《2023年常微分方程习题.pdf》由会员分享，可在线阅读，更多相关《2023年常微分方程习题.pdf（4页珍藏版）》请在taowenge.com淘文阁网|工程机械CAD图纸|机械工程制图|CAD装配图下载|SolidWorks_CaTia_CAD_UG_PROE_设计图分享下载上搜索。
1、常微分方程期中测试试卷(11)班级_姓名_学号_得分_ 1 微分方程0)(22xydxdydxdyn的阶数是_ 2 若),(yxM和),(yxN在矩形区域R内是),(yx的连续函数,且有连续的一阶偏导数,则方程0),(),(dyyxNdxyxM有 只 与y有 关 的 积 分 因 子 的 充 要 条 件 是 _ 3 _ 称为齐次方程.4 如果),(yxf _,则),(yxfdxdy存在唯一的解)(xy,定义于区间hxx0 上,连续且满足初始条件)(00 xy,其中 h _.5 对于任意的),(1yx,),(2yx R(R为某一矩形区域),若存在常数)0(NN使 _,则称),(yxf在R上关于y满
2、足利普希兹条件.6 方程22yxdxdy定义在矩形区域R:22,22yx上,则经过点)0,0(的解的存在区间是 _ 7 若),.2,1)(nitxi是齐次线性方程的n个解,)(tw为其伏朗斯基行列式,则)(tw满足一阶线性方程 _ 8 若),.2,1)(nitxi为齐次线性方程的一个基本解组,)(tx为非齐次线性方程的一个特解,则非齐次线性方程的所有解可表为 _ 9 若)(x为毕卡逼近序列)(xn的极限，则有)()(xxn _ 10 _ 称 为 黎 卡 提 方 程，若 它 有 一 个 特 解)(xy，则经过变换 _，可化为伯努利方程 二 求下列方程的解 3yxydxdy 求方程2yxdxdy经
3、过)0,0(的第三次近似解 讨论方程2ydxdy，1)1(y的解的存在区间 4 求方程01)(22ydxdy的奇解 5 0)1()1(cos2dyyxydxyx 6 xxxyyy22sincossin2 7 0)37()32(232dyxydxyxy 三 证明题 1 试证:若已知黎卡提方程的一个特解,则可用初等积分法求它的通解 2 试用一阶微分方程解的存在唯一性定理证明:一阶线性方程)()(xQyxPdxdy,当)(xP,)(xQ在,上连续时,其解存在唯一 参考答案 一 填空题 1 1 2 )()1)(yMxNyM 3 形如)(xygdxdy的方程 4 在R上连续且关于y满足利普希兹条件 ),
4、min(mbah 5 2121),(),(yyNyxfyxf 6 4141x 7 0)(1wtaw 8 xxcxniii 1 9 1)!1(nnhnML 10 形如)()()(2xryxqyxpdxdy的方程 yzy 二 求下列方程的解 1 解：23yyxyyxdydx，则)(121cdyeyexdyydyy 所以 cyyx23 另外 0y 也是方程的解 件其中对于任意的为某一矩形区域若存在常数使则称在上关于满足利普组为非齐次线性方程的一个特解则非齐次线性方程的所有解可表为为毕方程的奇解三证明题试证若已知黎卡提方程的一个特解则可用初等积分2 解：0)(0 x 2020121)()(xdxxxx
5、x 52021220121)()(xxdxxxxx 81152022316014400120121)()(xxxxdxxxxx 3 解：dxydy2 两边积分 cxy1 所以 方程的通解为 cxy1 故 过1)1(y的解为 21xy 通过点)1,1(的解向左可以延拓到，但向右只能延拓到，所以解的存在区间为)2,(4 解:利用p判别曲线得 020122pyp 消去p得 12y 即 1y 所以方程的通解为)sin(cxy,所以 1y是方程的奇解 5 解:yM=2y,xN=2y ,yM=xN,所以方程是恰当方程.211cosyxyyvyxxu 得)(sinyyxxu)(2yxyyu 所以yyln)(
6、故原方程的解为 cyyxxlnsin 6 解:xxxyyy22sincossin2 故方程为黎卡提方程.它的一个特解为 件其中对于任意的为某一矩形区域若存在常数使则称在上关于满足利普组为非齐次线性方程的一个特解则非齐次线性方程的所有解可表为为毕方程的奇解三证明题试证若已知黎卡提方程的一个特解则可用初等积分xysin,令xzysin,则方程可化为2zdxdz,cxz1 即 cxxy1sin,故 cxxy1sin 7 解:两边同除以2y得 037322xdydyyydxxdx 0732ydxyddx 所以 cyxyx732,另外 0y 也是方程的解 三 证明题 1 证明:设黎卡提方程的一个特解为
7、yy 令 yzy,dxyddxdzdxdy 又 )()()(2xryxqyxpdxdy dxydxryzxqyzxpdxdz)()()(2 由假设 )()()(2xryxqyxpdxyd 得 zxqyxpzxpdxdz)()(2)(2 此方程是一个2n的伯努利方程,可用初等积分法求解 2 证明:令R:x,Ry)(xP,)(xQ在,上连续,则)()(),(xQyxPyxf 显然在R上连续,因为)(xP 为,上的连续函数,故)(xP在,上也连续且存在最大植,记为 L 即)(xPL,x,1y,Ry 2 2121)()(),(),(yxPyxPyxfyxf=)(xP21yy 21yyL 因此 一阶线性方程当)(xP,)(xQ在,上连续时,其解存在唯一 件其中对于任意的为某一矩形区域若存在常数使则称在上关于满足利普组为非齐次线性方程的一个特解则非齐次线性方程的所有解可表为为毕方程的奇解三证明题试证若已知黎卡提方程的一个特解则可用初等积分