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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载极坐标系与参数方程学问梳理一、极坐标1、极坐标定义 ： M 是平面上一点,表示 OM 的长度,是MOx ,就有序实数实数对0,2 ,0 ；0,的象限由点 , x y 所, ,叫极径,叫极角；一般地,cos或22 x2 y2、极坐标和直角坐标互化公式：x ytany x xsin在象限确定 . 二、常见曲线的极坐标方程1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点,半径为r 的圆的极坐标方程是；（2）圆心在极轴上的点a ,0 处,且过极点 O 的圆的极坐标方程是（3）圆心在点a,2处且过极点的圆O 的极坐标方程是2、直线的极坐标方程（1）过
2、极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是；（2）过点a ,0 ,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是三、 常见曲线的参数方程直线,倾圆椭圆双曲线y2抛物线0 过点x0y0圆心在点 , a b ,中心在原点,中心在原点,长2px p斜角为半径为r长、短轴分别为短轴分别为2 、b2 、b第 1 页,共 16 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载第一节 平面直角坐标系中的伸缩、平移变换【学问点 】x x 0定义 1：设 P x y 是平面直角坐标系中的任意一点,在变换 : 的作用下,y y 0点 P x y 的对应点为 P x , y
3、；称 为平面直角坐标系中的伸缩变换；定义 2： 在平面内,将图形 F 上全部点依据同一个方向,移动同样长度,称为图形 F 的平移；如以向量 a 表示移动的方向和长度,我们也称图形 F 按向量 a 平移在平面直角坐标系中,设图形 F 上任意一点 P 的坐标为 x , y ,向量 a h , k ,平移后的对应点为 P x , y .就有： x , y h , k x , y x x h即有：,y y kx x h在平面直角坐标系中,由 所确定的变换是一个平移变换；y y k由于平移变换仅转变图形的位置,不转变它的外形和大小所以,在平移变换作用下,曲线上任意两点间的距离保持不变；【典例 1】（20
4、22 年高考辽宁卷（文）将圆 x 2y 21 上每一点的横坐标保持不变,纵坐标变为原先的 2 倍,得曲线 C. I 写出 C 的参数方程；（II ）设直线 l：2xy20 与 C 的交点为 P1,P2,以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,求过线段 P1P2 的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程练习：名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 1将点P ,22 变换为点P6 ,精品资料欢迎下载y（）1所用的伸缩变换公式是 A.x1 3 2x B.x1 2 x3 y C.x3 x12 y D.x y3 x2 y
5、yyyy2.在同始终角坐标系中,将直线x2y2变成直线 2 4,就满意图象变换的伸缩变换公式是 _. x4 x3.在平面直角坐标系中将曲线C:2 xy21依据变换:y3y得到的曲线C 的方程为2_；4. 已知曲线C 1:xcos为参数 . 如把曲线C 上各点的横坐标压缩为原先的1,纵坐标ysin2压 缩 为 原 来 的3, 得 到 曲 线C , 就 曲 线C 的 参 数 方 程 为 _, 普 通 方 程 为2_；【典例 2】把圆C 1: x32y124先向下平移 1 个单位长度,再向右平移3 个单位长度后得到圆C ,求圆C 的一般方程；练习：1. 点P ,23先向左平移3 个单位长度,再向上平
6、移2 个单位长度后得到点P的坐标是_；2. 抛物线x24y 先向右平移1 个单位长度,再向上平移1 个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标是 _；3. 将曲线C:2 xy22x4y0先向左平移 1 个单位长度,再向下平移2 个单位长度后得到的曲线的方程是 _；名师归纳总结 其次节极坐标与直角坐标互化第 3 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 【学问点 】xcos或22 xy2精品资料欢迎下载tan0,的象限由点 , x y 所在象限确定 . y x xysin练习一：把以下点的极坐标化为直角坐标（1） 3,4；（2）2,2；（3） 4,2；3
7、（4）3,（5） 3,7； （6）1,5264练习二：把以下点的直角坐标化为极坐标（1） 3,3；（2）0,5；（3）0,1；32（4） 3,0（5） 3,3； （6） 2, 2 3考点二：曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化练习一：把以下曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）cos2sin10 : ； （8）射线；x；（2）4cos330: ；4（3）4sin4: ；（4）2sin: ；（5）4cos2sin: ；（6）4cos: ；7直线4: 3 4: ；10923cos2124sin2:212:2 cos ： 直 线0或 射 线0直 ： ykx （ 或 ykx （0） 或 ykx（x0）
8、练习二：把以下曲线的 直角坐标方程化为 极坐标方程 : 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - （1）xy20: 0: 精品资料欢迎下载y21: : ；（2）3xy（3）x2y21: ；（4）3x226；4（5）x2y26x；（6）x32y24: ；高考再现1（2022 年高考辽宁卷（文）在直角坐标系 xoy 中以 O 为极点 , x 轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 圆 C , 直线 C 的极坐标方程分别 4sin , cos 2 2.4I 求 C 与 C 交点的极坐标 ; II 设 P 为 C 的圆心 , Q 为 C
9、与 C 交点连线的中点 . 已知直线 PQ 的参数方程为3x t ab 3 t R 为参数 , 求 a b 的值. y t 122. （ 2022 年 高 考 广 东 卷 （ 文 ） 在 极 坐 标 系 中 , 曲 线 C1 与 C2 的 方 程 分 别 为22 cos sin 与 cos 1；以极点为平面直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面直角坐标系,就曲线 C1与 C2 交点的直角坐标为 _3（2022 年高考陕西卷（文）在极坐标系中,点 2,6到直线 sin 61 的距离是 _名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 16 页精选学习资料 - - - - -
10、- - - - 精品资料欢迎下载x 轴正半轴为4. （2022 年高考湖南卷（文） ）在直角坐标系xOy 中,以坐标原点为极点,极轴建立极坐标系 .如曲线 C 的极坐标方程为2sin ,就曲线 C 的直角坐标方程为 _. 第三节 参数方程与一般方程互化【学问点 】常见曲线的参数方程直线,倾圆椭圆双曲线y2抛物线0 过点x0y0圆心在点中心在原点,中心在原点,2pxp斜角为 , a b ,半径长、短轴分别为长短轴分别为为r2 、b2 、b把参数方程化为一般方程的常用方法：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t ,然后代入消去参数；（2）三角法：利用三角恒等式消去参数,如平方关系sin22 co
11、s1；第 6 页,共 16 页名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载（3）整体消元法：依据参数方程本身的结构特点,从整体上消去；练习一：把以下曲线的直角坐标（一般）方程化为参数坐标方程（1）C:x2y21,C:；第 7 页,共 16 页2516（2）C:x2y21,C:；34（3）C（x22y2 14,C:（4）C:x2y24x2y110,C:；（5）C:x2y24y0,C:；（6）直线 l 的倾斜角为3 4,且过点P 4, 2,就 l ：；（7）直线 l 过点M4,1,倾斜角为2,就 l ：练习二：把以下参数方程化为直角坐
12、标方程（一般方程）；（1）C:x52 t（ t ：参数）,C:y1 2 t（2）C:x11t t为参数C:2y3 2t；（3）C:x24 5tt（ t ：参数）,C:y135；（4）C:x233cos（：参数）,C:y3sin；（5）C:x2cost（ t ：参数）,C:y3 sint；（6）C:x5cos（：参数）,C:y4sin（7）C:xp2（ p ：参数）,C:y2p；（8）C:x3sin4cos（：参数）,C:y4sin3cos名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载 高考再现1 （2022年高考广东卷（文）已知曲线
13、 C 的极坐标方程为2cos. 以极点为原点 , 极轴为 x 轴的正半轴建立直角坐标系, 就曲线 C 的参数方程 _；2 （2022 年高考湖南（文 11）在平面直角坐标系 xoy 中, 如直线 l 1 : x 2 s 1,s 为参数 y sx at ,和直线 l 2 : t 为参数 平行 , 就常数 a 的值为 _ y 2 t 123 （2022 年高考陕西卷（文 15）圆锥曲线 x t t 为参数 的焦点坐标是 _ y 2 t4. （2022 年高考湖南卷（文）在平面直角坐标系中,曲线C：x22 2 t,t 为参数 的y12 2 t一般方程为 _5（2022 年高考课标 卷（文）已知曲线C
14、 的参数方程为x45cos , t 为参数 , 以y55sint坐标原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系 , 曲线 C 的极坐标方程为2sin . 把 C 的参数方程化为极坐标方程 ; 求 1 C 与 C 交点的极坐标 0,0 2 . 6（2022 年高考新课标卷 2（文）在直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点,x 轴正半轴为极轴建立极坐标系,半圆C 的极坐标方程为2cos, 0, 2 . I 求 C 的参数方程；（II ）设点 D 在 C 上, C 在 D 处的切线与直线l：y3x2 垂直,依据 1中你得到的参名师归纳总结 第 8 页,共 16 页- - - - - - -精
15、选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载数方程,确定 D 的坐标7. （2022 年高考广东卷（文）在平面直角坐标系x y 中,以原点为极点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线C 的极坐标方程为cossin2 ,曲线C 的参数方程为xt22t（ t为参数）,就C 与C 交点的直角坐标为y2第四节极坐标和参数方程的综合应用考点一：曲线上的动点到直线距离的最值问题常用参数方程和三角恒等变换的学问解决；步骤：（1）利用曲线的参数方程把曲线上的动点 P 的坐标设出来；（2）利用点到直线的距离公式求出曲线上的动点P 到直线 l 的距离 d ；（3）利用帮助角公式asinxb
16、cosx2 ab2sinx（其中 tanb a）,把第（ 2）步求出的距离 d 的右边化为d|Asinxk|（t0）的模式；为参数,在以原t（4）利用三角函数的有界性求出距离d 的最值；【典例1】 在直角坐标系xOy 中,曲线C 的参数方程为x3 cos, ysin点 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线C 的极坐标方程为sin442；（I ）求曲线C 的一般方程与曲线C 的直角坐标方程；P 的坐标；第 9 页,共 16 页（II ）设 P 为曲线C 上的动点,求点 P 到C 的距离的最小值,并求此时点名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - -
17、- - - 变式：如把曲线C 的参数方程改为x精品资料欢迎下载C 上的动点,求点3cos,为参数 ,设 P 为曲线y3sinP 到 C 的距离的最大值；练习：1（2022 年高考新课标卷 1（文）已知曲线 C：x 4y 291,直线 l：2 x2t,y22t t 为参数 I 写出曲线 C 的参数方程、直线 l 的一般方程；（II ）过曲线 C 上任意一点 P 作与 l 夹角为 30 的直线,交 l 于点 A,求 |PA|的最大值与最小值2. 2022年高考陕西卷（文） ）在直角坐标系xOy 中,直线 l 的参数方程为x31 t2 t为y3t2参 数 ）, 以 原 点 为 极点 , x 轴 的
18、正 半 轴 为 极轴 建 立 极 坐 标 系 ,C 的 极 坐 标 方 程 为第 10 页,共 16 页2 3 sin. I 写出C 的直角坐标方程；名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载II P 为直线 l 上一动点,当 P 到圆心 C 的距离最小时,求点 P 的坐标 . 考点二：标准直线参数方程中参数 t 的几何意义【学问梳理】如 l : xy xy 00 atbt（ t ：参数）已是 标准参数方程 ,即 a2b21,且 l 和曲线 C 圆、椭圆、抛物线 交于 A、B 两点,就 : 把 l 中的 x、 代入曲线 C 的直
19、角坐标方程, 整理 at 2bt c 0 ,其中,P x 0y 0 ；t 、t 2 为方程 的两根（即 A、B 两点对应的参数分别为 t 、t 2）b ct 1 t 2 , t t 1 2；a a由 t 的几何意义,得 :公式 1: 长度之积 : | PA | | PB | | t t 1 2 | ；公式 2: 长度之和 : 2| PA | | PB | | t 1 t 2 | ac 0 ；或 | PA | | PB | | t 1 t 2 | t 1 t 2 4 t t 1 2 ac 0 ；2公式 3: 弦长 | AB | | t 1 t 2 | t 1 t 2 4 t t 1 2；但如是
20、l 和 圆可不用此公式 , 而用2 2| AB | 2 r d 更简洁；说 明 ： 上 述 公 式 中 的 两 条 线 段 为 l 所 过 的 点 M P , A Q 分 别 和 曲 线 C 两 交 点A B M , N 的连线段 ；公式 4: 线段 AB的中点 M对应的参数 t t 1 t 22；x 3 2 t ,【典例】在直角坐标系 xoy 中,直线 l 的参数方程为 2（t 为参数） .在极坐标系2y 5 t2（与直角坐标系 xoy 取相同的长度单位,且以原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴）中,圆 C 的方程为 2 5 sin . （）求圆 C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线
21、 l 交于点 A、B,如点 P 的坐标为3, 5 ,求 1 1 的值 . | PA | | PB |名师归纳总结 第 11 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 练习： 1.已知过点P 3,1的直线l:x精品资料t欢迎下载C:x4cos交于 A、B3与曲线y1ty4sin两点,求|PA|PB| ,|AB|；x2y21于A、B两点；假如点 M 恰好为线段 AB 的2.经过点M2,1作直线 l ,交椭圆164中点,求直线 l 的方程；3. （2022 年高考江苏卷（文） ） 在平面直角坐标系xOy 中,已知直线l 的参数方程为名师归纳总结 -
22、- - - - - -第 12 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - x12 2 t,精品资料欢迎下载t 为参数 ,直线 l 与抛物线 y 24x 相交于 A,B 两点,求线段 AB 的长y22 2 t考点三：求动点的轨迹方程问题求曲线的极坐标方程的方法和步骤：建、设、限、代、化1建立适当的极坐标系,设M, 是一曲线上任意一点；和极角之间的关系式；2由曲线上的点所适合的条件,列出曲线上任意一点的极径3将列出的关系式进行整理、化简,得出曲线上的极坐标方程；4证明所得方程就是曲线的极坐标方程【典例】（2022 年高考课标 卷（文）已知动点P Q 都在曲线C:x2cost
23、t为参数上,y2sint对应参数分别为 t与t2 02 , M 为 PQ 的中点 . 求 M 的轨迹的参数方程 ; 将 M 到坐标原点的距离d 表示为的函数 , 并判定 M 的轨迹是否过坐标原点 . 练习：名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载x 3cos1.已知曲线 C 的参数方程为 y 2sin 为参数 ,在同一平面直角坐标系中,将曲线 C 上1x x的点按坐标变换 3 得到曲线 C ；1y y2（）求曲线 C 的一般方程；（）如点 A 在曲线 C 上,点 B（3,0）,当点 A 在曲线 C 上
24、运动时,求 AB 中点 P 的轨迹方程； 2. 在极坐标系中,已知圆C 的圆心C3,3,半径r3；（） 求圆 C 的极坐标方程；（） 如点 Q 在圆 C 上运动,点 P 在 OQ 的延长线上,且OQ2QP , 求动点 P 的轨迹方程；名师归纳总结 第 14 页,共 16 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 精品资料 欢迎下载3. 以平面直角坐标系的原点为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,自 极 点 O 作 直 线 与 曲 线 cos 4 相 交 于 点 Q , 在 线 段 OQ 上 有 一 动 点 P 满 足x 1 t| O P | | O Q
25、| 1 2如点 P 的轨迹为曲线 C ,方程（ t 为参数）表示的轨迹为曲线y 2 tC （）求曲线 C 的极坐标方程；（）如曲线 C 与 C 交于点 A 、 B ,求 A 、 B 两点间的距离 | AB 考点四：应用 的几何意义表示两点间的距离极坐标系下的两点间的距离公式：设A1,1,B2,2,由余弦定理可得（t 为 C2：|AB|222212cos12,特殊地,当12时,|AB| |12|1【典例】 2022 年高考新课标卷2（文）在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1：xtcosytsin参数, t 0）,其中 0 ,在以 O 为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线2sin,C3：
26、2 3 cos ；（I）求 C2与 C3交点的直角坐标；（II）如 C1与 C2相交于点 A,C1与 C3相交于点 B,求 |AB 的最大值；名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页,共 16 页精选学习资料 - - - - - - - - - 练习： 2022年高考新课标卷精品资料欢迎下载xOy 中,直线C 1:x2,圆1（文）在直角坐标系C2:x12y221,以坐标原点为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. C MN 的面（I）求C C 的极坐标方程 . （II ）如直线C 的极坐标方程为R,设C C 的交点为M,N ,求4积. 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页,共 16 页