005d（x.）=-=-0.16%,玉 0.0315 0.3015相对误差限分别是6(刍)=0.002%,x3 31.55*0.55000-0.01%.有效数字分别有3 位、4 位、4 位、4 位。4.计算厢的近似值，使其相对误差不超过0.1%。解：设取n 个有效数字可使相对误差小于0.1%,X10-0.1%,2%ffij3V 104,显然G=3,此时，则 X10-=2al即 k i o i y o-,612x3X101-U所以，n

8、=4o此时，V10=3.162 o5、在计算机数系 F(10,4,-77,77)中，M%,=0.1428 1X103-X2=-0.314159x10,试求它们的机器浮点数1（%）=1,2）及其相对误差。解：/Z(x,)=0.1428xl03,e(77(x1)=x1-/Z(x1)=0.14281xl03-0.1428xl03=0.00001xl03,什 上 曰 4、口1其相对我/Z(x2)=-0.3142x10,e(/Z(x2)=x2-/?(x2)=-0.314159x10-(-0.3142x10)=0.00041x10差分别是0.0000IxlO3 c ccrc/0.00004IxlO1-r=

9、0.007%,e2=-r0.1428X103 2-0.3142x10-0.013%o6、在机器数系F(1 0,8,L,U)中，取三个数x =0.2 3 3 7 1 2 5 8 x 1 0，)，=0.3 3 6 7 8 4 2 9 x 1()2,1 =0.3 3 6 7 7 8 1 1 x 1 0 2,试按(x +)，)+z,x +(y +z)两种算法计算x +y +z 的值，并将结果与精确结果比较。解：#(x +y)+z)=(0.2 3 3 7 1 2 5 8 x 1 0 7+0.3 3 6 7 8 4 2 9 x 1 0 2)0.3 3 6 7 7 8 1 1 x 1 0 2=(0.0 0

10、0 0 0 0 2 3 x l 02+0.3 3 6 7 8 4 2 9 x l O2)-0.3 3 6 7 7 8 l l x l O2=0.3 3 6 7 8 4 5 2 X 1 02-0.3 3 6 7 7 8 1 I x l O2=0.0 0 0 0 0 6 4 l x 1 02/(x +(y +z)=0.2 3 3 7 1 2 5 8 x 1 0-4+(0.3 3 6 7 8 4 2 9 x 1()2 -0.3 3 6 7 7 8 1 1 x 1 0 2)=0.2 3 3 7 1 2 5 8 x 1 O-4+0.0 0 0 0 0 6 1 8 x 1 02=0.0 0 0 0 0 0

11、 2 3 x l O2+0.0 0 0 0 0 6 1 8 x l 02=0.0 0 0 0 0 6 4 l x 1 02精确计算得：x+y +z =0.2 3 3 7 1 2 5 8 x 1 0 +0.3 3 6 7 8 4 2 9 X 1 02-0.3 3 6 7 7 8 1 I x l O2=(0.0 0 0 0 0 0 2 3 3 7 1 2 5 8 X 1 02+0.3 3 6 7 8 4 2 9 x l 02)-0.3 3 6 7 7 8 1 I x l O2=0.3 3 6 7 8 4 5 2 3 7 1 2 5 8 X 1 02-0.3 3 6 7 7 8 1 I x l O2

12、=0.0 0 0 0 6 4 1 3 7 1 2 5 8 x l 02第一种算法按从小到大计算，但出现了两个数量级相差较大的数相加，容易出现大数吃小数.而第二种算法则出现了两个相近的数相减，容易导致有效数位的减少。计算结果证明，两者精度水平是相同的。*在机器 数 系 F Q O,8,LU 中，取三个数x =0.2 3 3 7 1 2 5 8 x 1 O 4,。=0.3 3 6 7 8 4 2 9 x 1 0-2 =4 3 3 6 7 7 8 l l x l O?,试按(工+,)+Z,x +(y +z)两种算法计算x +y +z 的值，并将结果与精确结果比较。解：#(x +y)+z)=(0.2

13、3 3 7 1 2 5 8 x 1 0-4 +0 3 3 6 7 8 4 2 9 X 1 C T?)一 0 3 3 6 7 7 8 1 1 x 1=(0.0 0 2 3 3 7 1 3 x 1 0-2 +0.3 3 6 7 8 4 2 9 X 1 0-2)-0.3 3 6 7 7 8 l l x l O2=0.3 3 9 1 2 1 4 2 x 1 0-2 -0 3 3 6 7 7 8 1 1 x 1 0?=0.0 0 0 0 3 3 9 1 x l 02-0.3 3 6 7 7 8 1 I x l O2=-0.3 3 6 7 4 4 2 x 1 02#(x +(y +z)=0.2 3 3 7

14、 1 2 5 8 x 1 0-4+(0 3 3 6 7 8 4 2 9 x 1 0-2 一0.3 3 6 7 7 8 1 l x。?)=0.2 3 3 7 1 2 5 8 x 1 0 +(0.0 0 0 0 3 3 6 8 x l 02-0.3 3 6 7 7 8 1 I x l O2)=0.23371258X10-4-0.33674742X102=0.0 0 0 0 0 0 2 3 x 1 02-0.3 3 6 7 4 7 4 2 x 1 02=-0.3 3 6 7 4 7 1 9 x l 02第一种算法是按从小到大的顺序计算的，防止了大数吃小数，计算更精确。精确计算得：x+y +z =0.

15、2 3 3 7 1 2 5 8 x 1 0+0.3 3 6 7 8 4 2 9 X 1 0-2-0.3 3 6 7 7 8 1 1 X 1 02=0.0 0 0 0 2 3 3 7 1 2 5 8 +0.0 0 3 3 6 7 8 4 2 9 -3 3.6 7 7 8 1 1=0.0 0 3 3 9 1 2 1 4 1 5 8-3 3.6 7 7 8 1 1=-3 3.6 7 4 4 1 9 7 8 5 8 4 2=-0.3 3 6 7 4 4 1 9 7 8 5 8 4 2 x 1 0 2显然，也是第一种算法求出的结果和精确结果更接近。7、某计算机的机器数系为F(1 0,2,L,U),用浮点

16、运算分别从左到右计算及从右到左计算1 +0.4+0.3 +0.2 +0.0 4+0.0 3 +0.0 2 +0.0 1试比较所得结果。解：从左到右计算得1 +0.4+0.3 +0.2 +0.0 4+0.0 3 +0.0 2 +0.0 1=0.1 x1 0 +0.0 4x1 0 +0.0 3 x1 0 +0.0 2 x1 0 +0.0 0 x1 0 +0.0 0 x1 0 +0.0 0 x1 0 +0.0 0 x1 0=0.1 9 x1 0=1.9从右到左计算得1 +0.4+0.3 +0.2 +0.0 4+0.0 3 +0.0 2 +0.0 1=0.0 1 +0.0 2 +0.0 3 +0.0

17、4+0.2 +0.3 +0.4+1=0.1 xl 0-1+0.2 X 1 0-1+0.3 x1 0-+0.4x1 0*+0.2 +0.3 +0.4+1=0.1 +0.2 +0.3 +0.4+1=0.1 x1 0 +1=0.1 x1 0 +0.1 x1 0=0.2 x1 0=2从右到左计算避免了大数吃小数，比从左到右计算精确。8、对于有效数玉=-3.1 0 5,=0.0 0 1,X 3 =0 1 0 0，估计下列算式的相对误差限%=玉+%?+x3,%=彳2 9，=上分析：求和差的相对误差限采取先求出和差的绝对误差限再求相对误差限的方法。求积商的相对误差限采取先求每一个数的相对误差限再求和的方法。

18、解：因 为 无 =一3.1 0 5户2=0.0 0 1,刍=0.1 0。都是有效数,所以 （为）=0.0 0 0 5,E（X2）=0.0 0 0 5,（刍）=0.0 0 0 56（%）=0.0 0 0 53.1 0 5=0.1 6%（2）=0.0 0 0 50.0 0 1=5 0%&）0.0 0 0 50.1 0 0=0.5%贝U （x；+x2+x3）=（当）+（%2）+&3）=0.0 0 0 5+0.0 0 0 5+0.0 0 0 5=0.0 0 1 5由+%2+/）=（3+型+?）|，3 +x2+x3|0.0 0 1 5|-3.1 0 5+0.0 0 1 +0.1 0 0|0.0 0 1

19、53.0 0 4=4.9 9 x1 0-4=0.0 5%6（菁*3）=6（X ）+6（毛）=0.1 6%+5 0%+0.5%=50.6 6%Y6（）=6（X 2）+6（X 3）=5 0%+0.5%=50.5%9、试改变下列表达式，使其计算结果比较精确(其中|x|1表示x充分接近0,|x|1表示x充分大）。（1）I n X -I n/1 X =x2；匕 要,丑0且 凶1;-c o tx,x 0且W 1 o分析：根据算法设计的原则进行变形即可。当没有简单有效的方法时就采用泰勒展开的方法。解：(1)I n 玉 一 I n%2=I n 土；九2(2)1 _l-x=l +x-(l-x)21-x 1 +x

20、(l-x)(l +x)1 +x (1 2 x+x?)3 x x(1-x)(l +x)(1-x)(l +x)x_2y/xyJX2+1 +Jx2-1)或；(y/x2+1+J尤2 _)2x-+1 +x-1)(4)x2 x41 (1-1-+(1)“1-cos x 2!4!x2n(2)!Xr2 4+(-1 产2!4!Xx2n-+(2)!x X3-+(一 )2!4!2,1+1+(2)!cot X=2 B1 1 3=-x +X+3 45IB”是贝努利数)322n B.45(2)!-X(2/7)!,2n-l 十.1xx1X X+)”一一)10、用4位三角函数表，怎样算才能保证l-c o s2 有较高的精度？解

21、：根据1-cos2=2 sin)，先查表求出sinl再计算出要求的结果精度较高。1 1、利用7 7有之2 7.9 8 2求方程x2-56 x+l =0的两个根，使它们至少具有4位有效数字。解：由方程的求根公式，本方程的根为5 6V =5 62R=28 国-2 2因 为 历5=2 7.9 8 2,则%=2 8 +V 7 8 3 =2 8 +2 7.9 8 2 =55.9 8 2如果直接根据求根公式计算第二个根，则因为两个相近的数相减会造成有效数字的减少，误差增大。因此根据韦达定理x/2=l，在求出占=55.9 8 2后这样计算：%,=1=0.0 1 7 8 g.1 7 8仪 1 0-55.9 8

22、 2这样就保证了求出的根有四位有效数字。1 2、试给出一种计算积分1/=ej xnexdx(n=0,1,2,3,.),o近似值的稳定算法。解：当 n=0 时，/0=el x0 exdx=el(e-l)=l-e ooii(exdx=eAj =e 1)oo ob b对L运用分部积分法(J。=-卜)得a a1 1 1In=el xnexdx=e-1(xwe n xnexdx)=ee Q n xnexdx)0 0 01=1 -nex xnlexdx=1-nln_xo由此得到带初值的递推关系式7=Tln=1-A?7Z J_1(A?=1,2,3,.)由递推公式L=ln l一 解 得 小 (1 _/“)，这

23、是逆向的递推公式，对L的值作估计，有n11xedx ee xndx=0 01 +l另有(取e 的指数为最小值0,将 e，取 作 e=1作为常数即可简化公式)。则 e-/I e)|=I en|,计算是稳定的。n n n实际上，如果我们要求I”可以先求出L，这样求出的L 的误差是比L 的误差小得多的，而 120的误差本身也并不大。实际上，这样求出的L 比直接计算出来的精确得多。习 题 二 解 答1.用二分法求方程x3-2x2-4x-7=0在区间 3,4 内的根，精确到10汽 即误差不超过;xlO7。分析：精 确 到 与误差不超过1不不同。解：因为f(3)=-10 0,所以，方程在区间 3,4上有根

24、。I I I .I ,-a h a 4 3 1 1 3八 一 3I 1 2 2 2 2 2有 211000,又为 21=10241000,所以n=l l,即只需要二分11次即可。列表讨论如下：nanbnXnf(Xn)的符号1343.500一23.50043.750+33.5003.7503.625一43.6253.7503.688+53.6253.6883.657+63.6253.6573.641+73.6253.6413.633+83.6 2 53.6 3 33.6 2 9一93.6 2 93.6 3 33.6 3 1一1 03.6 3 13.6 3 33.6 3 2+1 13.6 3 13

25、.6 3 23.6 3 2一x*-x 1 1=3.6 3 2 o指出：(1)注意精确度的不同表述。精确到1 0 和误差不超过I C T，是不同的。(2)在计算过程中按规定精度保留小数，最后两次计算结果相同。如果计算过程中取4位八数，结果取3位，则如下表：nanbnXnf(X n)的符号1343.5 0 0 0一23.5 0 0 043.7 5 0 0+33.5 0 0 03.7 5 0 03.6 2 5 0一43.6 2 5 03.7 5 0 03.6 8 7 5+53.6 2 5 03.6 8 7 53.6 5 6 3+63.6 2 5 03.6 5 6 33.6 4 0 7+73.6 2

26、5 03.6 4 0 73.6 3 2 9+83.6 2 5 03.6 3 2 93.6 2 9 0一93.6 2 9 03.6 3 2 93.6 3 1 0一1 03.6 3 1 03.6 3 2 93.6 3 2 0+1 13.6 3 1 03.6 3 2 03.6 3 1 5一(3)用秦九韶算法计算fg比较简单。1*.求方程?-2 x-4 x-7=0的隔根区间。解：令 y =d-2/4 x-7 ,则 y=3 x2-4.r 4 =3 x +2 无 一2当：/=3 X 2-4 X一4=3 +2 x-2 1 0 时，有网=一|句=2。函数单调区间列表分析如下：X/2、_2332(2,+8)y+

27、00+y2 7_-1 5因为y_(2)=一 空 0 q 2 =-1 5 0,所以方程在区间-乜2 上无根；3 27 3因为y 一(2)=空 0,而函数在上单调增，函数值不可能变号，所以方程在该区间上无3 27 3根；因为y 2=-1 5 0,函数在(2,+8)上单调增，所以方程在该区间上最多有一个根，而(3)=-100,所以方程在区间(3,4)有一个根。所以，该方程有一个根，隔根区间是(3.4)。2.证明l-x-sin x =0在 0,1 内有一个根，使用二分法求误差不大于,xlCT4的根，需要迭代多少次？分析：证明方程在指定区间内有一个根，就是证明相应的函数在指定区间有至少一个零点。解：令/

28、(x)=l-x-sin x ,a /(0)=l-0-sin0=l 0,/(l)=l-l-sin l=-sinl 0,W J/(0)/(l)0,由零点定理，函数f(x)在 0,1 区间有一个根。由I ni L=h=lz2=10000,又为 2i=1024,2|3=819210000所以n=1 5,即需要二分15次。3.试 用迭代公式,%=1,求方程/+2/+1 0 X-2 0 =0 的根，要求精确到10一 5。xk+2xk+10分析：精确到10一 5即误差不超过;X10-5解：/(X)=X3+2X2+10X-20列表进行迭代如下：Xk/U)01-711.538463.7596421.29502-

29、1.5238031.401820.7031141.35421-0.3066751.375300.1372161.36593-0.0606771.370090.0270581.36824-0.0119891.369060.00531101.36870-0.00228111.368860.00110121.36879-0.00038131.368820.00025141.368813 92x10-5151.368813 992x10-5指出：精确到10一 5可以从两个方面判定。第一，计算过程中取小数到KT，位，最后两个计算结果相同，终止计算。第二，计算过程中取小数到1 0 ,当上向-x|-=1 =

30、-1=0,贝 ijex ex2x=x+-e-1,设。2g x=x+一coseA有八 sh cos,0 -2 xe xeg x=1+-二1 二6in cos)2立 s*+上x+x 1 4-1-在x=05处，因为i-sin（.兀）（）2/2 05+-g05=1-=096151（:cos所以迭代法g =+1在 =o5的邻域内收敛。e k列表迭代如下：00.510.7 120.6 930.6 9此时2 0 6 9-e 6 9=0 0 0 6 1 4 o5.为求方程/-2-1 =0 在x 0=1 5 附近的一个根，设将方程改为下列等价形式，并建立相应的迭代公式：0 1 11 x =1 +r 迭代公式4+

31、i =1 +；xx*()(32 x3=l +x2 迭代公式x*+=1 +x”3%=-迭代公式X*+|=r-X-1 V -1 -试分析每种迭代公式的收敛性，并取一种公式求出具有4位有效数字的近似值。解：(1)因为x =l +，所以迭代函数为g JL l +士，则X XgQ )=3)=_ 2/，/1 1 简-2x 1罚=一 一 1满足局部收敛性条件，所以迭代x 1 5 3 375公式4T=1+4 具有局部收敛性。不(I ()(1(2)因为x=1 +X2 所以迭代函数为g X=l +x2 与，则,01(2 乩 2,(2 耳 2xa X=-l +x 3 2x=x l +x =7-Z-,33 3 I g

32、 l t:J=O45 6 1不满足收敛性条件，所以迭代公式/.一2x0524+1=下 不具有收敛性。用迭代公式k=1+4 列表计算如下:01.511.44421.48 031.45 741.47 151.46261.46871.46481.46791.465101.466111.465所以，方程的近似根为X：1 465。6.设eJ x+c J-3 ，应如何取C 才 能 使 迭 代 公 式 具 有 局 部 收 敛 性？解：设 C 为常数，因为夕J-3 ,所以+2cx,要使迭代公式具有局部收敛性,需/=|l +2Cx o|l,此时即有一 1 1+2。/1,也即-l Cx0O o 即只要C 去满足如

33、上条件的常数，就可以使得迭代公式具有局部收敛性。7.用牛顿法求方程/-3 -1 =0 在初始值%=2 邻近的一个正根，要 求-尤/V I O L解：因为d-3x-l =0所以有X)=X3-3X-1,相应的迭代公式为x?3x.-1 2x?+1*+L k-3x-3 3x1-3取 x 0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下：k0123Xk21.8 8 8 91.8 7 951.8 7 94因为民-引=0.0 0 0 1 8r 1 K )aNan-xk+i+-q-,、Ky i R/V Cl-H _ 1 X,.-X；n+4rA+l T xk +RK )-1%+T T p a I xk+尸Xk2n

34、V a12n板1 0.用快速弦截求方程Y-3 x-1 =0在初始值x=2邻近的实根(取斗=1.9,要求精确到1 0 q)。解：因为 3-33-1=0所以有/(x)=xJ 3 x-l,相应的迭代公式为取x0=2为迭代的初始近似值。迭代的结果列表如下:kXkXk-Xk-1f(Xk)f(Xk)-f(xk-i)02111.9-0.10.15 9-0.8 4121.8 8 11-0.0 18 90.0 130-0.14631.8 7 94-0.0 0 170.0 0 0 1-0.0 12941.8 7 94因为区-七|=0.0000 ；xl0-3,符合计算的精度要求,所以x*f=1.8794 o指出：本

35、教程所说快速弦截法是通常所说的弦截法（割线法），而它所说弦截法是通常的单点弦截法。11、分别用下列方法求方程4cosx=/在x0=3邻近的根，要求有三位有效数字。（1）用牛顿法，取x0=工；4（2）用弦截法，取 七=。=工；4 2（3）用快速弦截法，取七=三,七=工。4 2解：方程4cosx=e*变形为 e*-4cosx=0,贝 U /(x)=e*-4 cos x,/(x)=e*+4sinx。牛顿法、弦截法、快速弦截法公式分别为（1）牛顿法/(x)e“+1 _ ”_ _R_ C _ Ak/(4)e一 4 cos X.+4sinx*（2）弦截法（3）快速弦截法(/r J。/)-/(%)J取3位有效数字，分别计算得kXk牛顿法弦截法快速弦截法00.7850.7850.78511.591.571.5721.411.331.3331.391.401.3841.391.381.4051.391.3961.381.39