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1、第三章导数及其应用3.1变化率与导数（ 1）教材分析导数是微积分的核心概念之一.它是研究函数增减、变化快慢、最大（小）值等问题最一般、最有效的工具，因而也是解决诸如运动速度、物种繁殖率、绿化面积增长率，以及用料最省、利润最大、效率最高等实际问题的最有力的工具.在本章 ,我们将利用丰富的背景与大量实例,学习导数的基本概念与思想方法;通过应用导数研究函数性质、解决生活中的最优化问题等实践活动，初步感受导数在解决数学问题与实际问题中的作用.教材安排导数内容时，学生是没有学习极限概念的教材这样处理的原因，一方面是因为极限概念高度抽象，不适合在没有任何极限认识的基础上学习所以，让学生通过学习导数这个特殊
2、的极限去体会极限的思想，这为今后学习极限提供了认识基础另一方面，函数是高中的重要数学概念，而导数是研究函数的有力工具，因此，安排先学习导数方便学生学习和研究函数基于学生已经在高一年级的物理课程中学习了瞬时速度，因此，先通过求物体在某一时刻的平均速度的极限去得出瞬时速度，再由此抽象出函数在某点的平均变化率的极限就是瞬时变化率的的模型，并将瞬时变化率定义为导数，这是符合学生认知规律的课时分配本节课的教学内容选自人教社普通高中课程标准实验教科书（A 版）数学选修11 第三章第一节的变化率与导数 ， 导数的概念是第2 课时，主要讲解导数的概念及利用定义求导数. 教学目标重点 : 通过运动物体在某一时刻
3、的瞬时速度的探求，抽象概括出函数导数的概念难点：使学生体会运动物体在某一时刻的平均速度的极限意义，由此得出函数在某点平均变化率的极限就是函数在该点的瞬时变化率，并由此得出导数的概念知识点：导数的概念. 能力点：掌握利用求函数在某点的平均变化率的极限实现求导数的基本步骤教育点：通过导数概念的构建，使学生体会极限思想，为将来学习极限概念积累学习经验自主探究点：通过导数概念的教学教程，使学生体会到从特殊到一般的过程是发现事物变化规律的重要过程 . 考试点：利用导数的概念求导数.易错易混点：对0 x的理解，0,0,xx0,0 xx但0 x. 拓展点：导数的几何意义. 教具准备多媒体课件和三角板课堂模式
4、学案导学名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 1 页，共 6 页 - - - - - - - - - 一、引入新课师生活动：教师：请说出函数( )yfx从 x1到 x2的平均变化率公式学生：2121()()f xf xxx教师：如果用x1与增量 x 表示，平均变化率的公式是怎样的？学生：11()()f xxf xx教师：高台跳水的例子中，在时间段650,49里的平均速度是零，而实际上运动员并不是静止的这说明平均速度不能准确反映他在这段时间里运动状态. 学生：在教师的讲述中思
5、考用什么量来反映运动员的运动状态提问：用一个什么样的量来反映物体在某一时刻的运动状态？学生：体会并明确瞬时速度的作用提问：我们如何得到物体在某一时刻的瞬时速度？例如，要求物体在2s的瞬时速度，应该怎么解决？【设计意图】 让学生理解平均速度与瞬时速度的区别与联系，感受到平均速度在时间间隔很小时可以近似地表示瞬时速度. 【设计说明】应使学生明确平均速度与瞬时速度的关系，为下一阶段实验活动作铺垫. 二、探究新知已知跳水运动员在跳水过程中距离水面的高度与时间的函数2( )4.96.510h ttt，完成下列表格中02t秒附近的平均速度的计算并填充好表格，观察平均速度的变化趋势名师资料总结 - - -精
6、品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 2 页，共 6 页 - - - - - - - - - 0t时，在2,2t内，(2)(2)hthvt0t时 ，在2,2t内 ，(2)(2)hhtvttt0.01 -13.1490.01 -13.0510.001 -13.10490.001-13.0951 0.0001 -13.100490.0001-13.09951 0.00001 -13.1000490.00001 -13.0999510.000001 -13.10000490.000001-13.09999
7、51 师：观察以上表格，你能发现平均速度有什么变化趋势吗？将结果投影，引导同学们一起观察. 在学生观察的基础上指出：当t趋近于0时，平均速度都趋近于一个确定的常数，这个常数就是瞬时速度设计意图 让学生通过定量分析感受平均速度在时间间隔越来越小时向瞬时速度逼近的过程给学生充分的感性材料, 使学生从感性上获得求瞬时速度的方法培养学生归纳、概括能力. 师:你认为通过实验所得结果（常数）就是瞬时速度吗？这个数据到底是精确值还是近似值？启发学生归纳出结论：0t时，平均速度所趋近的这个常数是可以得到的，它不是近似值，是一个精确值，它与变量t无关，只与时刻0t有关 设计意图 使学生认识到平均速度当时间间隔趋
8、向于零时的极限就是瞬时速度，为给出导数概念提炼出一个具体的极限模型一般地 , 函数( )yf x在xxo处的瞬时变化率是00()()limlimxxfxxf xyxxoo, 我们称它为函数( )yf x在xxo处的导数 , 记作()fxo或|xxyo, 即()fxo=00()()limlimxxf xxf xyxxoo. 三、理解新知求函数( )yf x在点0 x处的导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量00()()yf xxf x；第二步，求平均变化率00()()f xxf xyxx；第三步，求平均变化率的极限，即导数00()limxyfxx设计意图 为准确地运用新知，作必要的铺垫.
9、 名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 3 页，共 6 页 - - - - - - - - - 四、运用新知例 1 求2yx在点1x处的导数解:222(1)12()yxxx, 22()2yxxxxx, 00limlim(2)2xxyxx. 1|2xy注意 :2()x括号别忘了写 . 变式训练 : 求224yxx在点3x处的导数 . 解:2222(3)4(3)(2343)2()16yxxxx, 216yxx, 00limlim(216)16xxyxx, 即3|16xy. 设计
10、意图 通过变式训练,便于学生全面的认识利用定义求导数的步骤, 提高理解、运用知识的能力例 2 已知21yx,求y. 解:2()1(21)yxxx2 x, 2yx, 0lim2xyx,即2y. 变式训练 : 已知4yx,求y. 解:44yxxx, 44yxxxxx, 00441limlim44xxyxxxxxxxx124x名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 4 页，共 6 页 - - - - - - - - - 124yx. 设计意图 由一个问题引申为一类问题，提高学生的解
11、题能力同时,便于学生发现不同题目解题过程的区别与联系 ,有利于学生用联系的观点看问题五、课堂小结教师提问：本节课我们学习了哪些知识，涉及到哪些数学思想方法？学生作答：1知识：导数的概念. 2思想：特殊与一般、化归的思想教师总结 : 本节课学习了导数的概念，导数的概念表明：当自变量的增量趋向于零时，函数在某点的平均变化率的无限地趋向于函数在该点的瞬时变化率，这是非常重要的极限思想求导数的步骤大致分为以下三步：第一步，求函数增量；第二步，求平均变化率并化简；第三步，求平均变化率的极限，即导数设计意图 加强对学生学习方法的指导六、布置作业1阅读教材P7476；2.书面作业必做题：P79 习题 3.1
12、 A 组1,2,3,4,5. 选做题：1.如果质点A 按照规律23st运动，则在3t时的瞬时速度为. 2.设函数( )fx可导，则0(1)(1)lim3xfxfx. 3. 设函数( )f x3ax，若(1)3f，则a. 4.函数1yxx在1x处的导数等于. 5.质点 M 按规律223st做直线运动 (位移单位 :cm，时间单位：s)，求质点 M 在2t时的瞬时速度，并与运用匀变速直线运动速度公式求得的结果进行比较. 答案 :1. 18 2. 1(1)3f3. 3 4. 0 5. 瞬时速度为8/cm s,用两种方法求得的结果相同. 课外思考 :函数( )yfx在一点处的导数有什么几何意义吗? 设
13、计意图 设计作业1,2，是引导学生先复习，再作业，培养学生良好的学习习惯.书面作业的布置，是为了让学生能够运用导数的概念，解决简单的数学问题；课外思考的安排，是让学生深刻思考、领悟导数的意义，为下节课的学习做铺垫名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 5 页，共 6 页 - - - - - - - - - 七、教后反思1.“以学生为本” 的教育观是教学设计的根本指导思想.学生通过“经历” 、 “体会”、 “感受”，最后形成概念的学习过程，充分体现了学生为本的现代教育观. 2.
14、作业的布置尽量满足多样化的学习需求,做到因材施教,但在具体实施中,分寸的把握需视情况而定. 八、板书设计3.1.2 导数的概念引例 : 高台跳水导数的概念 : 一般地 , 函数( )yf x在xxo处的瞬时变化率是00()()limlimxxf xxf xyxxoo, 我们称它为函数( )yf x在xxo处的导数 , 记作()fxo或|x xyo, 即()fxo=00()()limlimxxf xxf xyxxoo. 例 1. 变式：例 2 变式：小结：名师资料总结 - - -精品资料欢迎下载 - - - - - - - - - - - - - - - - - - 名师精心整理 - - - - - - - 第 6 页，共 6 页 - - - - - - - - -