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1、xO二次函数图像与性质知识要点1.二次函数定义一般地， 形如2yaxbxc（ abc， ， 是常数，0a）的函数， 叫做二次函数。 定义域是全体实数，图像是抛物线。2yaxbxc 是二次函数的“一般式”。特点：自变量 x 最高次数是2， a 0 整式2.二次函数的基本形式：2yax （0a）的图像性质：a越大抛物线的开口越小函数图像开口方向顶点坐标对称轴增减性最值2yax0a2yax0a典型例题考点一：二次函数定义例 1.（1）圆的半径是xcm，圆的面积为ycm2，写出 y 与 x 之间的函数关系式；（2）用总长为60m的篱笆围成矩形场地，写出场地面积y(m2) 与矩形一边长x(m) 之间的关
2、系式例 2.（1）下列函数中，是二次函数的是 . y=x24x+1；y=2x2；y=2x2+4x；y=3x；y=2x1；y=mx2+nx+p；y =222(2)2xx；y=5x. (2) 若 y=（m 1）x562mm是二次函数，则m= （）A7 B 1 C 1 或 7 D以上都不对精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 1 页，共 7 页 - - - - - - - - - - (3) 函数)1(432xy的自变量x的取值范围是；(4) 已知二次函数3) 12()1(2xmxmy，当 x=1 时
3、， y=3，则其表达式为；（5）已知二次函数8-10-2xxy，当 x=_时 , 函数值 y 为 1. 考点二：2yax（0a）的图像性质例 3.作二次函数2x2y的图像1.列表x -3 -2 -1 0 1 2 3 2x2y2.在直角坐标系中描点连线观察图象 ,你发现了 : 解析式2x2y图形形状开口方向对称轴位置顶点坐标增减性最值例 4. （1） 函数 y=-x2的图像是一条 _线,开口向 _,对称轴是 _, 顶点是 _, 顶点是图像最 _点,表示函数在这点取得最_值。函数 y=x2的图像的开口方向_,对称轴 _,顶点 _. （2） 关于213yx，2yx，y=-3x2的图像，开口最大的是例
4、 5 已知抛物线y=ax2经过点 A（-2 ，-8 ）. （1）求此抛物线的函数解析式；（2）判断点 B（-1，- 4 ）是否在此抛物线； （3）求出此抛物线上纵坐标为-6 的点的坐标 . 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 2 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 例 6 已知二次函数mmm2xy（1）当 m 取何值时它的图象开口向上。（2）当 x 取何值时y 随 x 的增大而增大。例 7. 直线 y=2x+3 与抛物线 y=ax2交于 A、B两点 , 已知点 A的横坐标是
5、3, 求 A、B两点坐标及抛物线的函数关系式. 考点训练1、已知抛物线y=ax2经过点 A（-3 ，9） ，那么a= ,它的开口方向，对称轴是，顶点坐标是，它的图象有最点，当 y=6 时， x= . 2、二次函数y=-x2的图象 (-3 x-1), 当 x= 时，其最大值是；当 x= ,其最小值是3、 已知抛物线y=x2与直线 y=kx-2 的一个交点为 （-2 ， a） ,则 k= ， a= ， 另一个交点坐标为 . 4、 同一坐标系中， 函数 y=x2与 y=x2的图象关于对称， 也可以认为y=x2是函数 y=x2的图象绕旋转得到5、若二次函数y=ax2（a 0） ，图象过点P（2，a2）
6、 ，则函数表达式为6、已知 a 1，点（ a1，y1） 、 （a，y2） 、 （a1，y3）都在函数y=x2的图象上，判断y1、y2、y3的大小关系？7、若对于任何实数X，二次函数y=（2m-4）x2的值总是非负数，则m 的范围是 _ 8、下列说法错误的是（）A.二次函数y=x2，当 x0 时， y 随 x 的增大而增大B .二次函数 y=-x 2，当 x=0 时， y 有最大值，最大值为0 C.函数 y=ax 2（a0）中 a 越大，图像开口越小D.不论 a 是正数还是负数，抛物线y=ax2（a0）的顶点一定是坐标原点。9、直线 y=ax与抛物线 y=ax2（a0）（）A.只相交于一点（1，
7、a）B.只相交于一点（0，0）C.没有交点D.相交于两点（ 1，a） ， （0，0）二次函数的顶点式及平移法则知识要点1. 平移：二次函数图像的平移规律（h0,k0 ）y=ax2（a0）的图像向上移动 k 个单位y=ax 2+k 的图像顶点（ 0，k）y=a(x-h) 2+k 的图像顶点（ h，k）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 3 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 顶点（ 0,0 ）我们把khxay2)(叫做二次函数的顶点式 。顶点坐标为kh，。5抛物线上点的对称性
8、：设A（xy11，） 、B（xy22，）是抛物线上的两点，且xxyy1212，则抛物线的对称轴为直线xxx122。典型例题考点一：平移例1. （1）二次函数y=3x2-1 图像可以由y=3x2的图象向平移单位得到。（2）函数22xy的图象，向右平移3 个单位，可以得到函数_的图象；（3）将抛物线231xy向右平移 3 个单位，再向上平移2 个单位，所得的抛物线的解析式为_向右移动 h 个单位y=a(x-h) 2的图像顶点（ h，0）精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 4 页，共 7 页 - -
9、 - - - - - - - - 例2. 要得到y2(x2)23 的图象，需将抛物线y 2x2作如下平移 ( ) A向右平移2 个单位，再向上平移3 个单位B向右平移2 个单位，再向下平移3 个单位C向左平移2 个单位，再向上平移3 个单位D向左平移2 个单位，再向下平移3 个单位例3. 将抛物线 y5(x 1)23 先向左平移2 个单位，再向下平移4 个单位后，得到抛物线的解析式为_ 考点二：二次函数顶点式khxay2)(性质例 1.填表解析式开口方向顶点坐标对称轴y(x2)23 y (x3)22 5)5(212xy1)25(312xyy3(x2)2y 3x22 例题 2、 （） 已知，抛物
10、线2(3)4yx。（1）求抛物线的开口方向、顶点坐标和对称轴；（2）求抛物线与x轴的交点坐标；（3）抛物线与y轴的交点坐标。例题 3、 （） 已知，抛物线2()ya xhk 的顶点坐标是（2，2） ，且抛物线经过点（0，1） 。求 ahk、 、的值； 画出该函数的图象；根据函数图象回答，当x取何值时，y随x的增大而增大？当x取何值时，y随x的减小而减小？考点三：抛物线上点的对称性：例1若抛物线 ya (x 1)2k 上有一点A（3，5） ，则点 A关于对称轴对称点A的坐标为 _考点训练精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - -
11、 - - - - - -第 5 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 1抛物线 y=21(2)2x4 的开口向， 顶点坐标， 对称轴， x时， y 随 x 的增大而增大，x时， y 随 x 的增大而减小。2抛物线22(1)3yx的顶点坐标是（）A （1，3） B （1，3） C （1，3） D （1，3）3. 若 y=x2+（2k-1）的顶点位于x 轴上方，则K_4. 一次函数 y=ax+b 与 y=ax2-b 在同一坐标系中的大致图象是（）5. 函数 y=ax2+a 与 y= （a0) 在同一坐标系中的大致图象是（）6 抛物线1)3(212xy有最 _点，其坐标是 _ 当
12、x_时，y 的最 _值是 _； 当 x_时， y 随 x 增大而增大7一抛物线和抛物线y 2x2的形状、开口方向完全相同，顶点坐标是(1，3)，则该抛物线的解析式为( ) Ay 2(x1)23 By2(x 1)23 Cy (2x1)23 Dy(2x1)23 8顶点坐标为（2，3） ，开口方向和大小与抛物线y12 x2相同的解析式为（） A y12 (x 2)23 By12 (x 2)23 C y12 (x 2)23 Dy12 (x 2)23 9二次函数y(x 1)22 的最小值为 _10抛物线 y=b2x3 的对称轴是，顶点是。11. 已知函数9232xy。（1）确定此抛物线的开口方向、对称轴
13、和顶点坐标；（2）当 x= 时，抛物线有最值，是。（3）当 x 时， y 随 x 的增大而增大；当x 时， y 随 x 的增大而减小。（4）求出该抛物线与x 轴的交点坐标；（5）求出该抛物线与y 轴的交点坐标；（6）该函数图象可由23xy的图象经过怎样的平移得到的？12将抛物线212yx向左平移 3个单位，再向上平移2个单位。（1）写出平移后的函数解析式；（2）若平移后的抛物线的顶点是A，与x轴的两个交点分别为B、C ，求 ABC 的周长。xa精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 6 页，共 7 页 - - - - - - - - - - 精品资料 - - - 欢迎下载 - - - - - - - - - - - 欢迎下载 名师归纳 - - - - - - - - - -第 7 页，共 7 页 - - - - - - - - - -