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1、3.1 变化率与导数（教学设计）（2）312 导数的概念教学目标：1、 知识与技能：通过对课本实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程，了解导数概念的实际背景，让学生知道瞬时变化率就是导数。2、 过程与方法：通过动手计算（作图）培养学生观察、分析、比较和归纳能力，并结合物理学中的知识进行对比。通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到一般的数学思想方法。3、 情感、态度与价值观：通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困难，从而激发学生学习数学的兴趣. 教学重点、难点重点： 导数概念的形成，导数内涵的理解，由瞬时变化率过度到导数的概念难点： 在平均变化率的基
2、础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵，通过逼近的方法，引导学生观察来突破难点教学过程：一、创设情景，引入新课：1、回顾上节课留下的思考题：在高台跳水运动中，运动员相对水面的高度h（单位： m）与起跳后的时间t（单位： s）存在函数关系 h（t）=4.9t 26.5t10.计算运动员在65049t这段时间里的平均速度，并思考下面的问题：（1）运动员在这段时间里是静止的吗？（2）你认为用平均速度描述运动员的运动状态有什么问题吗？在学生相互讨论，交流结果的基础上，提出：大家得到运动员在这段时间内的平均速度为“0” ，但我们知道运动员在这段时间内并没有“静止”。为什么会产生这样的情况呢？二、师生互
3、动、新课讲解：问题一：请大家思考如何求运动员的瞬时速度，如t=2 时刻的瞬时速度？问题二：请大家继续思考，当t 取不同值时 ,尝试计算(2)(2)hthtv的值？精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 1 页，共 5 页学生对概念的认知需要借助大量的直观数据，所以我让学生利用计算器，分组完成问题二，问题三：当 t 趋于 0 时，平均速度有怎样的变化趋势？tv tv-0.1 -12.61 0.1 -13.59 -0.01 -13.051 0.01 -13.149 -0.001 -13.0951 0.001 -13.1049 -0.0001 -
4、13009951 0.0001 -13.10049 -0.00001 -13.099951 0.00001 -13.100049 . . . 让学生分组讨论，板演，展示计算结果，同时口答：在t=2 时刻 ,t 趋于 0 时，平均速度趋于一个确定的值 -13.1，即瞬时速度，体会逼近思想；另一方面借助动画多渠道地引导学生观察、分析、比较、 归纳，通过逼近思想，为了表述方便,数学中用简洁的符号来表示,即0(2)(2)lim13.1ththt问题四：运动员在某个时刻0t的瞬时速度如何表示呢？运动员在某个时刻0t的瞬时速度如何表示? 学生意识到将0t代替 2,可类比得到000()( )limth tt
5、h tt（1）气球在体积v0时的瞬时膨胀率如何表示呢？类比之前学习的瞬时速度问题,引导学生得到瞬时膨胀率的表示000()( )limvr vvr vv（ 2）如果将这两个变化率问题中的函数用( )f x来表示， 那么函数( )f x在0 xx处的瞬时变化率如何呢？导数的概念：从函数 y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率是: 0000()()limlimxxf xxf xfxx我们称它为函数( )yf x在0 xx出的导数，记作0()fx或0|xxy，即0000()()()limxf xxfxfxx说明：（1）导数即为函数y=f(x)在 x=x0处的瞬时变化率精选学习资料 - - - - -
6、- - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 2 页，共 5 页（2）0 xxx，当0 x时，0 xx，所以0000( )()()limxf xf xfxxx例 1：求函数y=3x2在 x=1 处的导数 . 分析：先求 f= y=f( x)- f( )=6 x+(x)2再求6fxx再求0lim6xfx解：2222111133 13(1 )|limlimlim3(1)611xxxxxxyxxx例 2：求函数f(x)=xx2在1x附近的平均变化率，并求出在该点处的导数解：xxxxxy32)1()1(2200( 1)( 1)2( 1)limlim (3)3xxyxxfxxx例 3（课本
7、 P75 例 1） ：将原油精炼为汽油、柴油、塑料等不同产品，需要对原油进行冷却和加热。如果在第 x h 时候，原油温度（单位：c）为 y=2( )715(08)f xxxx（1）计算第2h 和第 6h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。（2）计算第3h 和第 5h 时，原油温度的瞬时变化率，并说明它的意义。步骤：启发学生根据导数定义，再分别求出(2)f和(6)f既然我们得到了第2h 和第 6h 的原油温度的瞬时变化率分别为-3 与 5，大家能说明它的含义吗？大家是否能用同样方法来解决问题二？师生共同归纳得到，导数即瞬时变化率，可反映物体变化的快慢解：在第2h时和第6h时，原油温度的瞬
8、时变化率就是(2)f和(6)f根据导数定义，0(2)()fxf xfxx22(2)7(2)15(27215)3xxxx所以00(2)limlim(3)3xxffxx同理可得 :(6)5f在第2h时和第6h时， 原油温度的瞬时变化率分别为3和 5， 说明在2h附近，原油温度大约以3/C h精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页，共 5 页的速率下降，在第6h附近，原油温度大约以5/Ch的速率上升注：一般地，0()fx反映了原油温度在时刻0 x附近的变化情况备注：（1）函数 f(x)在 x=x0处的导数即为函数y=f(x)在 x=x0年
9、的瞬时变化率；（2）瞬时变化率是平均变化率的极限；（3）x=x-x0，当x0 时， xx0，所以0000()( )( ) limxf xxf xf xx（4）由定义知：求f(x)在 x0年的导数的步骤为：1）求增量：y=f(x+x)-f(x) 2) 算比值：()( )yf xxfxxx3）求极限： y=0limxyx例 4、求下列函数在相应位置的导数（1）1)(2xxf，2x（2）12)(xxf，2x（3）3)(xf，2x分析：根据导数的定义。解：（1）因为：xxfxxfxyoo)()(=xxxfxf121)2()2()2(22=222xxxx所以f (2)=2)2(lim0 xx（2）因为：
10、xxfxxfxyoo)()(=xfxf)2()2(=xx1221)2(2=2 所以： f(2)=22lim0 x（3）因为：xxfxxfxyoo)()(=xfxf)2()2(=033x所以： f(2)=00lim0 x让学生对导数的概念有进一步的理解，此概念较抽象，学生要熟练掌握它较难，因为通过这例子能使学生更好地理解导数的概念。精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页，共 5 页三、课堂小结、巩固反思：1、瞬时速度的概念2、导数的概念3、思想方法： “以已知探求未知” 、逼近、类比、从特殊到一般四、布置作业：A组：1、 （课本 P79 习题 3.1A 组 NO：2）2、 （课本 P79 习题 3.1A 组 NO：3）3、 （课本 P79 习题 3.1A 组 NO：4）B组：1、 （课本 P79 习题 3.1B 组 NO：1）2、若2)1()(xxf，求)2(f和(2)f解：1）因为：xxfxxfxyoo)()(xxxfxf22)12()12()2()2(=xxxx222所以： f(2)= 2)2(lim0 xx2）因为 f(2)=1 精选学习资料 - - - - - - - - - 名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页，共 5 页