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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载高中数学必修 2学问点 一、直线与方程（1）直线的倾斜角 定义：x轴正向与直线向上方向之间所成的角叫直线的倾斜角；特殊地,当直线与 x轴 平行或重合时,我们规定它的倾斜角为0度；因此,倾斜角的取值范畴是 0 180（2）直线的斜率 定义：倾斜角不是 90 的直线,它的倾斜角的正切叫做这条直线的斜率；直线的斜 率常用 k 表示；即 k tan；斜率反映直线与轴的倾斜程度；当 0 , 90 时,k 0；当 90 , 180 时,k 0；当 90 时,k 不存在；过两点的直线的斜率公式：y x 2 x y1 1 x 1 x 2 留意
2、下面四点：1当 x 1 x 2 时,公式右边无意义,直线的斜率不存在,倾斜角为 90 ；2k 与P1、P2的次序无关；3以后求斜率可不通过倾斜角而由直线上两点的坐标直接求得；4求直线的倾斜角可由直线上两点的坐标先求斜率得到；（3）直线方程 点斜式：y y 1 k x x 1 直线斜率 k,且过点 x 1, y 1 留意：当直线的斜率为0 时,k=0,直线的方程是 y=y1；当直线的斜率为90 时,直线的斜率不存在,它的方程不能用点斜式表示但因l 上每一点的横坐标都等于 x1,所以它的方程是 x=x1；斜截式：y kx b,直线斜率为 k,直线在y 轴上的截距为 b 两点式：（x 1 x 2 ,
3、 y 1 y ）直线两点 x 1, y 1,x 2,y 2 其中直线l 与x轴交于点 ,0 , 与y 轴交于点0, b , 即l 与x轴、截矩式：y 轴的截距分别为 , a b ；C 0（A,B不全为0）一般式：Ax By 留意：1 各式的适用范畴2 特殊的方程如：平行于 x轴的直线：y b（b为常数）；平行于 y轴 的直线：x a（a为常数）；（4）直线系方程：即具有某一共同性质的直线（一）平行直线系名师归纳总结 平行于已知直线A 0xB0yC00（A 0, B0是不全为 0 的常数）的直线系：第 1 页,共 8 页A 0 x B 0 y C 0（C为常数）（二）过定点的直线系y 0kxx
4、0,直线过定点x0, y 0；（）斜率为 k的直线系：y（）过两条直线l1:A 1xB 1yC 10,l2:A 2xB 2yC20的交点的直线系方程为A 1 x B 1 y（5）两直线平行与垂直C 1A 2xB 2yC 20（ 为参数）,其中直线 2l 不在直线系中；当l1:yk 1xb 1,l2:yk2xb2时,l1/l2k1k2,b 1b2；l1l2k 1k 21- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载留意：利用斜率判定直线的平行与垂直时,要留意斜率的存在与否；（6）两条直线的交点l 1 : A 1 x B 1 y C 1 0 l 2
5、: A 2 x B 2 y C 2 0 相交A 2 xx BB 12 yy CC 12 00交点坐标即方程组的一组解；方程组无解 l 1/ l 2；方程组有很多解 1l 与2l 重合（7）两点间距离公式 ：设 A x 1 , y 1 ,（B x 2 , y 2）是平面直角坐标系中的两个点,就| AB | x 2 x 1 2 y 2 y 1 2（8）点到直线距离公式：一点 P x 0, y 0 到直线 l 1 : Ax By d C Ax0 0 的距离 2 2A B（9）两平行直线距离公式：在任始终线上任取一点,再转化为点到直线的距离进行求解；二、圆的方程1、圆的定义：平面内到肯定点的距离等于定
6、长的点的集合叫圆,定点为圆心,定长为圆的半径；2、圆的方程（1）标准方程xa2yb2r2,圆心a,b,半径为r；（2）一般方程2 xy2DxEyF01 2 2D E 半径为20 时,方程不表示任何图形；当D2E24F0 时,方程表示圆,此时圆心为,2 20 时,表示一个点； 当 D 2E 24 F当 D 2E24 F（3）求圆方程的方法：一般都采纳待定系数法：先设后求；确定一个圆需要三个独立条件,如利用圆的标准方程,需求出a,b,r ；如利用一般方程,需要求出D,E,F；另外要留意多利用圆的几何性质：如弦的中垂线必经过原点,以此来确定圆心的位置；3、直线与圆的位置关系：直线与圆的位置关系有相离
7、,相切,相交三种情形,基本上由以下两种方法判定：（1）设直线 l : Ax By C 0,圆 a 2 y b 2 r 2 圆心 AaCA 2 a Bb, bB 2 C 到l 的距离为就有d r l 与 C 相离 d r l 与 C 相切 d r l 与C 相交（2）设直线 l : Ax By C 0,圆 C : x a 2y b 2r 2,先将方程联立消元,得到一个一元二次方程之后,令其中的判别式为,就有 0 l 与C 相离；0 l 与C 相切；0 l 与 C 相交注：如圆心的位置在原点,可使用公式 xx 0 yy 0 r 2 去解直线与圆相切的问题,其中表示切点坐标,r 表示半径；3 过圆上
8、一点的切线方程：圆x2+y2=r 2,圆上一点为x0,y0,就过此点的切线方程为 xx 0 yy 0 r 2 课本命题圆 x-a 2+y-b 2=r 2,圆上一点为 x0, y0 ,就过此点的切线方程为x 0-ax-a+y 0-by-b= r 2 课本命题的推广4、圆与圆的位置关系：通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的大小比较来确定；名师归纳总结 设圆 C1 :xa 12yb 12r2,C2:xa22yb22R2第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载两圆的位置关系常通过两圆半径的和（差）,与圆心距（d）之间的
9、大小比较来确定；当dRr时两圆外离,此时有公切线四条；当dRr时两圆外切,连心线过切点,有外公切线两条,内公切线一条；当Rr时两圆相交,连心线垂直平分公共弦,有两条外公切线；RrddRr当时,两圆内切,连心线经过切点,只有一条公切线；当dRr时,两圆内含；当 d0时,为同心圆；三、立体几何初步1、柱、锥、台、球的结构特点（1）棱柱：定义：有两个面相互平行,其余各面都是四边形,且每相邻两个四边形的公共边都相互平行,由这些面所围成的几何体；分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱柱、四棱柱、五棱柱等；棱柱AD表示：用各顶点字母,如五棱柱ABCDEABCDE或用对角线的端点字母,如五几何特点：
10、两底面是对应边平行的全等多边形；侧面、对角面都是平行四边形；侧棱（2）棱锥平行且相等；平行于底面的截面是与底面全等的多边形；定义：有一个面是多边形,其余各面都是有一个公共顶点的三角形,由这些面所围成的几何体分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱锥、四棱锥、五棱锥等表示：用各顶点字母,如五棱锥 P A B CDE几何特点：侧面、对角面都是三角形；平行于底面的截面与底面相像,其相像比等于顶点到截面距离与高的比的平方；（3）棱台：定义：用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分分类：以底面多边形的边数作为分类的标准分为三棱态、四棱台、五棱台等表示：用各顶点字母,如五棱台 P A
11、 B C D E 几何特点：上下底面是相像的平行多边形 侧面是梯形 侧棱交于原棱锥的顶点（4）圆柱：定义：以矩形的一边所在的直线为轴旋转, 其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体几何特点：底面是全等的圆；母线与轴平行；轴与底面圆的半径垂直；侧面绽开图是一个矩形；（5）圆锥：名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载定义：以直角三角形的一条直角边为旋转轴, 旋转一周所成的曲面所围成的几何体 几何特点：底面是一个圆；母线交于圆锥的顶点；侧面绽开图是一个扇形；（6）圆台：定义：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截
12、面和底面之间的部分 几何特点：上下底面是两个圆；侧面母线交于原圆锥的顶点；侧面绽开图是 一个弓形；（7）球体：定义：以半圆的直径所在直线为旋转轴,半圆面旋转一周形成的几何体 几何特点：球的截面是圆；球面上任意一点到球心的距离等于半径；2、空间几何体的三视图 定义三视图：正视图（光线从几何体的前面对后面正投影）；侧视图（从左向右）、俯 视图（从上向下）注：正视图反映了物体上下、左右的位置关系,即反映了物体的高度和长度；俯视图反映了物体左右、前后的位置关系,即反映了物体的长度和宽度；侧视图反映了物体上下、前后的位置关系,即反映了物体的高度和宽度；3、空间几何体的直观图斜二测画法 斜二测画法特点：原
13、先与x 轴平行的线段仍旧与x 平行且长度不变；原先与y 轴平行的线段仍旧与y 平行,长度为原先的一半；4、柱体、锥体、台体的表面积与体积（1）几何体的表面积为几何体各个面的面积的和；（2）特殊几何体表面积公式（c 为底面周长,h 为高,（3）柱体、锥体、台体的体积公式为斜高,l 为母线）（4）球体的表面积和体积公式：V = 球5、空间点、直线、平面的位置关系； S = 4R2（1）平面 平面的概念： A.描述性说明； B.平面是无限舒展的； 平面的表示：通常用希腊字母 、 、 表示,如平面 （通常写在一个锐角内）；也可以用两个相对顶点的字母来表示,如平面BC；名师归纳总结 点与平面的关系：点A
14、在平面 内,记作 A；点 A不在平面内,记作A第 4 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载点与直线的关系：点A的直线l 上,记作：Al ； 点A在直线 l 外,记作A l ；记作l 直线与平面的关系：直线l 在平面 内,记作l ；直线l 不在平面 内, ；（2）公理 1：假如一条直线的两点在一个平面内,那么这条直线是全部的点都在这个平面 内；（即直线在平面内,或者平面经过直线）A应用：检验桌面是否平； 判定直线是否在平面内 ；用符号语言表示公理 1：l Bl A,Bl（3）公理2：经过不在同一条直线上的三点,有且只有一个平
15、面；推论：始终线和直线外一点确定一平面；两相交直线确定一平面；两平行直线确 定一平面；公理2及其推论作用：它是空间内确定平面的依据 它是证明平面重合的依 据（4）公理 3：假如两个不重合的平面有一个公共点,那么它们有且只有一条过该点的公 共直线PABA符号：平面 和 相交,交线是a,记作 a；符号语言：Bl Pl公理3的作用：它是判定两个平面相交的方法；它说明两个平面的交线与两个平面公共点之间的关系：交线必 过公共点；它可以判定点在直线上,即证如干个点共线的重要依据；（5）公理 4：平行于同一条直线的两条直线相互平行（6）空间直线与直线之间的位置关系 异面直线定义：不同在任何一个平面内的两条直
16、线 异面直线性质：既不平行,又不相交； 异面直线判定：过平面外一点与平面内一点的直线与平面内不过该店的直线是 异面直线 异面直线所成角：直线 a、b 是异面直线,经过空间任意一点 O,分别引直线 a a,b b,就把直线 a 和 b 所成的锐角（或直角）叫做 异面直线a 和b 所成的角；两条异面直线所成角的范畴是（0 ,90 ,如两条异面直线所成的角是直角,我们就说这两条异面 直线相互垂直；说明：（1）判定空间直线是异面直线方法：依据异面直线的定义；异面直线的判定定理（2）在异面直线所成角定义中,空间一点O是任取的,而和点O的位置无关；（3）求异面直线所成角步骤：A、利用定义构造角,可固定一条
17、,平移另一条,或两条同时平移到某个 特殊的位置,顶点选在特殊的位置上；B、证明作出的角即为所求角名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载C、利用三角形来求角（7）等角定理：假如一个角的两边和另一个角的两边分别平行,那么这两角相等或互 补；（8）空间直线与平面之间的位置关系 直线在平面内有很多个公共点三种位置关系的符号表示：aa A a （9）平面与平面之间的位置关系：平行没有公共点； 相交有一条 公共直线； b 6、空间中的平行问题（1）直线与平面平行的判定及其性质 线面平行的判定定理：平面外一条直线与此
18、平面内一条直线平行, 就该直线与此平 面平行； 线线平行 线面平行 线面平行的性质定理：假如一条直线和一个平面平行,经过这条直线的平面和这 个平面相交,那么这条直线和交线平行；线面平行 线线平行（2）平面与平面平行的判定及其性质 两个平面平行的判定定理（1）假如一个平面内的两条相交直线都平行于另一个平面,那么这两个平面平行（线面平行面面平行）,（2）假如在两个平面内,各有两组相交直线对应平行,那么 这两个平面平行；（线线平行面面平行）,（3）垂直于同一条直线的两个平面平行,两个平面平行的性质定理（1）假如两个平面平行,那么某一个平面内的直线与另 一个平面平行；（面面平行线面平行）（2）假如两个
19、平行平面都和第三个平面相交,那么它们 的交线平行；（面面平行线线平行）7、空间中的垂直问题（1）线线、面面、线面垂直的定义 两条异面直线的垂直：假如两条异面直线所成的角是直角,就说这两条异面直线 相互垂直；线面垂直：假如一条直线和一个平面内的任何一条直线垂直,就说这条直线和这个平面垂直；平面和平面垂直：假如两个平面相交,所成的二面角（从一条直线动身的两个半平 面所组成的图形）是直二面角（平面角是直角）,就说这两个平面垂直；（2）垂直关系的判定和性质定理 线面垂直判定定理和性质定理判定定理：假如一条直线和一个平面内的两条相交直线都垂直,那么这条直线名师归纳总结 - - - - - - -第 6
20、页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载垂直这个平面；性质定理：假如两条直线同垂直于一个平面,那么这两条直线平行；面面垂直的判定定理和性质定理 判定定理：假如一个平面经过另一个平面的一条垂线,那么这两个平面相互垂 直；性质定理：假如两个平面相互垂直,那么在一个平面内垂直于他们的交线的直 线垂直于另一个平面；8、空间角问题（1）直线与直线所成的角 两平行直线所成的角：规定为0 ；两条相交直线所成的角：两条直线相交其中不大于直角的角,叫这两条直线所成 的角；两条异面直线所成的角：过空间任意一点O,分别作与两条异面直线a,b 平行的直线 a ,b,形成两条相
21、交直线,这两条相交直线所成的不大于直角的角叫做两条异面直线所成的角；（2）直线和平面所成的角 平面的平行线与平面所成的角：规定为0 ；平面的垂线与平面所成的角：规定为90；平面的斜线与平面所成的角：平面的一条斜线和它在平面内的射影所成的锐角,叫做这条直线和这个平面所成的角；求斜线与平面所成角的思路类似于求异面直线所成角：“ 一作,二证,三运算”；在“ 作角” 时依定义关键作射影,由射影定义知关键在于斜线上一点到面的垂线,解题时,留意挖掘题设中两个信息：（1）斜线上一点到面的垂线；（2）过斜线上的一点 或过斜线的平面与已知面垂直,由面面垂直性质易得垂线；（3）二面角和二面角的平面角 二面角的定义
22、：从一条直线动身的两个半平面所组成的图形叫做二面角,这条直线 叫做二面角的棱,这两个半平面叫做二面角的面；棱的 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一点为顶点,在两个面内分别作垂直于 两条射线,这两条射线所成的角叫二面角的平面角；直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角；两相交平面假如所组成的二面角是 直二面角,那么这两个平面垂直；反过来,假如两个平面垂直,那么所 成的二面角为直二面角 求二面角的方法 定义法：在棱上挑选有关点,过这个点分别在两个面内作垂直于棱的射线得到平 面角 垂面法：已知二面角内一点到两个面的垂线时,过两垂线作平面与两个面的交线 所成的角为二面角的平面角 9、空间直角坐标系名
23、师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载（1）定义：如图,OBCD为正方向,D A B C 是单位正方体. 以A为原点,分别以 OD,O A ,OB的方向建立三条数轴x轴 .y 轴 .z 轴 ；这时建立了一个空间直角坐标系 Oxyz. 1）O叫做坐标原点 2）x 轴,y 轴,z 轴叫做坐标轴. 3 ）过每两个坐标 轴的平面叫做坐标面；（2）右手表示法： 令右手大拇指、食指和中指相互垂直时,可能形成的位置；大拇指指 向为x 轴正方向,食指指向为y 轴正向,中指指向就为z 轴正向,这 样也可以打算三轴间的相位置；名师归纳总结 - - - - - - -（3）任意点坐标表示：空间一点M的坐标可以用有序实数组 , , x y z 来表示,有序实数组 , , x y z叫做点M在此空间直角坐标系中的坐标,记作 M , , x y z（x叫做点 M的横坐标,y 叫做点M的纵坐标,z叫做点M的竖坐标）（4）空间两点距离坐标公式：x12y 2y 12z 2z12第 8 页,共 8 页