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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 3.1 变化率与导数（教学设计）（2）312 导数的概念教学目标：1、 学问与技能：通过对课本实例的分析,经受由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程,明白导数概念的实际背景,让 同学知道瞬时变化率就是导数；2、 过程与方法： 通过动手运算（作图）培育同学观看、分析、比较和归纳才能,并结合物理学中的学问进行对比； 通过问题的探究体会靠近、类比、以已知探求未知、从特别到一般的数学思想方法；3、 情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵,使同学把握导数的概念不再困难,从而激发同学学习数学的爱好 . 教学重点、难点 重点： 导数概念的形成,导数内涵
2、的懂得,由瞬时变化率过度到导数的概念 难点： 在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率,深刻懂得导数的内涵,通过靠近的方法,引导同学 观看来突破难点教学过程：一、创设情形,引入新课：1、回忆上节课留下的摸索题：在高台跳水运动中,运动员相对水面的高度0th（单位： m）与起跳后的时间t（单位： s）存在函数关系 h（t）=4.9t 26.5t 10.运算运动员在65 49这段时间里的平均速度,并摸索下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在同学相互争论,沟通结果的基础上,提出：；大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0” ,但我们知道
3、运动员在这段时间内并没有“ 静止”为什么会产生这样的情形呢？二、师生互动、新课讲解：名师归纳总结 问题一：请大家摸索如何求运动员的瞬时速度,如t=2 时刻的瞬时速度？2的值？第 1 页,共 5 页问题二：请大家连续摸索,当 t 取不同值时 ,尝试运算vh2tht- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 同学对概念的认知需要借助大量的直观数据,所以我让同学利用运算器,分组完成问题二,问题三：当 t 趋于 0 时,平均速度有怎样的变化趋势？ tv tv-0.1 -12.61 0.1 -13.59 -0.01 -13.051 0.01 -13.149 -0.001
4、-13.0951 0.001 -13.1049 -0.0001 -13009951 0.0001 -13.10049 -0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049 . . . 让同学分组争论,板演,展现运算结果,同时口答：在t=2 时刻 , t 趋于 0 时,平均速度趋于一个确定的值 -13.1,即瞬时速度,体会靠近思想；另一方面借助动画多渠道地引导同学观看、分析、比较、 归纳,通过靠近思想,为了表述便利 ,数学中用简洁的符号来表示 ,即 lim h 2 t h 2 13.1t 0 t问题四：运动员在某个时刻 t 0 的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻 t
5、0 的瞬时速度如何表示 . 同学意识到将 t 0 代替 2,可类比得到 lim t 0 h t 0 t t h t （1）气球在体积 v0 时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题 ,引导同学得到瞬时膨胀率的表示 lim v 0 r v 0 vv r v （ 2）假如将这两个变化率问题中的函数用 f x 来表示, 那么函数 f x 在 x x 处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：名师归纳总结 从函数 y=fx在 x=x0 处的瞬时变化率是: x 0或y |x x 0,即第 2 页,共 5 页lim x0f x0xf x 0lim x 0fxx我们称它为函数yf x 在xx 出的导数,
6、记作ffx0lim x0f x 0xfx 0x说明：（1）导数即为函数y=fx在 x=x0 处的瞬时变化率- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - （2）xxx ,当x0时,xx ,所以fx 0lim x0f x f x 0xx0例 1：求函数 y=3x2在 x=1 处的导数 . 分析：先求 f= y=f x- f =6 x+ x 2再求f6x再求lim x 0f x6x解：y|x1lim x 13x22 3 11lim x 13x22 1 lim3 x 1x16xx1例 2：求函数 fx=x2x在x1邻近的平均变化率,并求出在该点处的导数解：y1x21x23
7、xxxf 1lim x0y 1x2 1x2lim 3 x 0x 3xx例 3（课本 P75 例 1）：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品,需要对原油进行冷却和加热；假如在第 x h 时候,原油温度（单位：c ）为 y=f x x27x150x8（1）运算第 2h 和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它的意义；（2）运算第 3h 和第 5h 时,原油温度的瞬时变化率,并说明它的意义；步骤：启示同学依据导数定义,再分别求出 f 2 和 f 6既然我们得到了第 2h 和第 6h 的原油温度的瞬时变化率分别为-3 与 5,大家能说明它的含义吗？大家是否能用同样方法来解决问题二？名师归纳总结
8、 师生共同归纳得到,导数即瞬时变化率,可反映物体变化的快慢3C h第 3 页,共 5 页解：在第 2h 时和第 6h时,原油温度的瞬时变化率就是f2和f6依据导数定义,ff2xf x0xx2x272x 15227215x3x所以f2lim x0flim x 0x33x同理可得 :f65在第 2h 时和第 6h 时,原油温度的瞬时变化率分别为3和 5,说明在 2h 邻近,原油温度大约以- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 的速率下降,在第6h邻近,原油温度大约以5C/h 的速率上升注：一般地,fx 0反映了原油温度在时刻x 邻近的变化情形备注：（1）函数 f
9、x在 x=x 0处的导数即为函数y=fx在 x=x 0年的瞬时变化率；（2）瞬时变化率是平均变化率的极限；（3）x=x-x 0,当x0 时, xx0,所以f x lim x 0f x 0x f x 0x（4）由定义知：求fx在 x0 年的导数的步骤为：1）求增量：y=fx+x-fx 2 算比值：yf xx f xx,x23）求极限： y=lim x 0yx例 4、求以下函数在相应位置的导数（1）fxx21,x2（2）fx2x1（3）fx3,x2分析：依据导数的定义；解：（1）由于：y xfxo2xxxfxo=f2x f2=2x2122211xxx=x22 x22=f2xf22 2x12x所以
10、f 2=lim x 0fxo（2）由于：y xxfxoxxx=2 所以： f2=lim x 022fxo=f2xf2=330（3）由于：yfxoxxxxx所以： f 2=lim x 000让同学对导数的概念有进一步的懂得,此概念较抽象,同学要娴熟把握它较难,由于通过这例子能使 同学更好地懂得导数的概念；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 5 页精选学习资料 - - - - - - - - - 三、课堂小结、巩固反思：1、瞬时速度的概念 2、导数的概念 3、思想方法： “ 以已知探求未知”、靠近、类比、从特别到一般四、布置作业：A组：1、（课本 P79 习题 3.1A 组 NO：2）2、（课本 P79 习题 3.1A 组 NO：3）3、（课本 P79 习题 3.1A 组 NO：4）B组：1、（课本 P79 习题 3.1B 组 NO：1）2、如fxx1 2,求f2和 f2解：1）由于：yfxo2x xfxof2xf2 2x1 221 2xxxx=2xx2x所以： f 2= lim x 02x 22）由于 f2=1 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 5 页