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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆第 3 讲 平面对量的数量积知 识 梳 理1平面对量的数量积 已知两个非零向量 a 和 b,它们的夹角为 ,我们把数量 |a|b| cos 叫做向量 a 和 b 的数量积 或内积 ,记作 ab|a|b| cos . 规定：零向量与任一向量的数量积为 0. 2平面对量数量积的几何意义 数量积 ab 等于 a 的长度 |a|与 b 在 a 的方向上的投影 |b|cos 的乘积3平面对量数量积的重要性质 1eaae|a|cos ；2非零向量 a,b,ab. ab0；3当 a 与 b 同向时, ab|a|b|；当 a 与 b
2、反向时, ab |a|b|；特殊地, aa|a| 2；|a|aa；4cos ab |a|b|；5|ab|a|b|. 4平面对量数量积满意的运算律1abba交换律 ；2a babab 为实数 ；3ab cacbc. 5平面对量数量积有关性质的坐标表示 设向量 ax1,y1,bx2,y2,就 abx1x2y1y2,由此得到1如 ax,y,就|a| 2x 2y 2 或|a|x 2y 2. x1x22 y1y22. 2设 Ax1,y1,Bx2,y2,就 A、B 两点间的距离 |AB|AB |3设两个非零向量 a,b,ax1,y1,bx2,y2,就 ab. x1x2y1y20.ab . x1y2x2y1
3、0. 辨 析 感 悟1对平面对量的数量积的熟悉名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1两个向量的数量积是一个向量,向量加、减、数乘运算的结果是向量 22022 湖北卷改编 已知点 A1,1,B1,2,C2, 1,D3,4,就向量 AB在CD 方向上的投影为3 2 2 . 3如 ab0,就 a 和 b 的夹角为锐角；如 ab0,就 a 和 b 的夹角为钝角 2对平面对量的数量积的性质、运算律的懂得4ab0,就 a0 或 b0. 5ab cabc 6abaca 0,就 bc. 感悟 提升 三个防范
4、 一是两个向量的数量积是一个数量,而不是向量,如 1；二是在向量数量积的几何意义中,投影是一个数量,不是向量设向量 a,b 的夹角为 ,当 为锐角时,投影为正值；当 为钝角时,投影为负值；当 为直角时,投影为 0；当 0时, b 在 a 的方向上投影为 |b|,当 180时,b 在 a方向上投影为 |b|,如2；当 0时, ab0,180,ab0,即 ab0是两个向量 a,b 夹角为锐角的必要而不充分条件,如 3；三是 ab0 不能推出 a0 或 b0,由于 ab0 时,有可能 ab,如 4考点一 平面对量数量积的运算【例 1】 12022 茂名二模 如向量 a,b,c 满意 a b,且 bc
5、0,就 2ab c_. 22022 威海期末考试 已知 a1,2,2ab3,1,就 ab_. 解析 1a b,ba. 又 bc0,a c0,2ab c2acbc0. 2a1,2,2ab3,1 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆b2a3,121,23,11,3ab1,2 1,3 12 35. 答案 10 25 规律方法 求两个向量的数量积有三种方法：利用定义；利用向量的坐标运算；利用数量积的几何意义 详细应用时可依据已知条件的特点来挑选,同时要留意数量积运算律的应用【训练 1】 1如向量 a
6、1,1,b2,5, c3,x满意条件 8ab c30,就 x_. 2已知两个单位向量 e1,e2的夹角为 3,如向量 b1e12e2,b23e14e2,就 b1b2_. 解析 18ab81,12,56,3,所以 8ab c6,3 3,x30,即 183x30,解得 x4. 2b1b2e12e2 3e14e2 2 23e 12e1e28e 2 386. 向量的夹角与向量的模32 1 1 cos 答案1426 考点二【例 2】 12022 安徽卷 如非零向量 a,b 满意 |a|3|b|a2b|,就 a 与 b 夹 角的余弦值为 _2已知向量 a,b 满意 ab0,|a|1,|b|2,就 |2ab
7、|_. 解析 1等式平方得 |a|29|b| 2|a| 24|b| 24ab,名师归纳总结 就|a| 2 |a|24|b| 24|a|b|cos ,第 3 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆即 04|b| 243|b| 2cos ,得 cos 1 3. 2由于 |2ab| 22ab 24a 2b 24ab4a 2b 2448,故 |2ab|2 2. 答案 11 3 22 2 规律方法 1求向量的夹角主要是应用向量的数量积公式2|a|aa常用来求向量的模【训练 2】 12022 长沙模拟 已知向量 a,b 夹角为
8、 45,且|a|1,|2ab|10,就|b|_. 2如平面对量 a,b 满意|a|1,|b|1,且以向量 a,b 为邻边的平行四边形的面积为1 2,就 a 和 b 的夹角 的取值范畴是 _解析 1由|2ab|10平方得,4a 24abb 210,即|b| 24|b|cos 45410,亦即 |b| 22 2|b|60,解得 |b|3 2或|b|2舍去2依题意有 |a|b|sin 1 2,即 sin 1 2|b|,由|b|1,得12sin 1,又 0,故有65 6 . 2 6,5平面对量的垂直问题答案13 2考点三【例 3】 已知 acos ,sin ,bcos ,sin 0 名师归纳总结 -
9、- - - - - -第 4 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆1求证： ab 与 ab 相互垂直；2如 kab 与 akb 的模相等,求 其中 k 为非零实数 审题路线 证明两向量相互垂直, 转化为运算这两个向量的数量积问题,数量积为零即得证 . 由模相等,列等式、化简求 . 1证明ab aba 2b 2|a| 2|b| 2cos 2sin 2cos 2sin 20,ab 与 ab 相互垂直2解 kabkcos cos ,ksin sin ,akbcos kcos ,sin ksin ,|kab|k 22kcos 1,|akb|12k
10、cos k 2. |kab|akb|, 2kcos2kcos又 k 0, cos0. 0, 0, 2. 规律方法 1当向量 a 与 b 是坐标形式给出时,如证明 ab,就只需证明 ab0. x1x2y1y20. 2当向量 a,b 是非坐标形式时,要把a,b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角,从而进行运算证明 ab0. 3数量积的运算 ab0. ab 中,是对非零向量而言的,如 a0,虽然有 ab0,但不能说 ab. 【训练 3】 已知平面对量 a 3, 1,b1 2,2 . 31证明： ab；2如存在不同时为零的实数 试求函数关系式 kftk 和 t,使 cat
11、23b,dkatb,且 cd,名师归纳总结 1证明ab31 213 20, ab. 第 5 页,共 13 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆2解cat 23b,d katb,且 cd,cdat 23b katb ka 2tt 23b 2tkt 23ab0. 又 a 2|a| 24,b 2|b| 21,ab0,cd 4kt 33t0,kftt 33t4 t 01运算数量积的三种方法：定义、坐标运算、数量积的几何意义,要敏捷选用,和图形有关的不要忽视数量积几何意义的应用2求向量模的常用方法：利用公式 运算|a| 2a 2,将模的
12、运算转化为向量的数量积的3利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法 与技巧教你审题 5数量积的运算问题【典例】2022上海卷 在矩形 ABCD 中,设 AB,AD 的长分别为 2,1.如 M,N分别是边 BC,CD 上的点,且满意|BM |CN |BC | |CD |审题 一审：抓住题眼 “ 矩形 ABCD” ；,就AM AN 的取值范畴是 _二审：合理建立平面直角坐标系,转化为代数问题解决解析如图,以 A 点为坐标原点建立平面直角坐标系,就各点坐标为 A0,0,B2,0,名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 13 页精选学习资料 - - - - -
13、 - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆C2,1,D0,1,设|BM |BC |标为 22k,1,|CN |k0k1,就点 M 的坐标为 2,k,点 N 的坐|CD |就AM 2,k,AN 22k,1,AM AN 222kk43k,而 0k1,故143k4. 答案 1,4 反思感悟 在利用平面对量的数量积解决平面几何中的问题时,第一要想到是否能建立平面直角坐标系,利用坐标运算题目会简单的多【自主体验】在 ABC 中, C90,且 CACB3,点 M 满意 BM 2AM ,就CM CA _. 解析 法一由BM 2AM 可知, A 是线段 MB 的中点,如下列图由题意, ACBC,且 CACB
14、3,CM CA CA AM CACA BA CACA CA CB CA2CA CB CA2CA2CB CA2 3 218. 法二名师归纳总结 - - - - - - -第 7 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆如图建立平面直角坐标系,就 由题意知： |AB |3 2,|BM |6 2.设 Mx,y,BM 2BAx3,y23,3 就 x3,y6,即 M3,6C0,0,B3,0,A0,3CM CA 3,6 0,318. 答案 18 基础巩固题组建议用时： 40 分钟 一、填空题12022 湛江二模 向量 a1,2,b0,2,就 ab_. 解
15、析 ab1,2 0,21 02 24. 答案 4 22022 绍兴质检 在边长为 2 的菱形 ABCD 中,BAD120,就AC 在AB 方向上的投影为 _名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆解析 如下列图, AC 在AB 方向上的投影为 |AC |cos 60 21 21. 答案 1 32022 山东省试验中学诊断 已知向量 a a2b 与 c垂直,就 k_. 3,1,b0,1,ck, 3如解析 由题意知 a2b c0,即 ac2bc0. 所以 3k32 30,解得 k 3. 答案3 42
16、022 浙江五校联盟 如非零向量 a,b 满意 |a|b|,且2ab b0,就向量 a,b 的夹角为 _解析 由2ab b0,得 2ab|b| 20. 2|b| 2cosa,b|b| 20,cosa,b1 2,又 a,b0, ,a,b2 3 . 2答案 352022 福建卷改编 在四边形 ABCD 中, AC 1,2,B D4,2,就该四边形的面积为 _解析AC BD 1 42 20,AC BD ,S 四边形 |AC | |BD2 |52 205. 答案 5 62022 课标全国卷 已知两个单位向量 如 bc0,就 t_. a,b 的夹角为 60,cta1tb.名师归纳总结 解析bcbta1t
17、btab1tb 2第 9 页,共 13 页t|a|b|cos 602 1t|b|- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆t 21t1 t 2. 由 bc0,得 1t 20,所以 t2. 答案 2 72022 重庆卷 在 OA 为边, OB 为对角线的矩形中, OA 3,1,OB 2,k,就实数 k_. 解析 在矩形中, OA 3,1,OB 2,k,所以 AB OB OA 2,k3,11,k1,由于 AB OA ,所以 AB OA 0,即 3k10,解得 k4. 答案 4 8. 2022 潍坊二模 如图,在 ABC 中,O 为 BC
18、中点,如 AB1,AC3,AB ,AC 60,就 |OA |_. 解析 由于AB ,AC 60 ,所以 AB AC |AB | |AC |cos 60 1 31 23 2,又AO1 2 AB AC ,所以 AO 21 4AB AC 21 4AB 22AB AC AC 2,即AO 21 413913 4,所以 |OA |2 . 13答案 2 13二、解答题9已知平面对量 a1,x,b2x3,xxR1如 ab,求 x 的值；2如 a b,求 |ab|. 解 1如 ab,就 ab1 2x3xx0. 名师归纳总结 - - - - - - -第 10 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - -
19、 - - - 学而不思就惘,思而不学就殆整理得 x 22x30,故 x1 或 x3. 2如 a b,就有 1 xx2x30,即 x2x40,解得 x0 或 x2. 当 x0 时,a1,0,b3,0,ab2,0,|ab|220 22. 当 x2 时, a1, 2,b1,2,ab2, 4,|ab|2 5. 综上,可知 |ab|2 或 2 5. 10已知 |a|4,|b|3,2a3b 2ab61,1求 a 与 b 的夹角 ；2求|ab|；3如AB a,BC b,求 ABC 的面积解 12a3b 2ab61,4|a| 24ab3|b| 261. 又|a|4,|b|3, 644ab2761,ab 6.
20、cos ab |a|b|4 3 16 2. 又 0,2 3 . 2|ab| 2ab 2|a| 22ab|b| 24 22 63 213,|ab|13. 3AB 与BC 的夹角 2 3, ABC2 3 3. 又|AB |a|4, |BC |b|3,S ABC1 2|AB |BC |sinABC1 2 4 323 3. 3才能提升题组建议用时： 25 分钟 名师归纳总结 - - - - - - -第 11 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而不学就殆一、填空题12022 泰州一模 如两个非零向量 与 a 的夹角为 _a,b 满意 |ab|ab|2|a
21、|,就向量 ab解析 由|ab|ab|,得 a 22abb 2a 22abb 2,即 ab0,所以 ab aa 2ab|a| 2. 故向量 ab 与 a 的夹角 的余弦值为cos |ab|a| ab a|a| 2|a|a|1 22.所以 3. 答案 32已知向量 p 的模为2,向量 q 的模为 1,p 与 q 的夹角为 4,且 a3p2q,bpq,就以 a,b 为邻边的平行四边形的长度较小的对角线长为 _解 析 由 题 意 可 知 较 小 的 对 角 线 为 |a b| |3p 2q p q| |2p 3q|2p3q 24p 212pq9q 22812 22929. 答案 29 32022 浙
22、江卷 设 e1,e2为单位向量,非零向量 e2 的夹角为 6,就 |x| |b|的最大值等于 _bxe1ye2,x,yR.如 e1,解析 由于 e1e2cos 62,所以 b 3 2x 2y 22xye1e2x 2y 23xy.所以x b 222x 2y 2 3xy x1y x 12x 3y,设 ty x,就 1t 23t t2 3 21 41 4,所以201t 2 3t 14,即x b 2的最大值为 4,所以|x| |b|的最大值为 2. 答案 2 二、解答题名师归纳总结 - - - - - - -第 12 页,共 13 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学而不思就惘,思而
23、不学就殆4设两向量 e1,e2 满意|e1|2,|e2|1,e1,e2 的夹角为 60,如向量 2te17e2名师归纳总结 与向量 e1te2的夹角为钝角,求实数t 的取值范畴第 13 页,共 13 页解2 2由已知得 e 14,e 21,e1e22 1 cos 60 1. 2te17e2 e1te22te 2 12t27e1e27te 2 22t215t7. 欲使夹角为钝角,需2t 215t70,得 7t 1 2. 设 2te17e2e1te20,2t,7t ,2t27.t14 2,此时 14. 即 t14 2时,向量 2te17e2 与 e1te2 的夹角为 .当两向量夹角为钝角时,t 的取值范畴是7,14 2 2,1 2 . - - - - - - -