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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 中考复习专题二次函数学问点总结二次函数学问点：a 的符号a x开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y随 x1二次函数的概念：一般地,形如yax2bxc（ a, , 是常数,a0）的函数,叫做的增大而减小；x0时, y 有最小值 c 二次函数；这里需要强调： 和一元二次方程类似,二次项系数a0,而 b,ca0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y随 x可以为零二次函数的定义域是全体实数的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 2. 二次函数yax2bxc的结构特点：
2、h2的性质：3. y 等号左边是函数,右边是关于自变量x 的二次式, x的最高次数是 2a, , 是常数, a 是二次项系数, b 是一次项系数, c 是常数项二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：oo结论：左加右减；结论： a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；总结：总结：a的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质a0向上0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随a0向上h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 x 的增大而减小；xh 时, y 有
3、最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随a0向下h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 x 的增大而增大；xh 时, y 有最大值 0 c 的性质：4. ya xh2k 的性质：2. yax2结论：上加下减；名师归纳总结 总结：总结：第 1 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - a 的符号开口方向顶点坐标对称轴性质五点绘图法： 利用配方法将二次函数yax2bxc 化为顶点式ya xh2k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标
4、,然后在对称轴两侧,左右对称地描点画图. 一般a0向上h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随 x 的我们选取的五点为：顶点、与y 轴的交点0,c、以及0,c关于对称轴对称的点增大而减小；xh 时, y 有最小值 k 2h,c、与 x 轴的交点x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对a0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随 x 的称的点） . 增大而增大；xh时,y有最大值k画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与x 轴的交点,与y 轴的交点 . 二次函数图象的平移1. 平移步骤： 将抛物线解析
5、式转化成顶点式ya xh2k ,确定其顶点坐标h,k；五、二次函数yax2bxc的性质 保持抛物线y2 ax 的外形不变,将其顶点平移到h,k处,详细平移方法如下：y=ax2向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或左 h0【或下 k0【或下 k0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k当xb 2 a时, y 随 x的增大而减小；当xb 2 a时, y 随 x 的增大而增大；当xb 2 a时,y 有最小值4acb22. 平移规律4 a2. 当a0时,抛物线开口向下,对称轴为xb 2 a,顶点坐标为b,4acb2当在原有函数的基础上 “ h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移 ” 2
6、 a4 a概括成八个字“ 左加右减,上加下减”xb时, y随 x 的增大而增大； 当xb时, y 随 x 的增大而减小； 当xb时, y 有三、二次函数ya xh2k 与yax2bxc的比较2a2 a2a最大值4aca2 b请将y2x24x5利用配方的形式配成顶点式；请将yax2bxc 配成ya xh2k ；4总结：六、二次函数解析式的表示方法1. 一般式：yax2bxc （ a , b , c 为常数 ,a0）；从解析式上看,ya xh2k 与yax2bxc是两种不同的表达形式,后者通过配2. 顶点式：ya xh 2k （ a, h, k 为常数 ,a0）；方可以得到前者,即yaxb24ac
7、a2 b,其中hb,k4 acab23. 两根式：ya xx 1xx 2（a0,1x ,x 是抛物线与 x轴两交点的横坐标 ）. 留意： 任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都2 a42 a4可以写成交点式,只有抛物线与x 轴有交点,即b24ac0时,抛物线的解析式四、二次函数yax2bxc 图象的画法才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化.七、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页,共 11 页精选学习资料 - - - - - - - - - 二次函数yax2bxc 中, a 作为二
8、次项系数,明显a0y2 a xb x关于 x轴对称后,得到的解析式是y2 a xb x；c 当a0时,抛物线开口向上, a 的值越大, 开口越小, 反之 a的值越小, 开口越大；ya xh2k 关于 x 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ；2 nk 当a0时,抛物线开口向下, a 的值越小, 开口越小, 反之 a的值越大, 开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a 的正负打算开口方向,a 的大小决2. 关于 y 轴对称2 a xb x；c定开口的大小y2 a xb x关于 y 轴对称后,得到的解析式是y2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下, b 打算了抛物线
9、的对称轴ya xh2k 关于 y 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ； 在a0的前提下,当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴左侧；3. 关于原点对称2 a xb x；c2ay2 a xb x关于原点对称后,得到的解析式是y当b0时,b0,即抛物线的对称轴就是y 轴；2ayax2 hk关于原点对称后,得到的解析式是yax2 hk；当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的右侧2a4. 关于顶点对称2 a xb x2 c b2 a； 在a0的前提下,结论刚好与上述相反,即y2 a xb x关于顶点对称后,得到的解析式是y当b0时,b0,即抛物线的对称轴在y 轴右侧；2a当b0时,b0,即抛
10、物线的对称轴就是y 轴；ya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xh2k 2a当b0时,b0,即抛物线对称轴在y 轴的左侧5. 关于点m,n对称ya xh2m22a总结起来,在a确定的前提下,b打算了抛物线对称轴的位置ya xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是3. 常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x轴上方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点, 即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点在 x轴下方,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与
11、y 轴交点的位置总之,只要 a, , 都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因 此 a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的表达式名师归纳总结 二次函数解析式的确定：二次函数与一元二次方程：0时的特别情形 . 依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法用待定系数法求二次函数的解析式1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与x 轴交点情形
12、）：必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：一元二次方程ax2bxc0是二次函数yax2bxc 当函数值y1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；图象与 x 轴的交点个数：,其中的x 1,x2是一元2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式； 当b24ac0时,图象与x 轴交于两点A x 1,0,B x 2,0x 1x 23. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式二次方程ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx 2x 12 ba4ac. 二、二次函数图象的对称二次函
13、数图象的对称一般有五种情形,可以用一般式或顶点式表达 当0时,图象与 x 轴只有一个交点；第 3 页,共 11 页1. 关于 x 轴对称 当0 时,图象与 x 轴没有交点 . - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1 当a0时,图象落在 x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有y0；y=3x+42y=3x2y=3x-22y=-2x+32y=2x2y=-2x2y=-2x-3222 当a0时,图象落在 x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y02. 抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函
14、数的图象与x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程；0抛 物 线 与 x 轴二次三项式的值可一元二次方程有两个不相等实根有两个交点正、可零、可负0抛 物 线 与 x 轴二次三项式的值为一元二次方程有两个相等的实数根只有一个交点非负0抛 物 线 与 x 轴二次三项式的值恒一元二次方程无实数根 . 无交点为正 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a ,b ,c 的符号,或由二次函数中 a ,b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合；y=2x2+2y=2x-4 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一
15、点对称的点坐标,或已知与 x 轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标. 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式ax2bxc a0本身就是所含字母y=2x2x 的二次函数；下面以a0时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：图像参考：y=2x2-4y=2 x2y=-2xy= -x2其次部分典型习题y=2x-42-3y=x2y=x2 22y= -x22名师归纳总结 . 抛物线 yx 22x2 的顶点坐标是（ D ）（ 1, 3）第 4 页,共 11 页A. （2, 2） B.（1, 2） C.（1, 3） D.- - - - - - -精选学习资料 - - - -
16、- - - - - . 已知二次函数yax2bxc的图象如下列图,就以下结论正确选项（ C ）7. 已 知 直 线y2xbb0与x 轴 交于 点A,与y 轴交 于点B； 一 抛物 线 的解 析式 为名师归纳总结 ab 0,c0 ab0,c0 ab0,c0 ab0, c0 yx2b10xc. A（1）如该抛物线过点B,且它的顶点P 在直线y2xb上,试确定这条抛物线的解析式；EF（2）过点 B 作直线 BCAB交 x 轴交于点 C,如抛物线的对称轴恰好过C点,试确定直线y2xbBDC第 , 题图第 4 题图的解析式 . . 二次函数yax2bxc的图象如下列图,就以下结论正确选项（）解：（1）y
17、x210或yx24x6Aa0,b0, c0 Ba0,b0,c0 将（ ,b 代 入 , 得 cb . 顶 点 坐 标 为b10,b216b100, 由 题 意 得24Ca0,b0, c0 Da0,b0,c0 . 如图,已知ABC 中, BC=8, BC上的高 h4 ,D为 BC上一点, EF/ /BC,交 AB于点 E,交2b10bb216b100,解得b 110,b 26. 24AC于点 F（EF不过 A、B）,设 E 到 BC的距离为 x ,就DEF 的面积 y 关于 x 的函数的图象大致（2）y2x2为（）8. 有一个运算装置,当输入值为x 时,其输出值为y ,且 y 是 x 的二次函数
18、,已知输入值为2 ,0, 14y444时, 相应的输出值分别为5,3,4 （1）求此二次函数的解析式；O24xO24O24O24（2）在所给的坐标系中画出这个二次函数的图象, 并依据图象写出当输出值y为正数时输入值x的取值范畴 . ABCDEF44xEF82 ,yx24x解：（1）设所求二次函数的解析式为yax2bxc,8a22b2c5c3a1. 抛物线yx22x3与 x 轴分别交于A、B 两点,就 AB的长为 4 就a02b0c3, 即2ab4 , 解得b26. 已知二次函数ykx22k1x1与 x 轴交点的横坐标为1x 、x （xx 2）,就对于以下结论：abc4ab1c3当 x 2 时,
19、 y 1；当x2x时, y0；方程kx22k1x10有两个不相等的实数故所求的解析式为:yx22x3. 根1x 、2x ；x 11,x21；x 2 x 114k2,其中全部正确的结论是（只（2 函数图象如下列图. 由图象可得,当输出值y 为正数时,k需填写序号） 输 入 值 x 的 取 值 范 围 是x1或x39. 某生物爱好小组在四天的试验争论中发现：骆第 9 题第 5 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 驼的体温会随外部环境温度的变化而变化,而且在这四天中每昼夜的体温变化情形相同他们将AC225,BC216162 9 a
20、一头骆驼前两昼夜的体温变化情形绘制成下图请依据图象回答：第一天中,在什么时间范畴内这头骆驼的体温是上升的.它的体温从最低上升到最高需要多少时当AB2AC2BC2时, ACB90 间. 由AB2AC2BC2,得1689251616 第三天12 时这头骆驼的体温是多少. 9 a2a9 a2爱好小组又在争论中发觉,图中10 时到解得a11 416,0）,3AB2625,AC225,BC2400 22时的曲线是抛物线,求该抛物线的解当a时,点 B 的坐标为（析式499解：第一天中,从4 时到 16 时这头骆驼的于是AB2AC2BC2体温是上升的当a1时, ABC为直角三角形它的体温从最低上升到最高需要
21、12 小时4当AC2AB2BC2时, ABC90 第三天 12 时这头骆驼的体温是39由AC2aAB2BC2,得251689 1616 y12 x22x42410xx22169 a2a9 a23 a与 x 轴交于 A、410. 已知抛物线ax4解得y39当a4时,43443,点 B（-3 ,0）与点 A 重合,不合题意 B 两点,与 y 轴交于点 C是否存在实数a,使得 ABC为直角三角形如存在,恳求出a 的值；如不93 a9存在,请说明理由当BC2AC2AB2时, BAC90 解：依题意,得点C的坐标为（ 0,4）由BC2AC2AB2,得1616251689 设点 A、B 的坐标分别为（1x
22、 ,0）,（x , 0）,9 a29 a2a解得a4不合题意由2 ax43 a x40,解得1x3,x 24933 a综合、,当a1时,ABC为直角三角形点 A、B 的坐标分别为（-3 ,0）,（4,0）43 a11. 已知抛物线y x2mxm2. AB|43|,AC2 AOOC25,（1）如抛物线与x 轴的两个交点A、B 分别在原点的两侧,并且AB5 ,试求 m的值；3 aBCBO2OC2|4|242（2）设 C为抛物线与y 轴的交点,如抛物线上存在关于原点对称的两点M、N,并且 MNC的面积3a等于 27,试求 m的值 .AB2|432 |1623491689,解: 1（ x 1,0）,B
23、x 2,0 . 就 x 1 ,x2 是方程x2mxm20 的两根 . 3 a9 a23 a9 a2a第 6 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 x1 x2 m , x1x 2 =m2 0 即 m2 ; y C 由抛物线的对称性,可得抛物线与x 轴的另一个交点B的坐标为（ 3,0）上,第 7 页,共 11 页（2）抛物线yax24axt与 x 轴的一个交点为A（ 1, 0 ）,又 AB x 1 x 2 （x 12 + ）24x x 25 , a1 24a1 t0 t3ayax24ax3am 24m3=0 . 解得： m=1或
24、m=3舍去 , m的值为 1 . D （0,3a）梯形 ABCD中, AB CD,且点 C在抛物线yax24ax3a（ 2）Ma,b ,就 Na, b . M、N是抛物线上的两点, x C （ 4,3a） AB 2,CD4梯形 ABCD的面积为 9,1ABCDOD9124 3 a9a2mam2b ,.M 22a2mam2bO N a 1得： 2a22m40 . a 2 m 2 . 所求抛物线的解析式为yx24x3或yx24 ax3当 m2 时,才存在满意条件中的两点M、 N. （3）设点 E 坐标为（x ,0y ）. 依题意,x 00,y00,a2m . 且y 0 x 05y 5 x 02这时
25、 M、N到 y 轴的距离均为2m , 2又点 C坐标为（ 0,2m）, 而 S M N C = 27 , 设点 E 在抛物线yx24x3上,21 2 （ 2m）2m =27 . y0x0 24x03解得 m= 7 . 解方程组y 05x 0,得x06,x051 2,12. 已知：抛物线yax24axt与 x 轴的一个交点为A（ 1,0）2（1）求抛物线与x 轴的另一个交点B 的坐标；一 底 的y015；y0y 02 x 04x 034（2）D 是抛物线与y 轴的交点, C 是抛物线上的一点,且以AB 为点 E 与点 A 在对称轴 x 2 的同侧,点 E 坐标为（1,5 ）4梯形 ABCD的面积
26、为 9,求此抛物线的解析式；点E 在2设在抛物线的对称轴x 2 上存在一点P,使 APE的周长最小（3）E 是其次象限内到x 轴、 y 轴的距离的比为52 的点,假如（ 2）中的抛物线上,且它与点A在此抛物线对称轴的同侧,问：在 抛 物 AE 长为定值,要使 APE的周长最小,只须PAPE最小线的对称轴上是否存在点P,使 APE的周长最小 .如存在,求出点P 的坐标；如不存在,请说明点 A 关于对称轴x 2 的对称点是B（ 3,0）,理由由几何学问可知,P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点解法一：设过点 E、B 的直线的解析式为ymxn,（1）依题意,抛物线的对称轴为x 2抛物线与 x 轴
27、的一个交点为A（ 1,0）,- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 1mn5,解得m1 2,所求抛物线的解析式为yx24x3或yx24x324（3）同解法一得,P 是直线 BE与对称轴 x 2 的交点n3.3 mn.02名师归纳总结 直线 BE的解析式为y1 21 ）23把 x 2 代入上式,得y1如图,过点E 作 EQx 轴于点 Q设对称轴与x 轴的交点为22F点 P 坐标为（ 2,由 PF EQ,可得BF BQPF1PFPF1EQ552设点 E 在抛物线yx24x3上,y 0x 0 24x0324解方程组y05x 0,x0.3消去0y ,得x2 03x0
28、30点 P 坐标为（ 2,1 ）22y042以下同解法一2 x 0 0 . 此方程无实数根13. 已知二次函数的图象如下列图综上,在抛物线的对称轴上存在点P（ 2,1 ）,使 APE的周长最小2（1）求二次函数的解析式及抛物线顶点M的坐标（2）如点 N为线段 BM上的一点,过点N 作 x 轴的垂线,垂足为点Q当点 N在线段 BM上运动时解法二：（点 N不与点 B,点 M重合）,设 NQ的长为 l ,四边形 NQAC的面积为 S,求 S与 t 之间的函数关系式（1）抛物线yax24axt与 x 轴的一个交点为A（ 1, 0）,及自变量 t 的取值范畴；a1 24a1 t0 t3ayax24ax3
29、 a（3）在对称轴右侧的抛物线上是否存在点P,使 PAC为直角三角形 .如存在,求出全部符合条件令 y 0,即ax24ax3a0解得x 11,x23的点 P的坐标；如不存在,请说明理由；（4）将 OAC补成矩形,使OAC的两个顶点成为矩形一边的两个顶抛物线与 x 轴的另一个交点B 的坐标为（ 3,0）点,第三个顶点落在矩形这一边的对边上,试直接写出矩形的未知的顶（2）由yax24ax3a,得 D（0, 3a）点坐标（不需要运算过程）解：（1）设抛物线的解析式yax1 x2,梯形 ABCD中, AB CD,且点 C在抛物线2a12a1yx2x2yax24ax3 a上,其顶点 M的坐标是1,29
30、C （ 4,3a） AB 2,CD44梯形 ABCD的面积为 9,1ABCDOD9解得 OD3（2）设线段 BM所在的直线的解析式为ykxb,点 N的坐标为 N（t ,h）,23 3 a 1第 8 页,共 11 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 092 kb,解得k3,b3以点 A,点 C 为矩形的两个顶点,第三个顶点落在矩形这一边AC的对边上,如图b,此时未1kb .知顶点坐标是E1,25 5,F4,582425线段 BM所在的直线的解析式为y3 x 23h3 t 23,其中1t2s1121 22t3 t3t21t1222342图 a
31、 图 b s与 t 间的函数关系式是S3t21t1,自变量 t 的取值范畴是1t2422（3）存在符合条件的点P,且坐标是1P5,72 4,P 23,524设点 P的坐标为 Pm,n ,就nm2m2PA2m1 2n2,PC2m2n22,AC2514. 已知二次函数y ax22的图象经过点（1, 1）求这个二次函数的解析式,并判定该函数图象与 x 轴的交点的个数分以下几种情形争论：i ）如 PAC90 ,就PC2PA2AC2解：依据题意,得a2 1.n2m2m22,m1 2n25 . a 1 这个二次函数解析式是yx22mn2由于这个二次函数图象的开口向上,顶点坐标是 （0, 2）,所以该函数图象与x 轴有两个交点15. 卢浦大桥拱形可以近似看作抛物线的一部分在大桥截面111000 的比例图上,跨度AB5 cm,解得：m 15,m 21（舍去）点P 15,7422拱高 OC