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1、精品资料欢迎下载极坐标系与参数方程 知识梳理一、极坐标1、极坐标定义 ：M是平面上一点，表示 OM 的长度，是MOx，则有序实数实数对(, ),叫极径，叫极角；一般地，0,2)，0。2、极坐标和直角坐标互化公式：cossinxy或222tan(0)xyyxx，的象限由点( , )x y所在象限确定 . 二、常见曲线的极坐标方程1、圆的极坐标方程（1）圆心在极点，半径为r的圆的极坐标方程是；（2）圆心在极轴上的点)0,(a处，且过极点 O的圆的极坐标方程是；（3）圆心在点)2,(a处且过极点的圆O的极坐标方程是。2、直线的极坐标方程（1）过极点且倾斜角为的直线的极坐标方程是；（2）过点)0,(a
2、，且垂直于极轴的直线的极坐标方程是；三、常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点),(00yx，倾斜角为圆心在点( , )a b，半径为r中心在原点，长、短轴分别为ba 22 、中心在原点，长短轴分别为ba 22 、)0(22ppxy精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 16 页精品资料欢迎下载第一节平面直角坐标系中的伸缩、平移变换【知识点 】定义 1：设( , )P x y是平面直角坐标系中的任意一点，在变换(0):(0)xxyy的作用下，点( ,)P x y的对应点为(,)Pxy。称为平面直角坐标系中的伸缩变换。定义
3、2： 在平面内，将图形F 上所有点按照同一个方向，移动同样长度，称为图形 F 的平移。若以向量a表示移动的方向和长度，我们也称图形F 按向量a平移在平面直角坐标系中，设图形F 上任意一点P 的坐标为),(yx，向量),(kha，平移后的对应点为),(yxP.则有：),(),(),(yxkhyx即有：xxhyyk，在平面直角坐标系中，由xxhyyk所确定的变换是一个平移变换。因为平移变换仅改变图形的位置，不改变它的形状和大小所以，在平移变换作用下，曲线上任意两点间的距离保持不变。【典例 1】 （2014 年高考辽宁卷（文）将圆 x2y21 上每一点的横坐标保持不变，纵坐标变为原来的 2 倍，得曲
4、线 C. (I) 写出 C 的参数方程；（II ）设直线 l：2xy20与 C 的交点为 P1，P2，以坐标原点为极点， x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，求过线段P1P2的中点且与 l 垂直的直线的极坐标方程练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 16 页精品资料欢迎下载1将点)2, 2(P变换为点) 1,6(P所用的伸缩变换公式是（） A.yyxx231 B.yyxx321 C.yyxx213 D.yyxx232.在同一直角坐标系中，将直线22xy变成直线2 4xy，则满足图象变换的伸缩变换公式是 _. 3.在平面直角坐
5、标系中将曲线1:22yxC按照变换4:32xxyy得到的曲线C的方程为_ 。4. 已知曲线1cos:()sinxCy为参数 . 若把曲线1C上各点的横坐标压缩为原来的12，纵坐标压 缩为 原来 的32，得 到曲 线2C，则 曲线2C的参 数方 程为 _，普 通方 程为_ 。【典例 2】把圆221:(3)(1)4Cxy先向下平移 1 个单位长度，再向右平移3 个单位长度后得到圆2C，求圆2C的普通方程。练习：1. 点) 3, 2(P先向左平移3 个单位长度，再向上平移2 个单位长度后得到点P的坐标是_。2. 抛物线24xy先向右平移1 个单位长度，再向上平移1 个单位长度后得到的抛物线的顶点坐标
6、是 _。3. 将曲线22:240Cxyxy先向左平移 1个单位长度，再向下平移2 个单位长度后得到的曲线的方程是 _ 。第二节极坐标与直角坐标互化精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 16 页精品资料欢迎下载【知识点 】cossinxy或222tan(0)xyyxx，的象限由点( ,)x y所在象限确定 . 练习一：把下列点的极坐标化为直角坐标（1）(3,)4；（2）2(2,)3；（3）(4,)2；（4）3(,)2；（5）7( 3,)6； （6）5(1,)4；练习二：把下列点的直角坐标化为极坐标（1）(3,3)； （2）5(0
7、,)3；（3）1(0,)2；（4）(3,0)；（5）(3,3)； （6）( 2, 2 3)；考点二：曲线的极坐标方程与直角坐标方程的互化练习一：把下列曲线的极坐标方程化为直角坐标方程（1）cos2sin10: ；（2）34cos()304: ；（3）4sin()4: ；（4）2sin: ；（5）4cos2sin: ；（6）4cos: ；(7)直线4: ； （8）射线34: ；(9)222123cos4sin:；(10)2221cos:；注 意 ： 极 ： 直线0或 射 线0直： ykx （或 ykx （0 x）或 ykx（0 x）练习二：把下列曲线的 直角坐标方程化为 极坐标方程 : 精选学习
8、资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 16 页精品资料欢迎下载（1）20 xy: ；（2）31xy: ；（3）2214xy: ； （4）22326xy: ；（5）2260 xyx: ； （6）22(3)4xy: ；高考再现1 （2013 年高考辽宁卷（文）在直角坐标系xoy中以 O为极点 , x轴正半轴为极轴建立极坐标系 . 圆1C, 直线2C的极坐标方程分别4sin,cos2 2.4(I) 求1C与2C交点的极坐标 ; (II)设P为1C的圆心 ,Q为1C与2C交点连线的中点 . 已知直线PQ的参数方程为3312xtatRbyt为参
9、数, 求,a b的值. 2. （ 2014 年 高 考 广 东 卷 （ 文 ） ） 在 极 坐 标 系 中 ， 曲 线C1与 C2的 方 程 分 别 为22cossin与cos1。以极点为平面直角坐标系的原点，极轴为x 轴的正半轴，建立平面直角坐标系，则曲线C1与 C2交点的直角坐标为 _3 （2014 年高考陕西卷（文）在极坐标系中，点2，6到直线 sin 61 的距离是_精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 16 页精品资料欢迎下载4. （2015 年高考湖南卷（文）在直角坐标系xOy 中，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极
10、轴建立极坐标系 .若曲线 C 的极坐标方程为2sin，则曲线 C 的直角坐标方程为 _. 第三节参数方程与普通方程互化【知识点 】常见曲线的参数方程直线圆椭圆双曲线抛物线过点),(00yx，倾斜角为圆心在点( , )a b，半径为r中心在原点，长、短轴分别为ba 22 、中心在原点，长短轴分别为ba 22 、)0(22ppxy把参数方程化为普通方程的常用方法：（1）代入法：利用解方程的技巧求出参数t，然后代入消去参数；（2）三角法：利用三角恒等式消去参数，如平方关系22sincos1；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页，共 16
11、 页精品资料欢迎下载（3）整体消元法：根据参数方程本身的结构特征，从整体上消去。练习一：把下列曲线的直角坐标（普通）方程化为参数坐标方程（1）22:12516xyC，:C；（2）22:134xyC，:C；（3）22:2)(1)4Cxy（，:C；（4）22:42110Cxyxy，:C；（5）22:40Cxyy，:C；（6）直线 l的倾斜角为34，且过点( 4,2)P，则 l ：；（7）直线 l过点(4,1)M，倾斜角为2，则 l：；练习二：把下列参数方程化为直角坐标方程（普通方程）（1）52:1 2xtCyt（t：参数） ，:C；（2）112:()32xtCtyt为参数:C；（3）425:315
12、xtCyt（t：参数） ，:C；（4）23cos:33sinxCy（：参数） ，:C；（5）2cos:3sinxtCyt（t：参数） ，:C；（6）5cos:4sinxCy（：参数） ，:C；（7）2:2xpCyp（p：参数） ，:C；（8）3sin4cos:4sin3cosxCy（：参数） ，:C；精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页，共 16 页精品资料欢迎下载高考再现1 （2013年高考广东卷（文）已知曲线 C 的极坐标方程为2cos. 以极点为原点 , 极轴为 x轴的正半轴建立直角坐标系, 则曲线 C 的参数方程 _ 。2
13、 （2013 年高考湖南（文 11） ）在平面直角坐标系xoy中, 若直线121,:xslys(s 为参数 )和直线2,:21xatlyt(t 为参数 )平行, 则常数 a 的值为 _ 3 （2013 年高考陕西卷（文15） ）圆锥曲线 ( t 为参数 )的焦点坐标是 _ 4. （2014 年高考湖南卷（文）在平面直角坐标系中，曲线C：x222t，y122t(t 为参数 )的普通方程为 _5 （2013 年高考课标 卷（文） ）已知曲线1C 的参数方程为45cos ,55sinxtyt( t 为参数 ), 以坐标原点为极点 , x轴的正半轴为极轴建立极坐标系, 曲线2C 的极坐标方程为2sin
14、. ()把1C 的参数方程化为极坐标方程;( ) 求1C 与2C 交点的极坐标 (0,02). 6 （2014 年高考新课标卷2（文） ）在直角坐标系 xOy中，以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴建立极坐标系，半圆C 的极坐标方程为2cos， 0，2. (I) 求 C 的参数方程；（II ）设点 D 在 C 上， C 在 D 处的切线与直线l：y3x2 垂直，根据 (1)中你得到的参22xtyt精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页，共 16 页精品资料欢迎下载数方程，确定 D 的坐标7. （2015 年高考广东卷（文）在平面直角
15、坐标系x y中，以原点为极点， x轴的正半轴为极轴建立极坐标系曲线1C 的极坐标方程为cossin2，曲线2C 的参数方程为222xtyt（ t为参数） ，则1C 与2C 交点的直角坐标为第四节极坐标和参数方程的综合应用考点一：曲线上的动点到直线距离的最值问题常用参数方程和三角恒等变换的知识解决。步骤：（1）利用曲线的参数方程把曲线上的动点P的坐标设出来；（2）利用点到直线的距离公式求出曲线上的动点P到直线 l 的距离 d ；（3）利用辅助角公式22sincossin()axbxabx（其中tanba） ，把第（ 2）步求出的距离 d 的右边化为|sin()|Axkdt（0t）的模式。（4）利
16、用三角函数的有界性求出距离d的最值。【典例1】 在直角坐标系xOy中，曲线1C的参数方程为3 cos,()sinxy为参数，在以原点 O为极点， x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线2C的极坐标方程为sin()424。（I ）求曲线1C的普通方程与曲线2C的直角坐标方程；（II ）设P为曲线1C上的动点，求点P到2C的距离的最小值，并求此时点P的坐标。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 9 页，共 16 页精品资料欢迎下载变式：若把曲线1C的参数方程改为3cos,()3sinxy为参数 ，设P为曲线1C上的动点，求点P到2C的距离的最大值
17、。练习：1 （2014 年高考新课标卷1（文） ）已知曲线 C：x24y291，直线 l：x2t，y22t(t 为参数 )(I) 写出曲线 C 的参数方程、直线l 的普通方程；（II ）过曲线 C上任意一点 P作与 l 夹角为 30的直线，交 l 于点 A，求 |PA|的最大值与最小值2. (2015年高考陕西卷（文） ）在直角坐标系xOy中，直线 l 的参数方程为132(32xttyt为参 数） ， 以 原点 为极点 ， x 轴的 正 半 轴为 极轴 建立 极坐 标 系 ，C 的 极 坐标 方程为2 3 sin. (I)写出C的直角坐标方程；精选学习资料 - - - - - - - - -
18、名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页，共 16 页精品资料欢迎下载(II) P 为直线 l 上一动点，当 P 到圆心 C 的距离最小时，求点P 的坐标 . 考点二：标准直线参数方程中参数t的几何意义【知识梳理】若00:xxatlyybt（t：参数）已是 标准参数方程，即221ab，且 l 和曲线C( 圆、椭圆、抛物线 ) 交于BA、两点，则 : 把l 中的yx、代入曲线C的直角坐标方程， 整理02cbtat ()，其中，),(00yxP；21tt 、为方程 ()的两根（即BA、两点对应的参数分别为21tt 、）12btta,1 2ct ta；由t的几何意义，得 :公式 1: 长
19、度之积 : 1 2PAPBt t| | | ；公式 2: 长度之和 : |21ttPBPA(0ac) ；或212121 2| |()4PAPBttttt t(0ac) ；公式 3: 弦长212121 2| |()4ABttttt t；但若是 l 和圆可不用此公式 , 而用22| 2ABrd更简单；说 明 ： 上 述 公 式 中 的 两 条 线 段 为 l 所 过 的 点(,)MPA Q分 别 和 曲 线C两 交 点,(,)A B MN的连线段 ；公式 4: 线段 AB的中点 M对应的参数122ttt。【典例】在直角坐标系xoy中，直线 l 的参数方程为23,2252xtyt（t 为参数） .在
20、极坐标系（与直角坐标系xoy取相同的长度单位，且以原点O 为极点，以 x轴正半轴为极轴）中，圆 C 的方程为2 5 sin. （）求圆C 的直角坐标方程；（）设圆 C 与直线 l 交于点 A、B，若点 P 的坐标为(3,5)，求11|PAPB的值 . 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页，共 16 页精品资料欢迎下载练习： 1.已知过点( 3,1)P的直线3:1xtlyt与曲线4cos:4sinxCy交于AB、两点，求PAPB|,AB|；2.经过点(2,1)M作直线 l ，交椭圆221164xy于BA、两点。如果点 M 恰好为线
21、段 AB 的中点，求直线 l 的方程。3. （2014 年高考江苏卷（文） ）在平面直角坐标系xOy 中，已知直线l 的参数方程为精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页，共 16 页精品资料欢迎下载x122t，y222t(t为参数 )，直线 l 与抛物线 y24x 相交于 A，B 两点，求线段 AB的长考点三：求动点的轨迹方程问题求曲线的极坐标方程的方法和步骤：建、设、限、代、化(1)建立适当的极坐标系，设(, )M是一曲线上任意一点；(2)由曲线上的点所适合的条件，列出曲线上任意一点的极径和极角之间的关系式；(3)将列出的关系式
22、进行整理、化简，得出曲线上的极坐标方程；(4)证明所得方程就是曲线的极坐标方程【典例】（2013 年高考课标 卷（文） ）已知动点,P Q都在曲线2cos:()2sinxtCtyt为参数上,对应参数分别为 t与2 (02 )t,M为PQ的中点 . ()求M的轨迹的参数方程 ; ()将M到坐标原点的距离d表示为的函数 , 并判断M的轨迹是否过坐标原点 . 练习：精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 13 页，共 16 页精品资料欢迎下载1.已知曲线 C 的参数方程为3cos()2sinxy为参数，在同一平面直角坐标系中，将曲线C 上的点按坐
23、标变换1312xxyy得到曲线C 。（）求曲线C 的普通方程；（）若点 A 在曲线C 上，点 B（3，0） ，当点 A 在曲线C 上运动时，求 AB 中点 P的轨迹方程。 2. 在极坐标系中，已知圆C的圆心(3,)3C，半径3r。（） 求圆 C的极坐标方程；（） 若点Q在圆 C 上运动，点P在OQ的延长线上，且2OQQP, 求动点P的轨迹方程。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 14 页，共 16 页精品资料欢迎下载3. 以平面直角坐标系的原点为极点，x轴的正半轴为极轴的极坐标系中，自 极 点 O 作 直 线 与 曲 线cos4相 交
24、于 点Q， 在 线 段OQ上 有 一 动 点P满 足| |1 2O PO Q若点P的轨迹为曲线1C，方程12xtyt（t 为参数）表示的轨迹为曲线2C （）求曲线1C的极坐标方程；（）若曲线1C与2C交于点A、B，求A、B两点间的距离|AB考点四：应用的几何意义表示两点间的距离极坐标系下的两点间的距离公式：设1122(,),(,)AB，由余弦定理可得22121212|2cos()AB，特别地，当12时，12| |AB【典例】 (2015 年高考新课标卷2（文） ）在直角坐标系 xOy 中，曲线 C1：cossinxtyt（t 为参数， t 0） ，其中 0 ，在以 O 为极点， x 轴正半轴为
25、极轴的极坐标系中，曲线C2：2sin，C3：2 3 cos。（I）求 C2与 C3交点的直角坐标；（II）若 C1与 C2相交于点 A，C1与 C3相交于点 B，求|AB的最大值。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 15 页，共 16 页精品资料欢迎下载练习： (2015年高考新课标卷1（文）在直角坐标系xOy中，直线1:2Cx，圆222:121Cxy，以坐标原点为极点 ,x轴正半轴为极轴建立极坐标系. （I）求12,C C 的极坐标方程 . （II）若直线3C 的极坐标方程为R4，设23,C C 的交点为,MN，求2C MN 的面积. 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 16 页，共 16 页