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1、精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数学问点一、二次函数概念：21二次函数的概念：一般地,形如 y ax bx c（ a, , 是常数,a 0）的函数,叫做二次函数；这里需要强调：和一元二次方程类似,二次项系数 a 0,而 b,可以为零二次函数的定义域是全体实数22. 二次函数 y ax bx c 的结构特点： 等号左边是函数,右边是关于自变量 x的二次式,x的最高次数是 2 a, , 是常数, a 是二次项系数,b是一次项系数,c 是常数项二、二次函数的基本形式1. 二次函数基本形式：y2 ax 的性质：a 的肯定值越大,抛物线的开口越小；a 的符号开口
2、方向顶点坐标对称轴x性质a0向上0,0y 轴0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 有最小值 0 a0向下0,0y 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 0 2. yax2c 的性质：顶点坐标对称轴x性质a 的符号开口方向0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 随 x 的a0向上0,cy 轴增大而减小；x0时, y 有最小值 c a0向下0,cy 轴x0时, y 随 x 的增大而减小；x0时, y 随 x 的增大而增大；x0时, y 有最大值 c 3. ya xh2的性质：顶点坐标对
3、称轴x性质a 的符号开口方向h 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随 x 的a0向上h,0X=h 增大而减小； xh时,y有最小值0a0向下h,0X=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh时, y 有最大值04. ya xh2k 的性质：顶点坐标对称轴x性质第 1 页,共 8 页a 的符号开口方向a0向上h,kX=h h 时, y 随 x 的增大而增大；xh 时, y 随 x 的增大而减小； xh时,y有最小值ka0向下h,kX=h xh 时, y 随 x 的增大而减小；xh 时, y 随 x 的增大而增大； xh时,y有最大值k名
4、师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载三、二次函数图象的平移1. 平移步骤：2方法一： 将抛物线解析式转化成顶点式 y a x h k ,确定其顶点坐标 h,k；2 保持抛物线 y ax 的外形不变,将其顶点平移到 h,k 处,详细平移方法如下：向上 k0【或向下 k0【或左 h0【或左 h0【或左 h0 【或下 k0【或下 k0】平移 |k|个单位y=ax-h2+k2. 平移规律在原有函数的基础上“ h 值正右移,负左移；k 值正上移,负下移”概括成八个字“ 左加右减,上加下减”方法二： y ax 2 bx c 沿 y 轴平
5、移 :向上（下）平移 m 个单位,y ax 2 bx c 变成y ax 2bx c m（或 y ax 2 bx c m） y ax 2 bx c 沿轴平移：向左（右）平移 m个单位,y ax 2 bx c 变成 y a x m 2 b x m c（或y a x m 2b x m c）2 2四、二次函数 y a x h k 与 y ax bx c 的比较2 2从解析式上看,y a x h k 与 y ax bx c是两种不同的表达形式,后者通过配方可以得到前者,即2 2 2y a x b 4 ac b,其中 h b,k 4 ac b2 a 4 a 2 a 4 a2五、二次函数 y ax bx c
6、 图象的画法2 2五点绘图法：利用配方法将二次函数 y ax bx c 化为顶点式 y a x h k ,确定其开口方向、对称轴及顶点坐标,然后在对称轴两侧, 左右对称地描点画图 . 一般我们选取的五点为： 顶点、与 y 轴的交点 0,c、以及 0,c 关于对称轴对称的点 2h,c、与 x 轴的交点 x ,0,x ,0（如与 x 轴没有交点,就取两组关于对称轴对称的点）. 画草图时应抓住以下几点：开口方向,对称轴,顶点,与 x 轴的交点,与 y轴的交点 . 六、二次函数 y ax 2bx c 的性质21. 当 a 0 时,抛物线开口向上,对称轴为 x b,顶点坐标为 b,4 ac b2 a 2
7、 a 4 a名师归纳总结 第 2 页,共 8 页- - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载2当 x b 时, y 随 x 的增大而减小；当 x b 时, y 随 x 的增大而增大；当 x b 时, y 有最小值 4 ac b2 a 2 a 2 a 4 a22. 当 a 0 时,抛物线开口向下,对称轴为 x b,顶点坐标为 b,4 ac b当 x b 时, y 随 x 的增大而增大；当2 a 2 a 4 a 2 a2x b 时, y 随 x 的增大而减小；当 x b 时, y 有最大值 4 ac b2 a 2 a 4 a七、二次函数解析式的表示
8、方法21. 一般式：y ax bx c （ a , b , c 为常数,a 0）；22. 顶点式：y a x h k （ a , h , k 为常数,a 0）；3. 两根式：y a x x 1 x x 2 （a 0,x ,x 是抛物线与 x 轴两交点的横坐标）. 留意：任何二次函数的解析式都可以化成一般式或顶点式,但并非全部的二次函数都可以写成交点式,只有抛物线与 x 轴有交点,即2b 4 ac 0 时,抛物线的解析式才可以用交点式表示二次函数解析式的这三种形式可以互化 . 八、二次函数的图象与各项系数之间的关系1. 二次项系数 a二次函数 y ax 2bx c中, a 作为二次项系数,明显
9、a 0 当 a 0 时,抛物线开口向上,a 的值越大,开口越小,反之 a 的值越小,开口越大； 当 a 0 时,抛物线开口向下,a 的值越小,开口越小,反之 a 的值越大,开口越大总结起来, a 打算了抛物线开口的大小和方向,a的正负打算开口方向,a的大小打算开口的大小2. 一次项系数 b在二次项系数 a 确定的前提下,b打算了抛物线的对称轴 在 a 0 的前提下,当 b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y 轴左侧；当 b 0 时,b0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a 2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的右侧2 a 在 a 0 的前提下,结论刚好与上述相反,即当
10、b 0 时,b 0,即抛物线的对称轴在 y 轴右侧；当 b 0 时,b0,即抛物线的对称轴就是 y 轴；2 a 2 a当 b 0 时,b 0,即抛物线对称轴在 y 轴的左侧总结起来,在 a 确定的前提下,b 打算了抛物线对称轴的位置2 abab 的符号的判定：对称轴 x 在 y 轴左边就 ab 0,在 y 轴的右侧就 ab 0,概括的说就是“ 左同右异”2 a总结：3. 常数项 c 当 c 0 时,抛物线与 y轴的交点在 x 轴上方,即抛物线与 y轴交点的纵坐标为正； 当 c 0 时,抛物线与 y 轴的交点为坐标原点,即抛物线与 y 轴交点的纵坐标为 0 ； 当 c 0 时,抛物线与 y轴的交
11、点在 x 轴下方,即抛物线与 y轴交点的纵坐标为负总结起来, c 打算了抛物线与 y轴交点的位置总之,只要 a, ,都确定,那么这条抛物线就是唯独确定的二次函数解析式的确定：依据已知条件确定二次函数解析式,通常利用待定系数法 用待定系数法求二次函数的解析式必需依据题目的特点,挑选适当的形式,才能使解题简便一般来说,有如下几种情形：1. 已知抛物线上三点的坐标,一般选用一般式；2. 已知抛物线顶点或对称轴或最大（小）值,一般选用顶点式；3. 已知抛物线与 x 轴的两个交点的横坐标,一般选用两根式；4. 已知抛物线上纵坐标相同的两点,常选用顶点式九、二次函数图象的对称 二次函数图象的对称一般有五种
12、情形,可以用一般式或顶点式表达1. 关于 x 轴对称名师归纳总结 - - - - - - -第 3 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - yax2bx2c 关于 x 轴对称后,得到的解析式是y学习必备欢迎下载ax2bxc ；ya xhk 关于 x 轴对称后,得到的解析式是ya xh2k ；2. 关于 y 轴对称yax2bx2c 关于 y 轴对称后,得到的解析式是yyax2bxhc ；k ；ya xhk 关于 y 轴对称后,得到的解析式是a x23. 关于原点对称yax2bxc 关于原点对称后,得到的解析式是yax2bxc ；22nkya xh2k 关于原点对称后,得到
13、的解析式是ya xh2k ；4. 关于顶点对称（即：抛物线绕顶点旋转180 ）yax2bxc 关于顶点对称后,得到的解析式是yax2bxc2 b；2 aya xh2k 关于顶点对称后,得到的解析式是ya xh2k 5. 关于点m,n对称ya xh2k 关于点m,n对称后,得到的解析式是ya xh2 m依据对称的性质,明显无论作何种对称变换,抛物线的外形肯定不会发生变化,因此a 永久不变求抛物线的对称抛物线的表达式时,可以依据题意或便利运算的原就,挑选合适的形式,习惯上是先确定原抛物线（或表达式已知的抛物线）的顶点坐标及开口方向,再 确定其对称抛物线的顶点坐标及开口方向,然后再写出其对称抛物线的
14、表达式十、二次函数与一元二次方程：1. 二次函数与一元二次方程的关系（二次函数与yx 轴交点情形）：y0时的特别情形 . 一元二次方程ax2bxc0是二次函数ax2bxc 当函数值图象与 x 轴的交点个数： 当b24ac0时,图象与 x 轴交于两点A x 1,0,B x 2,0x 1x 2,其中的x 1,x2是一元二次方程ax2bxc0a0的两根这两点间的距离ABx 2x 12 ba4 ac. 当0时,图象与x轴只有一个交点；0； 当0时,图象与x轴没有交点 . 1 当a0时,图象落在x 轴的上方,无论x 为任何实数,都有y2当a0时,图象落在 x 轴的下方,无论x 为任何实数,都有y02.
15、抛物线yax2bxc 的图象与 y 轴肯定相交,交点坐标为0 , c ；3. 二次函数常用解题方法总结： 求二次函数的图象与 x 轴的交点坐标,需转化为一元二次方程； 求二次函数的最大（小）值需要利用配方法将二次函数由一般式转化为顶点式； 依据图象的位置判定二次函数yax2bxc 中 a , b , c 的符号,或由二次函数中a , b , c 的符号判定图象的位置,要数形结合；名师归纳总结 - - - - - - -第 4 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载 二次函数的图象关于对称轴对称,可利用这一性质,求和已知一点对称的点坐标,或已知与 x
16、轴的一个交点坐标,可由对称性求出另一个交点坐标 . 与二次函数有关的仍有二次三项式,二次三项式 ax 2bx c a 0 本身就是所含字母 x 的二次函数；下面以 a 0 时为例,揭示二次函数、二次三项式和一元二次方程之间的内在联系：0抛物线与x 轴 有 两二次三项式的值可正、可一元二次方程有两个不相等实根0个交点x 轴 只 有零、可负一元二次方程有两个相等的实数根抛物线与二次三项式的值为非负一个交点0抛物线与x 轴 无 交二次三项式的值恒为正一元二次方程无实数根. 点图像参考：y=2x2y=x2y=x2y= -x2y=2x2y=2x-422y=2x-42-32y= -x2y=-2x2y=2x
17、2+2y=3x+42y=3x2y=3x-22y=2x2y=2x2-4y=-2x+32y=-2x2 y=-2x-32十一、函数的应用刹车距离二次函数应用 何时获得最大利润最大面积是多少名师归纳总结 - - - - - - -第 5 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载二次函数考查重点与常见题型1 考查二次函数的定义、性质,有关试题常显现在挑选题中,如：已知以 x 为自变量的二次函数ym2x2m2m2的图像经过原点,就 m 的值是2 综合考查正比例、反比例、一次函数、二次函数的图像,习题的特点是在同始终角坐标系内考查两个函数的图像,试题类型为挑选题,如
18、：如图,假如函数ykxb的图像在第一、二、三象限内,那么函数ykx2bx1的图像大致是（） y y y y 1 1 0 x o-1 x 0 x 0 -1 x A B C D 3 考查用待定系数法求二次函数的解析式,有关习题显现的频率很高,习题类型有中档解答题和选拔性的综合题,如：已知一条抛物线经过0,3 ,4,6 两点,对称轴为x5,求这条抛物线的解析式；34 考查用配方法求抛物线的顶点坐标、对称轴、二次函数的极值,有关试题为解答题,如：已知抛物线 y ax 2bx c （ a 0）与 x 轴的两个交点的横坐标是1、 3,与 y 轴交点的纵坐标是2 3（ 1）确定抛物线的解析式； （ 2）用配
19、方法确定抛物线的开口方向、对称轴和顶点坐标 . 5考查代数与几何的综合才能,常见的作为专项压轴题；【例题经典】由抛物线的位置确定系数的符号例 1 （1）二次函数 y ax 2bx c 的图像如图 1,就点 M b , c 在（）a A第一象限 B其次象限 C 第三象限 D 第四象限（ 2）已知二次函数 y=ax2+bx+c（a 0）的图象如图 2 所示, .就以下结论： a、b 同号；当 x=1 和 x=3 时,函数值相等； 4a+b=0；当 y=-2 时, x 的值只能取 0. 其中正确的个数是（）A 1 个 B 2 个 C 3 个 D4 个 1 2 【点评】弄清抛物线的位置与系数 a, b
20、,c 之间的关系,是解决问题的关键例 2. 已知二次函数 y=ax 2+bx+c 的图象与 x 轴交于点 -2 , O、 x 1,0 ,且 1x12,与 y 轴的正半轴的交点在点 O, 2 的下方以下结论：abO；4a+cO,其中正确结论的个数为 A 1 个 B. 2 个 C. 3 个 D 4 个会用待定系数法求二次函数解析式例 3. 已知：关于 x 的一元二次方程 ax 2+bx+c=3 的一个根为 x=-2 ,且二次函数 y=ax 2+bx+c 的对称轴是直线 x=2,就抛物线的顶点坐标为 A2,-3 B.2, 1 C2,3 D 3 , 2 例 4、如图（单位： m）,等腰三角形 ABC以
21、 2 米/ 秒的速度沿直线 L 向正方形移动,直到 AB与 CD重合设 x 秒时,三角形与正方形重叠部分的面积为 ym2（1）写出 y 与 x 的关系式；（2）当 x=2,3.5 时, y 分别是多少？（3）当重叠部分的面积是正方形面积的一半时,三角形移动了多长时间？求抛物线顶点坐标、名师归纳总结 - - - - - - -第 6 页,共 8 页精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备 欢迎下载对称轴 . 例 5、已知抛物线y=1 2x2+x- 5 2（1）用配方法求它的顶点坐标和对称轴（2）如该抛物线与x 轴的两个交点为A、 B,求线段 AB的长x2,交 y 轴负半轴于C点
22、,【点评】此题（ 1）是对二次函数的“ 基本方法” 的考查,第（2）问主要考查二次函数与一元二次方程的关系例 6. 已知：二次函数y=ax2-b+1x-3a的图象经过点P4, 10 ,交 x 轴于A 1x,0,Bx2,0 两点x 1且满意 3AO=OB1 求二次函数的解析式；2 在二次函数的图象上是否存在点M,使锐角 MCOA CO.如存在,请你求出M点的横坐标的取值范畴；如不存在,请你说明理由1 解：如图抛物线交 x 轴于点 Ax1, 0 , Bx2 ,O,就 x1x2=30,又 x 1O, x 1O, 30A=OB, x2=-3x 1 x x1x2=-3x12=-3 x12=1. a=2
23、b=3 10, x1=-1 x2=3点 A-1 ,O,P4, 10 代入解析式得解得二次函数的解析式为y-2x2-4x-6 2 存在点 M使 MC0ACO2 解：点 A 关于 y 轴的对称点A1 ,O,直线 A,C 解析式为 y=6x-6 直线 AC 与抛物线交点为 0 ,-6 ,5 ,24 符合题意的 x 的范畴为 -1x0 或 Ox5当点 M的横坐标满意 -1xO 或 Ox ACO例 7、 “ 已知函数y1x2bxc的图象经过点A（ c, 2）,2求证：这个二次函数图象的对称轴是x=3；” 题目中的矩形框部分是一段被墨水污染了无法辨认的文字；（ 1）依据已知和结论中现有的信息,你能否求出题
24、中的二次函数解析式？如能,请写出求解过程,并画出二次函数图象；如不能,请说明理由；（ 2）请你依据已有的信息,在原题中的矩形框中,填加一个适当的条件,把原题补充完整；点评：对于第（ 1）小题,要依据已知和结论中现有信息求出题中的二次函数解析式,就要把原先的结论“ 函数图象的对称轴是 x=3” 当作已知来用,再结合条件“ 图象经过点 A（ c, 2）”,就可以列出两个方程了,而解析式中只有两个未知数,所以能够求出题中的二次函数解析式；对于第（2）小题,只要给出的条件能够使求出的二次函数解析式是第（1）小题中的解析式就可以了；而从不同的角度考虑可以添加出不同的条件,可以考虑再给图象上的一个任意点的
25、坐标,可以给出顶点的坐标或与坐标轴的一个交点的坐标等； 解答 （ 1）依据y1x2ybx1c的图象经过点A（ c, 2）,图象的对称轴是x=3 ,得第 7 页,共 8 页21c2bcc2,22b13 ,2解得b2,3c.x23x2 .图象如下列图；所以所求二次函数解析式为2名师归纳总结 - - - - - - -精选学习资料 - - - - - - - - - 学习必备欢迎下载35.350,.（ 2）在解析式中令y=0,得1x23 x20,解得x135,x 22所以可以填“ 抛物线与x 轴的一个交点的坐标是（3+5,0 ” 或“ 抛物线与x 轴的一个交点的坐标是令 x=3 代入解析式,得y5,
26、2所以抛物线y1x23x2的顶点坐标为,35,22所以也可以填抛物线的顶点坐标为 3,5等等；2函数主要关注：通过不同的途径（图象、解析式等）明白函数的详细特点；借助多种现实背景懂得函数；将函数视为“ 变化过程中变量之间关系” 的数学模型；渗透函数的思想；关注函数与相关学问的联系；用二次函数解决最值问题例 1 已知边长为4 的正方形截去一个角后成为五边形ABCDE（如图）,其中 AF=2,BF=1试在 AB上求一点 P,使矩形PNDM有最大面积【评析】此题是一道代数几何综合题,把相像三角形与二次函数的学问有机的结合在一起,能很好考查同学的综合应用才能同时,也给同学探究解题思路留下了思维空间例
27、2 某产品每件成本 10 元,试销阶段每件产品的销售价 x（元） .与产品的日销售量 y（件）之间的关系如下表：x（元）15 20 30 y（件）25 20 10 如日销售量 y 是销售价 x 的一次函数（ 1）求出日销售量 y（件）与销售价 x（元）的函数关系式；（ 2）要使每日的销售利润最大,每件产品的销售价应定为多少元？.此时每日销售利润是多少元？【解析】（ 1）设此一次函数表达式为 y=kx+b 就15 k b 25,解得 k=-1 , b=40,.即一次函数表达式为 y=-x+40 2 k b 20（ 2）设每件产品的销售价应定为 x 元,所获销售利润为 w 元 w=（x-10 ）（
28、40-x ） =-x2+50x-400=- （ x-25 ）2+225产品的销售价应定为 25 元,此时每日获得最大销售利润为 225 元【点评】解决最值问题应用题的思路与一般应用题类似,也有区分,主要有两点：（ 1）设未知数在“ 当某某为何值时,什么最大（或最小、最省）” 的设问中, .“ 某某” 要设为自变量, “ 什么” 要设为函数； （ 2） .问的求解依靠配方法或最值公式,而不是解方程例 3. 你知道吗 .平常我们在跳大绳时,绳甩到最高处的外形可近似地看为抛物线如下列图,正在甩绳的甲、乙两名同学拿绳的手间距为4 m,距地面均为 1m,同学丙、丁分别站在距甲拿绳的手水平距离 1m、25 m处绳子在甩到最高处时刚好通过他们的头顶已知同学丙的身高是 1 5 m,就同学丁的身高为 建立的平面直角坐标系如右图所示 A1 5 m B 1625 m C1 66 m D 167 m 分析：此题考查二次函数的应用答案： B 名师归纳总结 - - - - - - -第 8 页,共 8 页