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1、极坐标系、参数方程、推理与证明一轮复习建议一、坐标系与参数方程（一）课程标准课程标准中指出，坐标系是解析几何的基础。在坐标系中，可以用有序实数组确定点的位置，进而用方程刻画几何图形。为便于用代数的方法刻画几何图形或描述自然现象，需要建立不同的坐标系。极坐标系、柱坐标系、球坐标系等是与直角坐标系不同的坐标系，对于有些几何图形，选用这些坐标系可以使建立的方程更加简单。参数方程是以参变量为中介来表示曲线上点的坐标的方程，是曲线在同一坐标系下的又一种表示形式。某些曲线用参数方程表示比用普通方程表示更方便。学习参数方程有助于学生进一步体会解决问题中数学方法的灵活多变。参数方程是在直角坐标系下曲线方程的另
2、一种表达，参数可能有一定的物理意义和几何意义，对于曲线上的任何一个动点，使用参数来表达点的坐标，能够达到消二元为一元的目的，在解析几何的计算中，使得横纵坐标都是关于参数的函数，从而借助函数研究问题的方法，解决几何问题。在知识上，这部分内容是解析几何知识的延续。（二）考试大纲要求考试内容要求层次ABC坐标系与参数方程极坐标系用极坐标表示点的位置极坐标与直角坐标的互化参数方程直线的参数方程圆的参数方程椭圆的参数方程（三）知识结构（四）极坐标系根据考试大纲要求，有关极坐标系的结构框架简化为：极坐标系互化曲线点互化点曲线直角坐标系1.极坐标的一轮复习目标（1）能在极坐标系中用极坐标刻画点的位置，体会在
3、极坐标系和平面直角坐标系中刻画点的位置的区别，能进行极坐标和直角坐标的互化.（2）能在极坐标系中给出简单图形（如过极点的直线、过极点或圆心在极点的圆）的方程.2.知识梳理在平面上取定极坐标系，再以极轴为x轴的正半轴，长度单位不变，建立直角坐标系，设M是平面上一点，其极坐标为(r，q)，直角坐标为(x，y)，则圆心在极点，半径为R的圆的极坐标方程为；圆心在极轴上的点处，过极点的圆的极坐标方程为；圆心在点处，且过极点的圆的极坐标方程为.一轮复习的一个重要任务就是唤醒，唤醒学生心中沉睡的知识，唤醒学生对于知识的认识，唤醒学生独立操作问题的方法。受王晓青老师的启发，对于每一部分知识，可以通过分级别的设
4、置题目，考查学生对知识的掌握程度。那么对于此部分知识，根据所确定的复习目标，设置达到这些目标的题目，从而指导复习。3.极坐标系的六个分层目标（1）能在极坐标中用极坐标刻画点的位置（学生能够认出并提取极坐标的特征，通过极坐标的定义标定点的位置）例1.在极坐标系中作出下列各点：，（2）能对点进行极坐标和直角坐标的互化（学生能够体会极坐标与直角坐标的区别，借住图象找到联系）例2点的直角坐标为，则点的极坐标为_（限定）点的极坐标为，则点的直角坐标为_.（3）能将曲线的直角坐标方程转化为极坐标方程（学生能够识别曲线的直角坐标方程，并按照公式，转化为极坐标方程）例3.（2012西城期末）已知圆的直角坐标方
5、程为在以原点为极点，轴正半轴为极轴的极坐标系中，该圆的方程为（ ）（A） （B） （C） （D）（4）能在极坐标中判断或给出简单图形的方程（学生能够知道简单图形，如过极点的直线、与极轴平行或垂直的直线、过极点或圆心在极点的圆等的极坐标方程；较高的要求是，类比直角坐标中研究曲线与方程的方法，考察极坐标下的意义）例4.（2010北京理5）极坐标方程（0）表示的图形是（ ）（A）两个圆 （B）两条直线（C）一个圆和一条射线 （D）一条直线和一条射线例5.(2011海淀一模)在极坐标系下，已知圆的方程为，则下列各点在圆上的是( )（A）（B） （C） （D） 例6(2012海淀一模)在极坐标系中，过点
6、且平行于极轴的直线的极坐标方程是( ) （A） （B） （C） （D）例7.（2016丰台二模2）极坐标方程=2cos表示的圆的半径是 （A） （B） （C）2 （D）1例8.（2016上海理16）下列极坐标方程中，对应的曲线为右图的是（ ）（A） （B）（C） （D）（2012上海）如图,在极坐标系中,过点的直线与极轴的夹角.若将的极坐标方程写成的形式,则_ .（5）能将曲线的极坐标方程转化为直角坐标方程（学生能够识别极坐标方程的基本特征，结合自己经验，转化成为能够消去，变为关系的方程）例9 (2011海淀期末)圆C的极坐标方程化为直角坐标方程为 ，圆心的直角坐标为 . (2011江西理)若
7、曲线的极坐标方程为以极点为原点，极轴为轴正半轴建立直角坐标系，则该曲线的直角坐标方程为 .（6）能利用极坐标和直角坐标的关系，解决点与曲线的距离、位置关系等综合问题（学生能够借助直角坐标系下研究曲线的方法，解决极坐标系中与位置、距离、长度相关的问题）例10(2011安徽理)在极坐标系中，点 到圆 的圆心的距离为( )（A）2 （B） （C） （D）例11.（2012（安徽理）在极坐标系中,圆的圆心到直线的距离是 .例12. （2016东城一模5）在极坐标系中，直线被曲线截得的线段长为（ ）（A）（B）（C）（D）（2012陕西理）直线与圆相交的弦长为_.例13.（2016石景山期末12）在极坐
8、标系中，设曲线和相交于点，则_. （2016海淀一模6）在极坐标系中，圆与圆相交于两点， 则（ ）（A） （B） （C） （D）2例14.（2016昌平二模10）在极坐标系中，为极点，点为直线上一点，则的最小值为_.4.近7年北京理科考题（2016北京理11）在极坐标系中，直线与圆交于，两点，则 （2015北京理11）在极坐标系中，点到直线的距离为（2013北京理9）在极坐标系中，点到直线的距离等于 （2011北京理3）在极坐标系中，圆的的圆心的极坐标是（ ）（A） （B） （C） （D）（2010北京理5）极坐标方程（0）表示的图形是（ ）（A）两个圆 （B）两条直线（C）一个圆和一条射线
9、（D）一条直线和一条射线（五）参数方程由于圆的参数方程的表达方式，很多同学会与极坐标相混淆，既然参数方程是直角坐标系范畴下的一种曲线表达，那么在复习的时候，能否考虑先进行参数方程的复习，再进行极坐标的复习，再引导学生区分它们的不同。1.参数方程的一轮复习目标（1）能够解释、举例直线与圆的参数方程，并解决简单问题（2）初步认识椭圆的参数方程，会在有关问题中进行识别和直接应用。知识梳理2.知识梳理直线参数方程的一般形式为：也可写成其中q为直线倾斜角，此时参数t有明显的几何含义，即|t|表示直线上参数t对应的点M到定点M0(x0,y0)的距离.圆的参数方程（三角代换）:设圆心为M0(x0,y0)，半
10、径为R，则圆的参数方程为椭圆参数方程：.3.例题（1）（2016西城一模2）在平面直角坐标系中，曲线C的参数方程为，则曲线C是（ ） （A）关于轴对称的图形 （B）关于轴对称的图形 （C）关于原点对称的图形 （D）关于直线对称的图形 （2）（2016东城二模11）已知直线与直线相交于点，又点，则 . （3）（2016石景山一模12）在平面直角坐标系中，已知直线的参数方程为(为参数)，曲线的参数方程为(为参数)，若直线与曲线相交于两点，则_（4）（2016海淀二模13）若点在直线（为参数）上，则的值为（ ）（A） （B） （C） （D）（5）（2016丰台期末4）若点为曲线（为参数）上一点，则点
11、与坐标原点的最短距离为（A） （B） （C） （D）2（6）（2016朝阳一模11）在直角坐标系中，曲线的方程为，曲线的参数方程为为参数以原点为极点，轴非负半轴为极轴，建立极坐标系，则曲 线与的交点的极坐标为 4.近7年北京考题（2014北京理3）曲线（为参数）的对称中心（ ）（A）在直线上 （B）在直线上（C）在直线上 （D）在直线上（2012北京理9）直线为参数)与曲线为参数)的交点个数为_.二、推理与证明推理与证明作为数学方法论的一部分，与其他数学知识的学习是有极大的差别的。所有数学问题都离不开推理与证明。而在选修2-2中，将这部分内容显性的表达出来，是让学生对自己的数学学习方法的再认识
12、。我认为推理与证明所蕴含的逻辑关系，是需要在复习过程中不断梳理，始终关注的。（一）课程标准“推理与证明”是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式。推理一般包括合情推理和演绎推理。合情推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等）、实验和实践的结果，以及个人的经验和直觉等推测某些结果的推理过程，归纳、类比是合情推理常用的思维方法。在解决问题的过程中，合情推理具有猜测和发现结论、探索和提供思路的作用，有利于创新意识的培养。演绎推理是根据已有的事实和正确的结论（包括定义、公理、定理等），按照严格的逻辑法则得到新的结论的推理过程。合情推理和演绎推理之间联系紧密、相辅相成
13、。证明通常包括逻辑证明和实验、实践证明，数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证，即在前提正确的基础上，通过正确使用推理规则得出结论。学生通过对已学知识的回顾，进一步体会合情推理、演绎推理以及二者之间的联系与差异；体会数学证明的特点，了解数学证明的基本方法,包括直接证明的方法（如分析法、综合法、数学归纳法）和间接证明的方法（如反证法）；感受逻辑证明在数学以及日常生活中的作用，养成言之有理、论证有据的习惯。（二）考试大纲要求考试内容要求层次ABC推理与证明合情推理与演绎推理合情推理归纳和类比演绎推理直接证明与间接证明综合法分析法反证法数学归纳法数学归纳法（三）知识结构推理与证明推理证明合情推理演绎
14、推理归纳类比综合法分析法反证法直接证明间接证明数学归纳法（四）一轮复习目标1.了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理。2.结合已学过的数学实例和生活中的实例，体会演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理。3.结合已经学过的数学实例，了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点。4.结合已经学过的数学实例，了解间接证明的一种基本方法反证法；了解反证法的思考过程、特点。5.了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题。（五）学生存在的问题1.在推理论证的过程中，缺乏对目标的分析。当因果之间差异较大时，缺少执
15、果索因的意识和策略；2.在处理恒成立或存在性问题时，只写式子没有文字，不能将内在的逻辑关系表述出来，或者说，逻辑关系混乱；3.立体几何中，对“是否存在”问题的理解不清晰，回答想当然。学生在产生这样的问题时他是不自知的，或者他在以往的数学学习中，并没有培养起相应的数学素养，那么我们怎么让他们认识到问题的意义所在，从而改善和进步呢？我们比较熟知的是布卢姆教育目标分类法，马扎诺在此基础上提出了新分类法，即六个水平的基本结构，水平5：元认知系统水平2：理解水平6：自我系统水平3：分析水平1：信息提取水平4：知识应用认知系统对于学生而言，当其在特定的时间（比如一节课）有改变正做着的事情或所从事的活动的机
16、会，即“新任务”时，他的行为模型如下所示。自我系统决定参与知识新任务是否元认知系统设置目标和策略认知系统加工相关信息继续当前行为其能否顺利地进入新任务，取决于他的自我系统的决定，并且由其元认知系统加以监控。当我们复习这部分内容时，学生也许并不认同这部分的知识，或者觉得这样的知识没有意义，从而拒绝进入到新任务中，自我系统否定了学习或复习的发生。举个例子，我在复习频率分布直方图和茎叶图时，为了让学生回忆知识，概括二者之联系和区别，寻找数字特征在其具体问题中的应用，开始让他们自己画频率分布直方图，有很多同学是拒绝的，他可能觉得麻烦，可能觉得没意义等等。陶行知先生说，知行合一，行是知之始，知为行之成。
17、我们以这样的大家之言教育他，效果有多少呢？他会认同吗？对于推理与证明的复习，我觉得困难之处也在于此。基于以上的思考，在复习综合法与分析法时，可以选用证明的一些片段去引起学生兴趣。例如，（六）案例1.均值不等式的证明均值定理：如果，那么，当且仅当时，等号成立.证明：因为，所以，即.当且仅当时，即时，等号成立.2.一个不等式的证明求证：证明：要证，只需证，也就是证，即证，而根据任意实数的平方一定是非负数知，显然成立，故成立3.一道数列题的书写已知等比数列的公比，其前项和为，若, . （）求公比和的值；（）求证：. （）法一：因为，所以, 因为, 所以,因为，所以.法二：因为，所以, 因为, 所以，
18、所以.法三：因为，所以, 因为, 要证，只需， 只需4.一个综合法与分析法混用的例子（2013年高考北京卷理）设L为曲线C:在点(1,0)处的切线.(I)求L的方程;(II)证明:除切点(1,0)之外,曲线C在直线L的下方.解: (I)设,则.所以.所以L的方程为. (II)令,则除切点之外,曲线C在直线L的下方等价于.要证，即证，也就是证,记,则, 所以当时,在(0,1)上单调递减; 当时,在(1,+)上单调递增. 所以成立，故，即曲线C在直线L的下方.其中的元认知系统，是对自己认知的认知，审视自己解决问题的过程，运用的知识和方法，例如在做选择题时，学生是否能够主动监控过程，比如，一个钝角的
19、余弦算成了正值等问题。自我系统和元认知系统，是学生在学习和复习过程中不可或缺的两个方面。（七）近几年北京相关考题（实际上所有数学题都离不开推理与证明的内容）1.（2016北京理20题）设数列，如果对小于的每个正整数都有，则称是数列的一个“时刻”，记是数列的所有“时刻”组成的集合（）对数列，1，3写出的所有元素；（）证明：若数列存在使得，则；（）证明：若数列满足（），则的元素个数不小于. 2（2015北京理20题）已知数列满足：，且记集合（）若，写出集合的所有元素；（）若集合存在一个元素是3的倍数，证明：的所有元素都是3的倍数；（）求集合的元素个数的最大值3（2014北京理20题）对于数对序列，
20、记，（），其中表示和两个数中的最大的数，（）对于数对序列,，求,的值（）记为、四个数中最小值，对于由两个数对，组成的数对序列和，试分别对和时两种情况比较和的大小（）在由5个数对组成的所有数对序列中，写出一个数对序列使最小，并写出的值（只需写出结论）4（2013北京理20题）已知an是由非负整数组成的无穷数列，该数列前n项的最大值记为An，第n项之后各项，的最小值记为Bn，dn=AnBn（）若an为2，1，4，3，2，1，4，3，是一个周期为4的数列(即对任意nN*，)，写出d1，d2，d3，d4的值；（）设d为非负整数，证明：dn=d(n=1,2,3)的充分必要条件为an为公差为d的等差数列；（）证明：若a1=2，dn=1(n=1,2,3)，则an的项只能是1或2，且有无穷多项为15（2012北京理20题）设是由个实数组成的行列的数表，满足：每个数的绝对值不大于，且所有数的和为零记为所有这样的数表构成的集合对于，记为的第行各数之和，为的第列各数之和记为，中的最小值（）对如下数表，求的值；（）设数表形如c求的最大值；（）给定正整数，对于所有的，求的最大值